2021高考数学大一轮复习考点规范练15导数与函数的单调性极值最值理新人教A版
考点规范练15 导数与函数的单调性、极值、最值
考点规范练A册第9页
基础巩固
1.(2019河北张家口期末)已知a为实数,f(x)=ax3+3x+2,若f'(-1)=-3,则函数f(x)的单调递增区间为( )
A.(-2,2) B.-22,22 C.(0,2) D.-2,22
答案:B
解析:∵f(x)=ax3+3x+2,∴f'(x)=3ax2+3.
又f'(-1)=-3,∴f'(-1)=3a+3=-3,解得a=-2.
∴f'(x)=-6x2+3.由f'(x)>0,得-22
1时,f'(x)<0,当00,因此f(x)有极大值-1.
3.已知f(x)=14x2+sinπ2+x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的图象是( )
答案:A
解析:∵f(x)=14x2+sinπ2+x=14x2+cosx,
∴f'(x)=12x-sinx,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D.又[f'(x)]'=12-cosx,
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当-π312,
∴[f'(x)]'<0,故函数y=f'(x)在区间-π3,π3内单调递减,排除C.故选A.
4.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a>0,b∈R)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是( )
A.ln a>b-1 B.ln a0),
则g'(a)=1a-3=1-3aa,
∴g(a)在区间0,13内递增,在区间13,+∞内递减,故g(a)max=g13=1-ln3<0.故lna0,
所以g'(x)>0在区间0,π4内恒成立.
所以函数g(x)在区间0,π4内单调递增,
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所以g(x)>g(0)=0.所以a≤0.
6.(2019河北唐山联考)若函数f(x)=x2-12ln x+1在其定义域内的一个子区间(a-1,a+1)内存在极值,则实数a的取值范围是 .
答案:1,32
解析:由题意,可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-12x=4x2-12x,令f'(x)=0,得x=12或x=-12(舍去).由已知,得a-1≥0,a-1<12,a+1>12,解得1≤a<32.
7.若函数g(x)=ln x+ax2+bx,且g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线与x轴平行.
(1)确定a与b的关系;
(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.
解:(1)因为g(x)=lnx+ax2+bx,
所以g'(x)=1x+2ax+b,
由题意,得g'(1)=1+2a+b=0,所以2a+b=-1.
(2)当a=0时,g'(x)=-x-1x,
由g'(x)>0解得01,
即函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减.
当a>0时,令g'(x)=0,得x=1或x=12a,若12a<1,即a>12,则由g'(x)>0解得x>1或01,即00解得x>12a或012时,函数g(x)在区间0,12a内单调递增,在区间12a,1内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
8.已知函数f(x)=ax2+bx+cex(a>0)的导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值.
解:(1)因为f(x)=ax2+bx+cex,
所以f'(x)=-ax2+(2a-b)x+b-cex,
设g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c.
因为a>0,所以由题意知:当-30,即f'(x)>0;
当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f'(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
(2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,故有9a-3b+ce-3=-e3.
结合g(0)=b-c=0,g(-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0,解得a=1,b=5,c=5,所以f(x)=x2+5x+5ex.
因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞),
所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,
且f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值为f(-5)和f(0)中的最大者.
而f(-5)=5e-5=5e5>5=f(0),所以函数f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值是5e5.
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9.已知函数f(x)=ln ax-x-ax(a≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间及最值;
(2)求证:对于任意正整数n,均有1+12+13+…+1n≥lnenn!(e为自然对数的底数).
(1)解由题意f'(x)=x-ax2,当a>0时,函数f(x)的定义域为(0,+∞),此时函数f(x)在区间(0,a)内是减函数,在区间(a,+∞)内是增函数,
故fmin(x)=f(a)=lna2,无最大值.
当a<0时,函数f(x)的定义域为(-∞,0),
此时函数f(x)在区间(-∞,a)内是减函数,在区间(a,0)内是增函数,
故fmin(x)=f(a)=lna2,无最大值.
(2)证明取a=1,由(1)知f(x)=lnx-x-1x≥f(1)=0,故1x≥1-lnx=lnex,取x=1,2,3,…,n,则1+12+13+…+1n≥lnenn!.
10.设函数f(x)=3x2+axex(a∈R).
(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在区间[3,+∞)内为减函数,求a的取值范围.
解:(1)对f(x)求导得f'(x)=(6x+a)ex-(3x2+ax)ex(ex)2=-3x2+(6-a)x+aex.
因为f(x)在x=0处取得极值,所以f'(0)=0,即a=0.
当a=0时,f(x)=3x2ex,f'(x)=-3x2+6xex,
故f(1)=3e,f'(1)=3e,
从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-3e=3e(x-1),化简得3x-ey=0.
(2)由(1)知f'(x)=-3x2+(6-a)x+aex.
令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0解得x1=6-a-a2+366,x2=6-a+a2+366.
当x0,即f'(x)>0,故f(x)为增函数;
当x>x2时,g(x)<0,即f'(x)<0,故f(x)为减函数.
由f(x)在区间[3,+∞)内为减函数,知x2=6-a+a2+366≤3,解得a≥-92,故a的取值范围为-92,+∞.
能力提升
11.定义在区间(0,+∞)内的函数f(x)满足f(x)>0,且当x∈(0,+∞)时,2f(x)0,
∴函数g(x)在x∈(0,+∞)内单调递增,∴f(1)1<f(2)4,
又f(x)>0,∴f(1)f(2)<14.
令h(x)=f(x)x3,x∈(0,+∞),
则h'(x)=xf'(x)-3f(x)x4,
∵∀x∈(0,+∞),2f(x)f(2)8,
又f(x)>0,∴18x恒成立,求a的取值范围.
(1)证明f'(x)=2xlnx-x2-1x(lnx)2=x(lnx)22lnx-x2-1x2(x>0,x≠1).
令g(x)=2lnx-x2-1x2,则g'(x)=2(x+1)(x-1)x3.
当0g(1)=0.
于是f'(x)=x(lnx)2g(x)>0,故f(x)在区间(0,1)内为增函数.
当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,
于是f'(x)=x(lnx)2g(x)>0,
故f(x)在区间(1,+∞)内为增函数.
(2)解af(x)-x=a(x2-1)lnx-x=xlnxa(x2-1)x-lnx.
令h(x)=a(x2-1)x-lnx(x>0),
则h'(x)=ax2-x+ax2.
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令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥12时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在区间(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥12时h'(x)≥0,故h(x)区间在(0,1),(1,+∞)内为增函数,
若00;
若x>1时,h(x)>h(1)=0,
所以af(x)-x=xlnxh(x)>0,
所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立,
当00时,f(x)>0.
(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.
(1)证明当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-x1+x,
设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-x1+x,则g'(x)=x(1+x)2,
当-10时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.
所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.
又f(0)=0,故当-10时,f(x)>0.
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(2)解①若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.
②若a<0,设函数h(x)=f(x)2+x+ax2=ln(1+x)-2x2+x+ax2.
由于当|x|0,故h(x)与f(x)符号相同.
又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.
h'(x)=11+x-2(2+x+ax2)-2x(1+2ax)(2+x+ax2)2=x2(a2x2+4ax+6a+1)(x+1)(ax2+x+2)2.
如果6a+1>0,则当00,故x=0不是h(x)的极大值点.
如果6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|0;当x∈(0,1)时,h'(x)<0.
所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-16.
高考预测
15.已知函数f(x)=x2-1x+aln x,
(1)当a=-3时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,求a的取值范围.
解:(1)当a=-3时,f(x)=x2-1x-3lnx,x>0,
f'(x)=2x+1x2-3x=2x3-3x+1x2
=2x2(x-1)x-3-12x+3+12,
当3-121时,f'(x)>0.
∴f(x)的减区间是3-12,1,增区间是0,3-12和(1,+∞).
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,
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则需f'(x)=2x+1x2+ax=2x3+ax+1x2有两个不相等的正零点.
令g(x)=2x3+ax+1(x>0),故需g(x)有两个不相等的正零点,则g'(x)=6x2+a.
①当a≥0时,g'(x)>0,
∴g(x)不可能有两个不相等的正零点,
故f(x)不可能有两个极值点.
②当a<0时,g'(x)=6x2+a=6x2--a6=6x+-a6x--a6,
当0-a6时,g'(x)>0.
故g(x)在0,-a6上单调递减,在-a6,+∞上单调递增.
∴需g(x)min=g-a6=2a3-a6+1<0,解得a<-3342.
∵a3<-272<-6,a3<-272<-154,
∴-1a<-a6<-3a.
而g-1a=-2a3>0,g(-3a)=-54a3-3a2+1=-3a2(18a+1)+1>0,
故g(x)在区间0,-a6内和-a6,+∞内各有一个零点,
∴g(x)有两个不相等的正零点,
∴f(x)有两个极值点.
综上,a的取值范围是-∞,-3342.
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