湖北省宜昌市长阳县一中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

湖北省宜昌市长阳县一中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 高一数学试卷 一、选择题 ‎1.设集合，，则　　‎ A. B. 0， C. 1， D. 0，1，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由1，，0，1，，得1，．‎ ‎【详解】1，，0，1，， 1，． 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了交集及其运算，注意集合的表示法，是基础题．‎ ‎2.幂函数的图象过点,则该幂函数的解析式为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设幂函数为 考点：幂函数 ‎3.下列各组函数表示与相等的函数的是　　‎ A.   B.  ‎ C.   D.  ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过求定义域可得出选项A，B的两函数不相等，而选项C的两函数解析式不同，从而不相等，这样只能选D．‎ ‎【详解】的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不相等； B.的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不相等； C.的解析式不同，不相等； D.的定义域为R，的定义域为R，解析式和定义域都相同，相等． 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义，判断两函数是否相等的方法：看定义域和解析式是否都相同．属基础题.‎ ‎4.若且，则的值为　　‎ A. 7 B. 9 C. 3 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由且，得，由此能求出结果．‎ ‎【详解】且， ． 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎5.函数的大致图象是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意去掉绝对值变成分段函数，易得选C．‎ ‎【详解】当时，， 当时，， 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的图象识别，解题关键去掉绝对值，属基础题．‎ ‎6.已知，，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意利用对数函数的单调性以及有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．‎ ‎【详解】， ， ， ‎ ‎． 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查利用对数函数的单调性判断对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．‎ ‎7.若函数，则的值为　　‎ A 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据分段函数，可以先计算的值，然后再计算出的值，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为函数 所以 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查求分段函数的值，属于简单题.‎ ‎8.已知在区间上为单调递增函数，则实数a的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的图象的开口向上以及在上递增，所以对称轴在区间左边．由此可求实数a的取值范围.‎ ‎【详解】的对称轴为， 又的图象是开口向上的抛物线，在上递增， 所以， 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，属基础题．‎ ‎9.函数的单调递增区间为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数的单调性“同增异减”，注意函数的定义域，转化求解即可．‎ ‎【详解】函数， 令，， 则有，在定义域内是增函数， 只需求解，，的增区间即可． 函数开口向上，对称轴． ，，解得或， 增区间为：． 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了复合函数的单调性的求解，根据“同增异减”即可求解属于基础题．‎ ‎10.已知且，则　　‎ A. B. C. D. 19‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题根据即可求出，从而可求出的值．‎ ‎【详解】； ； ‎ ‎． 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查利用奇函数的性质，已知函数求值的方法．‎ ‎11.已知偶函数在上单调递减，且，则关于不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】偶函数在上单调递减，在上单调递增， ，因为，当，，解得；当，得，解得，综上所述不等式式的解集是，故选D.‎ ‎12.已知定义在R的函数对任意的满足，当，函数，若函数在上有6个零点，则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先确定函数的周期，然后绘制的图像，再画出的图像，由函数在上有个零点，得到与在上有且仅有个交点，从而得到的不等式，解出的范围.‎ ‎【详解】因为函数对任意的满足，‎ 所以得到为周期函数，周期为，‎ 因为当，画出的图像，‎ 在同一坐标系下画出的图像，‎ 因为函数在上有个零点，‎ 所以与在上要有且仅有个交点，‎ 由图像可得，在轴左侧有个交点，只要在轴右侧有且仅有个交点，‎ 则，即有，‎ 所以或.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的图像，函数的周期性，函数的图像的应用，函数与方程，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.已知，且，则实数的取值集合是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，，分别求得的取值，根据元素互异性可得结果．‎ ‎【详解】当时，，由集合元素互异性知，不合题意 当时，，满足题意 当时，或或（舍）‎ 综上所述：实数的取值集合是：‎ ‎【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，考查了集合元素的互异性，是基础题．‎ ‎14.函数定义域是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出使表达式有意义的的取值范围.‎ ‎【详解】函数的定义域是： ，解得：且 ‎ 函数的定义域是且.‎ 故答案为且 ‎【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于简单题型.‎ ‎15.已知是定义在上的奇函数，当，的图象如图所示，那么的值域是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据函数的奇偶性作出函数在y轴左侧的图象，欲求的值域，分两类讨论：‎ ‎；结合图象即可解决问题．‎ ‎【详解】是定义在上的奇函数， 作出图象关于原点对称作出其在y轴左侧的图象，如图． 由图可知：的值域是． 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．‎ ‎16.已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 若对任意的实数都有成立，‎ 则函数在上为减函数，‎ ‎∵函数，‎ 故，‎ 计算得出：．‎ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ 三、解答题 ‎17.计算：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）2；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由对数的运算性质，代入运算即可； ‎ ‎（2）由指数的运算性质，代入运算即可.‎ ‎【详解】（1）解：原式．‎ ‎（2）解：原式．‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎18.设集合， ‎ ‎（1）当，求，‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入，得到集合，将集合化简，再根据集合的交集运算，从而得到答案；（2）根据，分为和，分别得到的不等式，解出的范围，从而得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）当时,‎ 解集合中的不等式，‎ 即，得，‎ 则集合,‎ 所以．‎ ‎（2）因为，‎ 所以，①当时，即，即，符合题意；‎ ‎②当时，‎ 根据，得，‎ 解得.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查解二次不等式，集合的交集运算，根据集合的包含关系求参数的范围，属于简单题.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎(1)求函数的定义域；‎ ‎(2)若函数的最小值为－4，求实数的值．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)根据函数有意义，得到，即可求得函数的定义域；‎ ‎(2)化简函数的解析式为，集合二次函数的性质和对数函数的单调性，求得函数的最小值，进而求得实数的值．‎ ‎【详解】(1)要使函数有意义：则有，解之得，‎ 所以函数的定义域为．‎ ‎(2)函数可化为 ‎，‎ 因为，所以 因为，所以，即函数的最小值为，‎ 又由，得，所以，‎ 即实数的值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域的求解，以及对数函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎20.已知函数是定义在上的奇函数，且.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；‎ ‎（3）解关于的不等式，.‎ ‎【答案】（1）；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据函数奇偶性和题干得到，进而求得参数；（2‎ ‎）根据奇偶性和单调性得到求解即可.‎ ‎【详解】（1），；‎ ‎（2）任取，‎ 所以函数在上是增函数；‎ ‎（3）‎ ‎.‎ ‎【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题；对于解不等式问题，一种方法是可以直接代入函数表达式，进行求解，一种方法是通过研究函数的单调性和奇偶性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系.‎ ‎21.近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益与投入(单位:万元)满足,乙城市收益与投入(单位:万元)满足,设甲城市的投入为(单位:万元),两个城市的总收益为(单位:万元).‎ ‎(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;‎ ‎(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?‎ ‎【答案】（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)当时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,‎ 所以总收益==43.5(万元).‎ ‎(2)由题知,甲城市投资万元,乙城市投资万元,‎ 所以==‎ 依题意得,解得,‎ 故=,‎ 令,则,‎ 所以==.‎ 当,即万元时,的最大值为44万元,‎ 所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.‎ ‎22.已知函数在区间上有最大值0，最小值，‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）若，如果对任意都有，试求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由二次函数性质可知在区间上单调递增，从而得 ‎，解方程组求解即可；‎ ‎（2）令，则，转化为关于t的方程在区间上有解，记，由的范围，可得，即可得解；‎ ‎（3）分析条件可得恒成立，当时，显然成立，当时，转化为恒成立，即恒成立，从而转化为求不等式中函数的最值，即可得解.‎ ‎【详解】（1）因为，为开口向上抛物线，对称轴为 所以在区间上单调递增，‎ 所以 ，即，解得 ‎ ‎（2）因为，得关于x的方程在上有解.‎ 令，则，转化为关于t的方程在区间上有解. ‎ 记，易证它在上单调递增，‎ 所以，即，解得.‎ ‎（3）由条件得，因为对任意都有，即恒成立.‎ 当时，显然成立，‎ 当时，转化为恒成立，‎ 即恒成立.‎ 因为，得，所以当时，取得最大值是，得；‎ 当时，取得最小值是，得 综上可知，a的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了方程问题和不等式恒成立问题，常用的处理方式为变量分离，通过变量分离，转化为参变量与函数的相等或不等关系，此时只需研究函数即可，属于常考题型.‎ ‎ ‎