2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：板块命题点专练(十三)　直线与圆的方程

2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：板块命题点专练(十三)　直线与圆的方程

‎ 板块命题点专练(十三)　直线与圆的方程 ‎ ‎(研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距)‎ 命题点一　直线的方程、两条直线的位置关系 命题指数：☆☆☆　 难度：低　 题型：选择题 ‎1．(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝‎1”‎是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．(2013·天津高考)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝(　　)‎ A．－ B．1‎ C．2 D. ‎3．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x2＋(y－3)2 ＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0 垂直，则l 的方程是 (　　)‎ ‎ A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0‎ C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0‎ 命题点二　圆的方程、直线与圆的位置关系 命题指数：☆☆☆☆☆‎ ‎　难度：中　 题型：选择题、填空题、解答题 ‎1．(2013·安徽高考)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D. 4 ‎2．(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．‎ ‎3．(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．‎ ‎4．(2013·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________________________________________________________________________．‎ ‎5．(2014·湖北高考)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.‎ ‎6．(2014·陕西高考)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C 的标准方程为____________________________________________________________________．‎ ‎7．(2014·山东高考)圆心在直线 x－2y＝0上的圆 C与 y轴的正半轴相切，圆 C截x 轴所得弦的长为2 ，则圆C 的标准方程为________________．‎ ‎8．(2014·北京高考)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎9.(2013·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．‎ ‎(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．‎ 答案 命题点一 ‎1．选C　由a＝1可得l1∥l2，反之由l1∥l2可得a＝1.‎ ‎2．选C　由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.‎ ‎3．选D　依题意，得直线l过点(0,3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0.故选D.‎ 命题点二 ‎1．选C　依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝1，所以结合图形可知弦长的一半为＝2，故弦长为4.‎ ‎2．解析：最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d＝＝，所以最短弦长为2＝2＝2.‎ 答案：2 ‎3．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为，即＝，所以m2＋n2＝≥2|mn|，‎ 所以|mn|≤，又A，B，所以△AOB的面积为≥3，最小值为3.‎ 答案：3‎ ‎4．解析：如图所示，圆心在直线x＝2上，所以切点A为(2,1)．‎ 设圆心C为(2，t)，由题意，可得|OC|＝|CA|，‎ 故4＋t2＝(1－t)2，∴t＝－，半径r2＝.‎ 所以圆C的方程为(x－2)2＋2＝.‎ 答案：(x－2)2＋2＝ ‎5．解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即＝ ‎⇒a2＝1，同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2.‎ 答案：2‎ ‎6．解析：因为点(1,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ 答案：x2＋(y－1)2＝1‎ ‎7．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b，b)(其中b＞0)，则圆C的半径为2b，圆心到x轴的距离为b，所以2＝2，b＞0，解得b＝1，故所求圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4‎ ‎8．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.‎ 因此a＝2，c＝.‎ 故椭圆C的离心率e＝＝.‎ ‎(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：‎ 设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0.‎ 因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，‎ 解得t＝－.‎ 当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±，‎ 故直线AB的方程为x＝±，‎ 圆心O到直线AB的距离d＝.‎ 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．‎ 当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)．‎ 即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.‎ d＝ .‎ 又x＋2y＝4，t＝－，故 d＝＝＝.‎ 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．‎ ‎9．解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，‎ 由题意，得＝1，解得k＝0或k＝－，‎ 故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.‎ ‎(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，‎ 所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.‎ 设点M(x，y)，因为MA＝2MO，‎ 所以＝2，‎ 化简得x2＋y2＋2y－3＝0，‎ 即x2＋(y＋1)2＝4，‎ 所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．‎ 由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.‎ 由‎5a2－‎12a＋8≥0，得a∈R；‎ 由‎5a2－‎12a≤0，得0≤a≤.‎ 所以点C的横坐标a的取值范围为0，.‎