2018-2019学年宁夏育才中学孔德校区高二3月月考数学（理）试题 Word版

2018-2019学年宁夏育才中学孔德校区高二3月月考数学（理）试题 Word版

宁夏育才中学孔德学区 2018-2019-2 高二年级月考一 数 学（理科） 试卷 (试卷满分 150 分，考试时间为 150 分钟) 命题人： 一、选择题（本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计 60 分 ） 1. 若用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则如图框图 表示的证明方法是（ ） A.合情推理 B.综合法 C.分析法 D.反证法 2. ，则 等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知物体的运动方程为 （是时间，是位移），则物体在时刻 时的速度为（ ） A. B. C. D. 4. 下面几种推理过程是演绎推理的是（ ） A.两条直线平行，同旁内角互补，如果 与 是两条平行直线的同旁内角，则 B.某校高三 班有 人， 班有 人， 班有 人，由此得高三所有班人数超过 人 C.由平面三角形的性质，推测空间四面体性质 D.在数列 中， ， ，由此归纳出 的通项公式 5. 设函数 ，则（ ） A. 为 的极大值点 B. 为 的极小值点 C. 为 的极大值点 D. 为 的极小值点 6. 已知函数 ，则 与 的大小关系是( ) A. B. C. D.不能确定 7. 上 可 导 函 数 图 象 如 图 所 示 ， 则 不 等 式 的 解 集 为 （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 （为常数），在区间 上有最大值 ，那么此函数在 区间 上的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数 ，对任意 , 恒成立，则（ ） A.函数 有最大值也有最小值 B.函数 只有最小值 C.函数 只有最大值 D.函数 没有最大值也没有最小值 10. 已知函数 的定义域为 ，部分对应值如表， 的导函数 的图象如图所示．当 时，函数 的零点的个数为（ ） A. B. C. D. 11. 关于函数 ，则下列四个结论： ① 的解集为 ② 的极小值为 ，极大值为 ③ 没有最小值，也没有最大值 ④ 没有最小值，有最大值， 其中正确结论为（ ） A.①②④ B.①②③ C.①③ D.②④ 12. 已知可导函数 的导函数为 ， ，若对任意的 ，都有 ，则不 等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计 20 分 ） 13. ________． 14. 有 、 、 三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条． 盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”； 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”； 盒子上的纸条写的是“苹果不在 盒内”．如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果 究竟在哪个盒子里________． 15. 已知 ，则函数 的极小值等于________． 16. 某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价为 p 元，销量 Q(单位：件) 与零售价 p(单位：元)有如下关系： Q＝8300－170p－p2，则该商品零售价定为________元时利润最大。 三、解答题（共计 70 分） 17、已知函数 f(x)＝ 123  xxx 求其在点(1,2)处的切线与函数 g(x)＝x2 围成的图形的面积． 18、已知 a，b，c，d∈（0，＋∞）.求证 ac＋bd ≤   2222 dcba  19、已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在 x＝－4 3 处取得极值． (1)确定 a 的值； (2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性． 20、已知数列{an}满足关系式 a1＝a（a>0），an＝ 2an－1 1＋an－1 （n≥2，n∈N*）， （1）用 a 表示 a2，a3，a4； （2）猜想 an 的表达式（用 a 和 n 表示），并用数学归纳法证明你的结论. 21、．已知函数 f(x)＝ax3＋bx＋c 在点 x＝2 处取得极值 c－16. (1)求 a，b 的值； (2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在[－3,3]上的最小值． 22、已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝1 2 ax＋b. (1)若 f(x)与 g(x)在 x＝1 处相切，求 g(x)的表达式； (2)若φ(x)＝ 1 )1(m   x x －f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数 m 的取值范围． 宁夏育才中学孔德学区 2018-2019-2 高二年级月考一 数 学（理科）答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D A B A A B B D A A 二、填空题 13、 14、B 15、-2 16、30 17、已知函数 f(x)＝ 求其在点(1,2)处的切线与函数 g(x)＝x2 围成的图形的面 积． 解析：∵(1,2)为曲线 f(x)＝ 上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为 k，则 k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2 ∴在点(1,2)处的切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x 2 分 由 y＝x2， y＝2x 可得交点 A(2,4)． 4 分 ∴y＝2x 与函数 g(x)＝x2 围成的图形的面积 7 分 S＝ ＝ 1 x3 2 0＝4－ 8 3＝ 4 3 10 分 18、已知 a，b，c，d∈（0，＋∞）. 求证 ac＋bd≤. 证明：方法一：（分析法） 欲证 ac＋bd≤， 只需证（ac＋bd）2≤（a2＋b2）（c2＋d2）， 即证 a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2， 即证 2abcd≤a2d2＋b2c2，即证 0≤（bc－ad）2， 而 a，b，c，d∈（0，＋∞），0≤（bc－ad）2 显然成立， 故原不等式成立. 方法二：（综合法） （a2＋b2）（c2＋d2）＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2≥a2c2＋b2d2＋2abcd＝（ac＋bd）2， 所以≥ac＋bd. 19、已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在 x＝－ 4 3处取得极值． (1)确定 a 的值； (2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性． [解] (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x， 2 分 因为 f(x)在 x＝－ 4 3处取得极值， 所以 f′ 4 3＝0，即 3a· 16 9 ＋2· 4 3＝ 16a 3 － 8 3＝0，解得 a＝ 1 2. 5 分 (2)由(1)得 g(x)＝ 1 x3＋x2ex， 故 g′(x)＝ 3 x2＋2xex＋ 1 x3＋x2ex ＝ 5 x2＋2xex ＝ 1 2x(x＋1)(x＋4)ex. 8 分 令 g′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝－1 或 x＝－4. 当 x<－4 时， g′(x)<0，故 g(x)为减函数； 当－40，故 g(x)为增函数； 当－10 时，g′(x)>0，故 g(x)为增函数． 综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数. 12 分 20、已知数列{an}满足关系式 a1＝a（a>0），an＝ 2an－1 1＋an－1（n≥2，n∈N*）， （1）用 a 表示 a2，a3，a4； （2）猜想 an 的表达式（用 a 和 n 表示），并用数学归纳法证明你的结论. 解：（1）a2＝ 2a 1＋a， a3＝ 2a2 1＋a2＝ 2a 1＋a＝ 4a 1＋3a， a4＝ 2a3 1＋a3＝ 4a 1＋3a＝ 8a 1＋7a. 3 分 （2）因为 a1＝a＝ 20a 1＋（20－1）a， a2＝ 21a 1＋（21－1）a，…， 猜想 an＝ 2n－1a 1＋（2n－1－1）a. 6 分 下面用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时， 因为 a1＝a＝ 20a 1＋（20－1）a，所以当 n＝1 时结论正确. ②假设当 n＝k（k≥1，k∈N*）时结论正确， 即 ak＝ 2k－1a 1＋（2k－1－1）a，所以当 n＝k＋1 时， ak＋1＝ 2ak 1＋ak＝ 2k－1a 1＋（2k－1－1）a ＝ 2ka 1＋（2k－1－1）a＋2k－1a ＝ 2ka 1＋2×2k－1a－a＝ 2（k＋1）－1a 1＋[2（k＋1）－1－1]a， 所以当 n＝k＋1 时结论也正确. 根据①与②可知命题对一切 n∈N*都正确. 12 分 21、已知函数 f(x)＝ax3＋bx＋c 在点 x＝2 处取得极值 c－16. (1)求 a，b 的值； (2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在[－3,3]上的最小值． [解] (1)因为 f(x)＝ax3＋bx＋c， 故 f′(x)＝3ax2＋b. 2 分 由于 f(x)在点 x＝2 处取得极值 c－16， 故有 f′(2)＝0， f(2)＝c－16，即 12a＋b＝0， 8a＋2b＋c＝c－16， 化简得 12a＋b＝0， 4a＋b＝－8，解得 a＝1， b＝－12. 5 分 (2)由(1)知 f(x)＝x3－12x＋c， f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)， 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝2. 当 x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0， 故 f(x)在(－∞，－2)上为增函数； 7 分 当 x∈(－2,2)时，f′(x)＜0， 故 f(x)在(－2,2)上为减函数； 8 分 当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0， 故 f(x)在(2，＋∞)上为增函数． 由此可知 f(x)在 x＝－2 处取得极大值， f(－2)＝16＋c， f(x)在 x＝2 处取得极小值 f(2)＝c－16. 由题设条件知 16＋c＝28，解得 c＝12. 10 分 此时 f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3， f(2)＝－16＋c＝－4， 因此 f(x)在[－3,3]上的最小值为 f(2)＝－4.12 分 22、已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝ 1 2ax＋b. (1)若 f(x)与 g(x)在 x＝1 处相切，求 g(x)的表达式； (2)若φ(x)＝ m(x－1) x＋1 －f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数 m 的取值范围． [解] (1)由已知得 f′(x)＝ 1 x，∴f′(1)＝1＝ 1 2a，a＝2. 又∵g(1)＝0＝ 1 2a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1. 5 分 (2)∵φ(x)＝ m(x－1) x＋1 －f(x)＝ m(x－1) x＋1 －ln x 在[1，＋∞)上是减函数， ∴φ′(x)＝ －x2＋(2m－2)x－1 x(x＋1)2 ≤0 在[1，＋∞)上恒成立， 即 x2－(2m－2)x＋1≥0 在[1，＋∞)上恒成立， 则 2m－2≤x＋ 1 x，x∈[1，＋∞). 9 分 ∵x＋ 1 x∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2. 故实数 m 的取值范围是(－∞，2]. 12 分