陕西省汉中市2020届高三教学质量检测考试数学(理)试题

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陕西省汉中市2020届高三教学质量检测考试数学(理)试题

汉中市2020届高三年级教学质量第二次检测考试 理科数学 本试卷共23题,共150分,共4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效.‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.‎ ‎5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合,,全集,则集合中的元素共有( )‎ A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ‎2.在复平面内,复数对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.若,则下列不等式中不成立的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.总体由编号为01,02,…19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A.08 B.‎07 ‎C.02 D.01‎ ‎5.已知函数,则下列判断错误的是( )‎ A.的最小正周期为 B.的值域为 C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称 ‎6.已知平面内一条直线及平面,则“”是“”的( )‎ A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.设则的值为( )‎ A.10 B.‎11 ‎C.12 D.13‎ ‎8.在直角中,,,,若,则( )‎ A. B. C.18 D.‎ ‎9.如图是我国古代建筑中的一种装饰图案,形若铜钱,寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点,则该点取自阴影区域内(阴影部分由该圆的四条四分之一圆弧围成)的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.函数的图像大致是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点,若线段的长分别为,则的最小值是( )‎ A.9 B.‎10 ‎C.7 D.8‎ ‎12.已知函数,,若对,且,使得,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.展开式中的系数为_____.‎ ‎14.在中,内角的对边分别是,若,,则____.‎ ‎15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现已日益成为老百姓了解国家动态,紧跟时代脉搏的热门.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“‎ 专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中,将六大板块依次各完成一次,则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有_____种.‎ ‎16.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,,,,,分别为的中点,,则球的体积为_____.‎ 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17.设等差数列满足,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求的前项和及使得最小的的值.‎ ‎18.如图,四棱锥中,底面,,点在线段上,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)若,,,,求二面角的正弦值.‎ ‎19.眼保健操是一种眼睛的保健体操,主要是通过按摩眼部穴位,调整眼及头部的血液循环,调节肌肉,改善眼的疲劳,达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查,并得到如图的频率分布直方图.‎ ‎(Ⅰ)若直方图中后三组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以上的人数;‎ ‎(Ⅱ)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系,对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查,得到下表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系?‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人,进一步调查他们良好的护眼习惯,在这8人中任取2人,记坚持做眼保健操的学生人数为,求的分布列和数学期望.‎ 是否做操 是否近视 不做操 做操 近视 ‎44‎ ‎32‎ 不近视 ‎6‎ ‎18‎ 附:‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎20.如图,椭圆的长轴长为4,点为椭圆上的三个点,为椭圆的右端点,过中心,且,.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)设是椭圆上位于直线同侧的两个动点(异于),且满足,试讨论直线与直线斜率之间的关系,并求证直线的斜率为定值.‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若在定义域内是增函数,且存在不相等的正实数,使得,证明:.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在22、23题任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).‎ ‎(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)已知点,直线与曲线交于两点,求.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲]‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)设函数.当时,,求的取值范围.‎ 汉中市2020届高三年级教学质量第二次检测考试 理科数学参考答案 一、选择题:‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C D D B B C C D A A 二、填空题 ‎13.30 14. 15.432 16.‎ 三、解答题 ‎17解:(1)设等差数列的公差为,由及,得 解得 数列的通项公式为 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知 因为 所以时,取得最小值.‎ ‎18解:(Ⅰ)证明 因为平面,平面,‎ 所以.‎ 因为,,所以.‎ 又,所以平面.‎ ‎(Ⅱ)解由(1)可知.‎ 在中,,‎ ‎.‎ 所以.‎ 又因为,,所以四边形为矩形.‎ 如图建立坐标系,‎ 则:,,,,‎ 所以:,‎ 设平面的法向量为,‎ 即,‎ 令,则,‎ 由题平面,即平面的法向量为 由二面角的平面角为锐角,设二面角的平面角为 即 所以 所以二面角的正弦值为 ‎19.解:(Ⅰ)由图可知,第一组有3人,第二组7人,第三组27人,因为后三组的频数成等差数列,共有(人)‎ 所以后三组频数依次为24,21,18,‎ 所以视力在5.0以上的频率为0.18,‎ 故全年级视力在5.0以上的人数约为人 ‎(Ⅱ),‎ 因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.‎ ‎(Ⅲ)调查的100名学生中不近视的共有24人,从中抽取8人,抽样比为,这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人,‎ 可取0,1,2‎ ‎,,,‎ 的分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望.‎ ‎21解:(Ⅰ)的定义域为,‎ 因为,‎ 所以,‎ 当时,令,得,令,得;‎ 当时,则,令,得,或,‎ 令,得;‎ 当时,,‎ 当时,则,令,得;‎ 综上所述,当时,在上递增,在上递减;‎ 当时,在上递增,在上递减,在上递增;‎ 当时,在上递增;‎ 当时,在上递增,在上递减,在上递增;‎ ‎(Ⅱ)在定义域内是是增函数,由(1)可知,此时,设,‎ 又因为,则,‎ 设,,则 对于任意成立所以在上是增函数,所以对于,有,‎ 即,有,‎ 因为,所以,‎ 即,又在递增,‎ 所以,即.‎ ‎22.解:(Ⅰ)对于曲线的极坐标方程为,可得,‎ 又由,可得,即,‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ 由直线的参数方程为(为参数),消去参数可得,‎ 直线的普通方程为,即.‎ ‎(Ⅱ)设两点对应的参数分别为,将直线的参数方程(为参数)代入曲线中,可得.‎ 化简得,则,.‎ 所以.‎ ‎23.解:(1)当时,.解不等式得.‎ 因此的解集为.‎ ‎(Ⅱ)当时,,‎ 所以当时,等价于.①‎ 当时,①等价于,无解.‎ 当时,①等价于,解得.‎ 所以的取值范围是.‎
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