2018-2019学年福建省师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年福建省师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由对数函数的定义域化简集合；由二次函数的值域化简集合，根据并集的定义可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为合，‎ 集合 ，‎ 所以 ，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.‎ ‎2．下列函数中与函数相等的函数是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据两个函数的定义域、值域、对应关系是否都相同，即可判断它们是否为同一函数.‎ ‎【详解】‎ 对于，定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；‎ 对于，与的定义域不同，不是同一函数；‎ 对于，与的定义域相同，值域相同，对应关系也相同，‎ 是同一函数；‎ 对于，与的定义域不同，不是同一函数，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过判断几组函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法则是否都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数.‎ ‎3．若是集合A到B的函数，且值域，则满足条件的A有（ ）个．‎ A． 4 B． 3 C． 2 D． 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由可得，由可得，列举出满足条件的定义域，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为是集合到的函数，且值域，‎ 由可得，由可得，‎ 所以函数的定义域可能是：，‎ 所以，满足条件的有有3个，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的定义域，函数的值域，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.‎ ‎4．设，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用化简,然后由可比较大小，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 是增函数，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数的运算、换底公式的应用以及对数函数单调性的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎5．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数是奇函数判断； 由定义域不对称，不是偶函数也不是奇函数判断、；根据奇偶性的定义可证明是偶函数，利用导数证明其在上单调递增.‎ ‎【详解】‎ 对于，令，定义域关于轴对称，，则函数为偶函数，在恒成立，则函数在上单调递增，故正确；‎ 对于，函数是奇函数，不合题意；‎ 对于，定义域不对称，不是偶函数也不是奇函数，不合题意；‎ 对应，定义域不对称，不是偶函数也不是奇函数，不合题意，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性与单调，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数） .‎ ‎6．设函数则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据分段函数的解析式，先求的值，再求的值.‎ ‎【详解】‎ 函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎7．若函数的图像如右图，其中为常数．则函数的大致图像是 ‎【答案】D ‎【解析】解：由于函数图像的单调性底数a小于1，则函数 也是单调递减，则排除A,B，然后因为的定义域x>-1,则说明b=1,从而过点（0,2），排除C，选D。‎ ‎8．若对于任意实数都有，则=（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】用代替式中可得，联立解方程组可得，代值计算即可.‎ ‎【详解】‎ 对于任意实数恒有，‎ 用代替式中可得，‎ 联立两式可得，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.‎ ‎9．已知是定义在R上的奇函数，在区间上单调递减,则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由是定义在上的奇函数，在区间上单调递减,可得在上单调递减,‎ 转化为，,从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为是定义在上的奇函数，在区间上单调递减,‎ 所以在上单调递减,‎ 可得，‎ 由此可得，‎ 由可得，‎ 可得，‎ 由单调性可得，,,‎ 即使得成立的的取值范围是，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.‎ ‎10．已知函数在R上单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据为减函数，利用对数函数单调递减函、二次函数单调递减，结合对数函数的定义域以及分界点处两函数的单调性与整体保持一致得到不等式组，从而可得的范围.‎ ‎【详解】‎ 函数在上单调递减，‎ 所以对数函数单调递减函数、二次函数单调递减，‎ ‎，解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.‎ ‎11．已知函数，若互不相同，且满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出函数的图象，根据图象分析可得，可得，由图象可知，，从而求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 先画出，的图象，如图，‎ 互不相同，不妨设，‎ 且，‎ ‎，‎ 即由二次函数的对称性可得，‎ 故，由图象可知，，‎ 由二次函数的知识可知，‎ 即，‎ 的范围为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ ‎12．已知函数，，则下列四个结论中正确的是（ ）‎ ‎①图象可由图象平移得到；‎ ‎②函数的图象关于直线对称；‎ ‎③函数的图象关于点对称；‎ ‎④不等式的解集是.‎ A． ①②④ B． ①③④ C． ①②③ D． ①②③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数图象的平移变换法则判断①；根据“若，则的图象关于对称”判断②；根据“若，则的图象关于对称”判断③；根据指数函数的单调性解不等式判断④.‎ ‎【详解】‎ 对于①，若的图象向左平移个单位后得到的图象， ‎ 若的图象向右平移个单位后得到的图象，所以①正确；‎ 对于②，设，则，‎ ‎，，‎ 关于对称，所以②正确；‎ 对于③，设，，‎ ‎，‎ ‎，关于对称，所以③正确；‎ 对于④，由得，化为，‎ ‎，若，‎ 若，所以④错误，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象的平移变换，以及函数的对称性的应用，属于难题. （1）若，则的图象关于对称；（2）若，则的图象关于对称.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数 ，且 那么其图象经过的定点坐标是___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】借助过定点，令，可得的图象恒过定点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 令，求得，且，‎ 即时，总有，‎ 所以的图象恒过定点坐标为，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点 解答.‎ ‎14．函数的定义域为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用幂函数与对数函数的定义域列不等式组求解即可.‎ ‎【详解】‎ 要使有意义，则根号下大于或等于零，真数大于零，‎ 可得，解得，‎ 函数的定义域为，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎15．已知函数，,则______‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由，求得，结合 换底公式，可得 ‎ ‎，代入解析式即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以可得， ‎ 所以 ，故答案为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的解析式以及函数奇偶性的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎16．已知是奇函数，当时，；则当时，______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则，求得 ，利用是奇函数可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设，则，‎ 又当时，，‎ 故 ，‎ 又函数为奇函数，故 ‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．‎ ‎17．设函数 ，则实数a的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分四情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别求出，从而求出，然后分别解不等式，综合可得结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，恒成立；‎ 当时，恒成立；‎ 当时，成立，‎ 当时，，由，‎ 得，解得，‎ 综上可得，的取值范围为，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值；其次解关于 的不等式.‎ ‎18．若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，当k＞0时，函数定义域是（0，+∞），当k＜0时，函数定义域是（-1，0）‎ 当k＞0时，lgkx=2lg（x+1）‎ ‎∴lgkx-2lg（x+1）=0‎ ‎∴lgkx-lg（x+1）2=0，即kx=（x+1）2在（0，+∞）仅有一个解 ‎∴x2-（k-2）x+1=0在（0，+∞）仅有一个解 令f（x）=x2-（k-2）x+1‎ 又当x=0时，f（x）=x2-（k-2）x+1=1＞0‎ ‎∴△=（k-2）2-4=0‎ ‎∴k-2=±2‎ ‎∴k=0舍，或4‎ k=0时lgkx无意义，舍去 ‎∴k=4‎ 当k＜0时，函数定义域是（-1，0）‎ 函数y=kx是一个递减过（-1，-k）与（0，0）的线段，函数y=（x+1）2‎ 在（-1，0）递增且过两点（-1，0）与（0，1），此时两曲线段恒有一个交点，故k＜0符合题意 故答案为：k=4或k＜0．‎ 三、解答题 ‎19．已知集合=,集合,全集为.‎ ‎(1) 设时，求；‎ ‎(2) 若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)根据一元二次不等式的解法化简集合，由补集的定义求得，由交集的定义可得结果；(2) 等价于,讨论当、两种情况，分别根据一元二次不等式的解法化简集合，结合（1），根据包含关系列不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎(1) 当时， ＝；‎ ‎(2) 由知，,‎ ‎①当时，，若，则；‎ ‎②当时，，满足.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，以及分类讨论数形的应用，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.‎ ‎20．设函数．‎ ‎(1) 求不等式的解集；‎ ‎(2) 若不等式恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用零点分区间讨论去掉绝对值符号，化为分段函数，在毎一个前提下解不等式，每一步的解都要和前提条件找交集得出毎一步的解，最后求并集得出不等式的解；(2)根据（1）所化出的分段函数的单调性，求出函数的最小值，利用恒成立等价于，列不等式即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数可化为,‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得．‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎(2)关于x的不等式恒成立等价于，‎ 由(1)可知，‎ 即，解得．‎ ‎【点睛】‎ 绝对值不等式的常见解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎21．已知定义域为的函数是奇函数.‎ ‎(1) 求实数的值；‎ ‎(2) 判断并用定义证明该函数在定义域上的单调性；‎ ‎(3) 若方程在内有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】(1)根据解得，再利用奇偶性的定义验证，即可求得实数的值；(2)先对分离常数后，判断出为递减函数，再利用单调性的定义作差证明即可；(3)先用函数的奇函数性质，再用减函数性质变形，然后分离参数可得，在内有解，令，只要.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意得，，故，此时，‎ 对任意均有，‎ 所以是奇函数，所以.‎ ‎（2）在上是减函数，证明如下：任取，则 ‎ ‎ 所以该函数在定义域上是减函数．‎ ‎（3）由函数为奇函数知，‎ ‎，‎ 又函数是单调递减函数，从而，‎ 即方程在内有解，‎ 令，只要，‎ ‎， 且，∴‎ ‎∴当时，原方程在内有解．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及函数值域的应用，属于难题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.‎ ‎22．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝ 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．‎ ‎(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？‎ ‎(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据: 取1.4)．‎ ‎【答案】(1) 8;(2)1.6. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题中条件每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间 (单位：天)变化的函数关系已经给出，则易得一次喷洒4个单位的净化剂时的函数关系式： ，这样就得到一个分段函数，对分段函数的处理常用的原则：先分开，现合并，解两个不等式即可求解; （2）中若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，根据题意从第6天开始浓度来源与两方面，这是题中的难点，前面留下的为： ‎ ‎，后面新增的为： ，所得化简即可得到： ，结合基本不等式知识求出最小值，最后解一个不等式： ，即可求解．‎ 试题解析：（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，‎ 所以浓度 则当时，由，解得，所以此时． 3分 当时，由解得，所以此时．‎ 综合得，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． 7分 ‎（2）设从第一次喷洒起，经x（）天，‎ 浓度． 10分 因为，而，‎ 所以，故当且仅当时，y有最小值为.‎ 令，解得，所以a的最小值为． 14分 ‎【考点】1.实际应用问题;2.分段函数;3.基本不等式．‎