2018-2019学年吉林省扶余市第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 Word版

2018-2019学年吉林省扶余市第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 Word版

扶余市第一中学 2018—2019 学年度上学期月考考试 高二数学（理） 本试卷分第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分。共 150 分，考试时间 120 分钟。 第 I 卷（选择题共 60 分） 注意事项： 1、答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号用铅笔涂写在答题卡上。 2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1.命题“若 则 ”的逆否命题是( ) A.若 则 B.若 则 C.若 则 D.若 则 2. 设 ,则“ ”是“ ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 已知命题 :若 ,则 ;命题 :若 ,则 .在命题① ;② ;③ ;④ 中,真命题是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4. 命题“对任意 ,都有 ”的否定为( ) A.对任意 ,都有 B.不存在 ,使得 C.存在 ,使得 D.存在 ,使得 5.平面内有两定点 及动点 ,设命题甲是:“ 是定值”,命题乙是:“点 的轨 迹是以 为焦点的椭圆”,那么( ) A.甲是乙成立的充分不必要条件 B.甲是乙成立的必要不充分条件 C.甲是乙成立的充要条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件 a b> 5 5a b− > − a b< 5 5a b− < − 5 5a b− < − a b> a b< 5 5a b− ≤ − 5 5a b− ≤ − a b≤ x R∈ 1 2x > 22 1 0x x+ − > p x y> x y− < − q x y> 2 2x y> p q∧ p q∨ ( )p q∧ ¬ ( )p q¬ ∨ x R∈ 2 0x ≥ x R∈ 2 0x < x R∈ 2 0x < 0x R∈ 2 0 0x ≥ 0x R∈ 2 0 0x < ,A B P PA PB+ P ,A B 6. 若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7．设 分别为双曲线 的左、右焦点,双曲线上存在一点 使得 ,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. [] 8. 实数 满足 ,则曲线 与曲线 的( ) A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 9. 已知 ,椭圆 的方程为 ,双曲线 的方程为 , 与 的 离心率之积为 ,则 的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 10. 已知点 为抛物线 上的动点,点 在 轴上的射影是 , 点坐标为 ,则 的最小值是( ) A. B. C. D. 11. 若等轴双曲线上有一点 到中心的距离为 ,则点 到两焦点的距离之积等于( ) A. B. C. D. 12. 过双曲线 的焦点作弦 ,若 ，则直线 的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.30°或 150° D.60°或 120° 第 II 卷 二 填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 2 2 2 2 1x y a b − = 3 2y x= ± 2y x= ± 1 2y x= ± 2 2y x= ± 1 2,F F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > P ( )2 2 1 2 3PF PF b ab− = − 2 15 4 17 k 0 9k< < 2 2 125 9 x y k − =− 2 2 125 9 x y k − =− 0a b> > 1C 2 2 2 2 1x y a b + = 2C 2 2 2 2 1x y a b − = 1C 2C 3 2 2C 2 0x y± = 2 0x y± = 2 0x y± = 2 0x y± = P 2 2y x= P y M A 7 ,42      PA PM+ 11 2 4 9 2 5 P d P d 2d 2d 22d 2 2 19 18 x y− = MN 48MN = MN 13. 抛物线 上的两点 到焦点的距离之和是 ,则线段 的中点到 轴的距离是 __________ 14．设 、 分别是椭圆 的左、右焦点,若点 在椭圆上,且 ,则 __________ 15．已知以双曲线 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为 ,则双 曲线 的离心率为__________ 16．已知点 在椭圆 上,则 的取值范围是 三.解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分) 设 :实数 满足 ( ), 实数 满足 . ①若 且“ ”为真,求实数 的取值范围; ②若 是 的必要不充分要条件,求实数 的取值范围. 18. (本题满分 12 分) 如图, 为圆 上一动点,点 坐标为 , 线段 的垂直 平分线交直线 于点 ,求点 的轨迹方程. 19. (本题满分 12 分) 已知椭圆 : 的离心率 ,且椭圆经过点 . ①求椭圆 的方程; ②求椭圆以 为中点的弦所在直线的方程. 2 2y x= ,A B 5 AB y 1F 2F 2 2 116 7 x y+ = P 1 2 0PF PF⋅ =  1 2PF PF+ =  C 60 C ( ),m n 2 28 3 24x y+ = 2 4m + p x 2 24 3 0x ax a− + < 0a > :q x 2 2 6 0{ 2 8 0 x x x x − − ≤ + − > 1,a = p ∧ q x p¬ q¬ a P ( )2 2: 2 36B x y+ + = A ( )2,0 AP B P Q Q C 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > 1 2e = ( )2, 3 N − C ( )1,2M − 20.（本题满分 12 分） 已知双曲线 ，过点 P（1,1）能否作一条直线 ,与双曲线交于 A,B 两点，且点 P 是 线段 AB 的中点？如果能，求出直线的方程；如果不能，请说明理由. 21 (本题满分 12 分) 已知抛物线的顶点在原点,过点 且焦点在 轴 ①求抛物线方程 ②直线 过定点 ,与该抛物线相交所得弦长为 ,求直线 的方程 22 (本题满分 12 分) 已知椭圆 的离心率与双曲线 的离心率互为倒数,且 过点 1)求椭圆 的方程 2）过 作两条直线 与圆 相切且分别交椭圆于 两 点. ①求证:直线 的斜率为定值; ②求 面积的最大值(其中 为坐标原点). 12 2 2 =− yx l ( )4,4A − x l ( )1,0B − 8 l ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 14 12 x y− = 31, 2P     C P 1 2,l l 2 2 2 3( 1) (0 )2x y r r− + = < < ,M N MN MON∆ O 高二数学月考考试参考答案（理） 1~12 DACDB BDAAC BD 13. 2 14. 6 15. 16. 17． 1.由 得 , 得 ,则 . 由 解得 . 即 . 若 ,则 , 若 为真,则 同时为真, 即 ,解得 , ∴实数 的取值范围 . 2.若 是 的充分不必要条件,即 是 的充分不必要条件, ∴ ,即 , 解得 18. ∵直线 的垂直平分线交直线 于点 , ∴ , ∴ , ∴点 的轨迹为以 、 为焦点的椭圆,且 , . ∴点 的轨迹方程为 6 2 4 2 3,4 2 3 − +  2 24 3 0( 0)x ax a a− + ( )( )3 0x a x a− − < 3 , 0a x a a< : 3 , 0p a x a a< 2 2 6 0{ 2 8 0 x x x x − − ≤ + − > 2 3x< ≤ : 2 3q x< ≤ 1a = :1 3p x< < p q∧ ,p q 2 3{1 3 x x − < ≤ < < 2 3x< < x ( )2, 3 p¬ q¬ q p 3 3{ 2 a a > ≤ 1{ 2 a a > ≤ 1 2a< ≤ AP B P Q AQ PQ= 6AQ BQ PQ BQ+ = + = Q A B 2a=6 2 4c = Q 2 2 19 5 x y+ = 19. 1.由椭圆经过点 ,得 , 又∵ ,解得 , . ∴椭圆 的方程为 . 2.显然 在椭圆内,设 , 是以 为中点的弦的两个端点, 则 , . 相减得 . 整理得 . 则所求直线的方程为 ,即 . 20. 设过点 的直线方程为 或 (1) 当 存 在 时 ， 有 ， ， 得 ① 当直线与双曲线相交于两个不同点，必有 又方程①的两个不同的根是两交点 A、B 的横坐标 ，又 为线段 AB 的中点 ，即 但 因此当 时方程①无实数解 所以不存在[] （2）当 时，直线经过点 P 但不满足条件。 综上所述，符合条件的直线 L 不存在。 ( )2, 3 N − ( )22 2 2 32 1a b −+ = 1 2 ce a = = 2 16a = 2 12b = C 2 2 116 12 x y+ = M ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y M 2 2 1 1 116 12 x y+ = 2 2 2 2 116 12 x y+ = ( )( ) ( )( )2 1 2 1 2 1 2 1 016 12 x x x x y y y y− + − ++ = 1 2 1 2 12 3 16 8AB x xk y y ⋅ += − =⋅ + ( )32 18y x− = + 3 8 19 0x y− + = P ( )1,1 ( ) 11 +−= xky 1=x k ( ) 11 +−= xky 12 2 2 =− yx ( ) ( ) 032222 2222 =−+−−+− kkxkkxk ( ) ( )( ) 2 3,0322422 2222  kkkkkk −+−−−−=∆ ( ) 2 2 21 2 2 k kkxx − −=+∴ P ( )1,1 12 21 =+∴ xx 2,12 2 2 ==− − kk kk 02 ∆= 使k 2=k 1=x 21. 1.设抛物线方程为 抛物线过点 , ,得 则 2.①当直线 的斜率不存在时,直线 与抛物线交于 ,弦长为 ,不合 题意; ②当直线 的斜率存在时,设斜率为 ,直线为 , 消 得 , 弦长 解得 得 , 所以直线 方程为 或 22. 1.可得 ,设椭圆的半焦距为 ,所以 因为 过点 ,所以 , 又 ,解得 所以椭圆方程为 . 2.①显然两直线 的斜率存在,设为 , 由于直线 与圆 相切,则有 直线 的方程为 , 联立方程组 消去 ,得 因为 为直线与椭圆的交点,所以 , 同理,当 与椭圆相交时, , 2 2y px= − ( )4,4− ( )24 2 4p= − − 2p = 2 4y x= − l : 1l x = − ( ) ( )1, 2 , 1,2− − − 4 l k ( )1y k x= + ( ) 2 1 4 y k x y x  = + = − y ( )2 2 2 22 4 0k x k x k+ + + = ( )22 4 2 2 2 4 4 1 8 k k k k + − = + = 2 1k = 1k = ± l 1y x= + 1y x= − − 1 2e = c 2a c= C 3(1, )2P 2 2 1 9 14a b + = 2 2 2c b a+ = 2 3a b= = 2 2 14 3 x y+ = 1 2,l l 1 2,k k ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2,l l 2 2 2 3( 1) (0 )2x y r r− + = < < 1 2k k= − 1l ( )1 3 12y k x− = − 1 1 2 2 3 2{ 14 3 y k x k x y = − + + = ， ， y ( ) ( ) ( )22 2 1 1 1 14 3 12 8 3 2 12 0x k k k x k+ + − + − − = ,P M ( )1 1 1 2 1 8 121 4 3 k kx k −+ = + 2l ( )1 1 2 2 1 8 121 4 3 k kx k ++ = + 所以 ,而 , 所以直线 的斜率 ②设直线 的方程为 ,联立方程组 消去 得 , 所以 原点 到直线的距离 面积为 , 当且仅当 时取得等号.经检验,存在 使得过点 的两条直线与圆 相切, 且与椭圆有两个交点 .所以 面积的最大值为 . 1 1 2 2 1 24 4 3 kx x k −− = + ( ) 1 1 2 1 1 2 1 2 1 122 4 3 ky y k x x k k −− = + − = + MN 1 2 1 2 1 2 y yk x x −= =− MN 1 2y x m= + 2 2 1 2{ 14 3 y x m x y = + + = ， ， y 2 2 3 0x mx m+ + − = 2 2 2 21 151 ( ) 4( 3) 42 2MN m m m= + ⋅ − − = − O 2 5 md = OMN∆ 2 2 2 2 221 15 3 3 44 (4 ) 32 2 2 2 25 m m mS m m m + −= ⋅ − ⋅ = − ≤ = 2 2m = 3(0 )2r r< < 3(1, )2P 2 2 2( 1)x y r− + = ,M N OMN∆ 3