2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第三篇 (一)
第三篇 渗透数学思想
，
提升学科素养
数学
教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界
.
数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现
.
二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用
.
(
一
)
函数
与方程思想、数形结合思想
函数与方程思想
栏目索引
数形结合思想
数学
素养专练
一、函数与方程思想在不等式中的应用
函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题
.
一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解
.
函数与方程思想
1.
若
0<
x
1
<
x
2
<1
，则
A.
>
ln
x
2
－
ln
x
1
B
.
g
(
x
2
)
，
∴
，
故选
C.
答案
解析
(
－
∞
，
0)
解析
∵
函数
g
(
x
)
的图象关于直线
x
＝
2
对称，
∴
g
(0)
＝
g
(4)
＝
1.
又
g
′
(
x
)
－
g
(
x
)<0
，
∴
f
′
(
x
)<0
，
∴
f
(
x
)
在
R
上单调递减
.
∴
f
(
x
)>
f
(0)
，
∴
x
<0.
答案
解析
(
－
∞
，－
1)
∪
(2
，＋
∞
)
问题转化为
m
(
x
－
2)
＋
(
x
－
2)
2
>0
恒成立，
当
x
＝
2
时，不等式不成立，
∴
x
≠
2.
解得
x
>2
或
x
<
－
1.
4.
若
x
∈
[
－
2
，
1]
时，不等式
ax
3
－
x
2
＋
4
x
＋
3
≥
0
恒成立，则实数
a
的取值范围是
_____
_
_____.
[
－
6
，－
2]
答案
解析
故
f
(
x
)
在
[
－
2
，－
1]
上单调递减，在
(
－
1
，
0)
上单调递增，
当
x
＝
0
时，不等式恒成立
.
则
f
(
x
)
在
(0
，
1]
上单调递增，
综上，实数
a
的取值范围是
[
－
6
，－
2].
二、函数与方程思想在数列中的应用
数列的通项与前
n
项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程
(
组
)
来解决
.
5.
已知
{
a
n
}
是等差数列，
a
10
＝
10
，其前
10
项和
S
10
＝
70
，则其公差
d
等于
解析
设等差数列的首项为
a
1
，公差为
d
，
√
答案
解析
A.
－
3
B
.
－
1
C.3
D.1
√
答案
解析
7.
在等差数列
{
a
n
}
中，若
a
1
<0
，
S
n
为其前
n
项和，且
S
7
＝
S
17
，则
S
n
取最小值时
n
的值为
____.
解析
由已知得，
等差数列
{
a
n
}
的公差
d
>0
，
设
S
n
＝
f
(
n
)
，则
f
(
n
)
为二次函数，
又由
f
(7)
＝
f
(17)
知，
f
(
n
)
的图象开口向上，关于直线
n
＝
12
对称，
故
S
n
取最小值时
n
的值为
12.
12
答案
解析
8.
设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
若
S
4
＝－
2
，
S
6
＝
3
，
则
nS
n
的最小值为
____.
又
∵
n
是正整数，故当
n
＝
3
时，
nS
n
取得最小值－
9.
－
9
答案
解析
三、函数与方程思想在解析几何中的应用
解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程
(
组
)
的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答
.
A.2
B.4
C.6
D.8
√
答案
解析
解析
不妨设抛物线
C
：
y
2
＝
2
px
(
p
>0)
，
圆的方程设为
x
2
＋
y
2
＝
r
2
(
r
>0)
，
如图
，
联立
①②③
，解得
p
＝
4(
负值舍去
)
，
即
C
的焦点到准线的距离为
p
＝
4
，故选
B.
√
答案
解析
解析
因为
∠
PAQ
＝
60°
，
|
AP
|
＝
|
AQ
|
，
所以
|
AP
|
＝
|
AQ
|
＝
|
PQ
|
，设
|
AQ
|
＝
2
R
，
即
a
2
b
2
＝
3
R
2
(
a
2
＋
b
2
)
，
在
△
OQA
中，由余弦定理得，
|
OA
|
2
＝
|
OQ
|
2
＋
|
QA
|
2
－
2|
OQ
||
QA
|cos 60°
所以双曲线
C
的离心率为
答案
解析
直线
AB
，
EF
的方程分别为
x
＋
2
y
＝
2
，
y
＝
kx
(
k
>0).
如图，设
D
(
x
0
，
kx
0
)
，
E
(
x
1
，
kx
1
)
，
F
(
x
2
，
kx
2
)
，
其中
x
1
<
x
2
，且
x
1
，
x
2
满足方程
(1
＋
4
k
2
)
x
2
＝
4
，
由点
D
在
AB
上知
x
0
＋
2
kx
0
＝
2
，
化简得
24
k
2
－
25
k
＋
6
＝
0
，
12.
已知直线
l
：
y
＝
k
(
x
＋
1)
与抛物线
C
：
y
2
＝
4
x
交于不同的两点
A
，
B
，且以
AB
为直径的圆过抛物线
C
的焦点
F
，则
k
＝
______
__
__.
答案
解析
解析
点
F
的坐标为
(1
，
0)
，设
A
(
x
1
，
y
1
)
，
B
(
x
2
，
y
2
)
，
则
y
1
＝
k
(
x
1
＋
1)
，
y
2
＝
k
(
x
2
＋
1)
，
当
k
＝
0
时，
l
与
C
只有一个交点，不合题意，因此
k
≠
0.
将
y
＝
k
(
x
＋
1)
代入
y
2
＝
4
x
，
消去
y
，得
k
2
x
2
＋
2(
k
2
－
2)
x
＋
k
2
＝
0
，
①
依题意知，
x
1
，
x
2
是
①
的不相等的两个实根，
由以
AB
为直径的圆过
F
，得
AF
⊥
BF
，
即
k
AF
·
k
BF
＝－
1
，
所以
x
1
x
2
＋
k
2
(
x
1
＋
1)(
x
2
＋
1)
－
(
x
1
＋
x
2
)
＋
1
＝
0
，
所以
(1
＋
k
2
)
x
1
x
2
＋
(
k
2
－
1)(
x
1
＋
x
2
)
＋
1
＋
k
2
＝
0
，
③
数形结合思想
一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用
讨论方程的解
(
或函数零点
)
的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数
.
构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数
.
A.0
B.1
C.2
D.3
√
由图可知只有一个交点，所以有一个零点
.
故选
B.
答案
解析
答案
解析
解析
x
＝
0
是方程的一个实数解；
则两函数图象有三个非零交点
.
答案
解析
－
7
解析
因为函数
f
(
x
)
为偶函数
，
所以
f
(
－
x
－
1)
＝
f
(
x
＋
1)
＝
f
(
x
－
1
)
，
所以
函数
f
(
x
)
的周期为
2.
又当
x
∈
[
－
1
，
0]
时，
f
(
x
)
＝－
x
3
，
由此
在同一平面直角坐标系内作出函数
y
1
＝
f
(
x
)
与
y
2
＝
|cos π
x
|
的图象如图所示
.
不妨设
x
1
<
x
2
<
x
3
<
x
4
<
x
5
<
x
6
<
x
7
，
则由图得
x
1
＋
x
2
＝－
4
，
x
3
＋
x
5
＝－
2
，
x
4
＝－
1
，
x
6
＋
x
7
＝
0
，
解析
画出函数
f
(
x
)
的图象如图所示，
由图可知，要使直线
y
＝
ax
与函数
f
(
x
)
有两个交点，
答案
解析
二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用
构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式
.
答案
解析
A.(
－
∞
，－
1] B.(0
，＋
∞
)
C.(
－
1
，
0)
D
.(
－
∞
，
0)
√
f
(
x
＋
1)
＜
f
(2
x
)
即为
2
－
(
x
＋
1)
＜
2
－
2
x
，即－
(
x
＋
1)
＜－
2
x
，解得
x
＜
1.
因此不等式的解集为
(
－
∞
，－
1].
因此不等式的解集为
(
－
1
，
0).
综上，不等式
f
(
x
＋
1)
＜
f
(2
x
)
的解集为
(
－
∞
，
0).
故选
D.
∴
函数
f
(
x
)
的图象如图所示
.
由图可知，当
x
＋
1
≤
0
且
2
x
≤
0
时，函数
f
(
x
)
为减函数，
故
f
(
x
＋
1)
＜
f
(2
x
)
转化为
x
＋
1
＞
2
x
.
此时
x
≤
－
1
.
当
2
x
＜
0
且
x
＋
1
＞
0
时，
f
(2
x
)
＞
1
，
f
(
x
＋
1)
＝
1
，
满足
f
(
x
＋
1)
＜
f
(2
x
).
此时－
1
＜
x
＜
0.
综上，不等式
f
(
x
＋
1)
＜
f
(2
x
)
的解集为
(
－
∞
，－
1]
∪
(
－
1
，
0)
＝
(
－
∞
，
0
).
故
选
D.
6.
设
A
＝
{(
x
，
y
)|
x
2
＋
(
y
－
1)
2
＝
1}
，
B
＝
{(
x
，
y
)|
x
＋
y
＋
m
≥
0}
，则使
A
⊆
B
成立的实数
m
的取值范围是
______________.
解析
集合
A
是圆
x
2
＋
(
y
－
1)
2
＝
1
上的点的集合，
集合
B
是不等式
x
＋
y
＋
m
≥
0
表示的平面区域内的点的集合，
要使
A
⊆
B
，则应使圆被平面区域所包含
(
如图
)
，
即
直线
x
＋
y
＋
m
＝
0
应与圆相切或相离
(
在圆的左下方
)
，
答案
解析
答案
解析
解析
根据题意知
f
(
x
)
是一个分段函数
，
当
x
≥
1
时
，
是一个开口向下的二次函数
，
对称轴
方程为
x
＝
a
；
当
x
<1
时，是一个一次函数
.
当
a
>1
时，如图
(1)
所示，符合题意；
当
0
≤
a
≤
1
时
，如图
(2)
所示，符合题意；
当
a
<0
时，如图
(3)
所示，此时函数在
R
上单调递减，不满足题意
.
综上所述，可得
a
≥
0.
[0
，＋
∞
)
答案
解析
三、数形结合思想在解析几何中的应用
在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；
常见的几何结构的代数形式主要有：
①
比值
——
可考虑直线的斜率；
②
二元一次式
——
可考虑直线的截距；
③
根式分式
——
可考虑点到直线的距离；
④
根式
——
可考虑两点间的距离
.
9.
已知圆
C
：
(
x
－
3)
2
＋
(
y
－
4)
2
＝
1
和两点
A
(
－
m
，
0)
，
B
(
m
，
0)(
m
>0).
若圆
C
上存在点
P
，
使得
∠
APB
＝
90°
，
则
m
的最大值为
A.7
B.6
C.5
D.4
√
解析
根据题意，画出示意图，如图所示，
则圆心
C
的坐标为
(3
，
4)
，
半径
r
＝
1
，
且
|
AB
|
＝
2
m
，
因为
∠
APB
＝
90°
，连接
OP
，可知
|
OP
|
＝
|
AB
|
＝
m
.
要求
m
的最大值，即求圆
C
上的点
P
到原点
O
的最大距离
.
因为
|
OC
|
＝
5
，所以
|
OP
|
max
＝
|
OC
|
＋
r
＝
6
，即
m
的最大值为
6.
答案
解析
答案
解析
√
解析
如图所示
，设以
A
1
A
2
为直径的圆与直线
PF
2
的切点为
Q
，连接
OQ
，
则
OQ
⊥
PF
2
.
又
PF
1
⊥
PF
2
，
O
为
F
1
F
2
的中点，
所以
|
PF
1
|
＝
2|
OQ
|
＝
2
a
.
又
|
PF
2
|
－
|
PF
1
|
＝
2
a
，
所以
|
PF
2
|
＝
4
a
.
在
Rt
△
F
1
PF
2
中，由
|
PF
1
|
2
＋
|
PF
2
|
2
＝
|
F
1
F
2
|
2
，
11.
已知抛物线的方程为
x
2
＝
8
y
，
F
是其焦点，点
A
(
－
2
，
4)
，在此抛物线上求一点
P
，使
△
APF
的周长最小，此时点
P
的坐标为
_____
_
___.
答案
解析
解析
因为
(
－
2)
2
<8
×
4
，所以点
A
(
－
2
，
4)
在抛物线
x
2
＝
8
y
的内部，
如图，设抛物线的准线为
l
，
过点
P
作
PQ
⊥
l
于点
Q
，过点
A
作
AB
⊥
l
于点
B
，连接
AQ
，
由抛物线的定义可知，
△
APF
的周长为
|
PF
|
＋
|
PA
|
＋
|
AF
|
＝
|
PQ
|
＋
|
PA
|
＋
|
AF
|
≥
|
AQ
|
＋
|
AF
|
≥
|
AB
|
＋
|
AF
|
，
当且仅当
P
，
B
，
A
三点共线时，
△
APF
的周长取得最小值，即
|
AB
|
＋
|
AF
|.
因为
A
(
－
2
，
4)
，
所以
不妨设
△
APF
的周长最小时，点
P
的坐标为
(
－
2
，
y
0
)
，
12.
已知
P
是直线
l
：
3
x
＋
4
y
＋
8
＝
0
上的动点，
PA
，
PB
是圆
x
2
＋
y
2
－
2
x
－
2
y
＋
1
＝
0
的两条切线，
A
，
B
是切点，
C
是圆心，则四边形
PACB
面积的最小值为
______.
答案
解析
解析
连接
PC
，
由题意知圆的圆心
C
(1
，
1)
，
半径为
1
，
从运动的观点看问题
，
当
动点
P
沿
直线
3
x
＋
4
y
＋
8
＝
0
向左上方或右下方无穷远处运动时，
从而
S
四边形
PACB
也越来越大；
当点
P
从左上、右下两个方向向中间运动时，
S
四边形
PACB
变小，
显然，当点
P
到达一个最特殊的位置，
即
CP
垂直于直线
l
时，
S
四边形
PACB
有唯一的最小值，
数学素养专练
1.(2018·
咸阳模拟
)
已知定义在
R
上的函数
f
(
x
)
的导函数为
f
′
(
x
)
，且
f
(
x
)
＋
f
′
(
x
)>1
，设
a
＝
f
(2)
－
1
，
b
＝
e[
f
(3)
－
1]
，则
a
，
b
的大小关系为
A.
a
<
b
B.
a
>
b
C.
a
＝
b
D
.
无法确定
√
解析
令
g
(
x
)
＝
e
x
f
(
x
)
－
e
x
，
则
g
′
(
x
)
＝
e
x
[
f
(
x
)
＋
f
′
(
x
)
－
1]>0
，
即
g
(
x
)
在
R
上为增函数
.
所以
g
(3)>
g
(2)
，
即
e
3
f
(3)
－
e
3
>e
2
f
(2)
－
e
2
，
整理得
e[
f
(3)
－
1]>
f
(2)
－
1
，即
a
<
b
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
2.(2018·
宣城调研
)
定义在
R
上的奇函数
f
(
x
)
满足
f
(
x
＋
2)
＝－
f
(
x
)
，且在
[0
，
1]
上是减函数，则有
√
解析
因为
f
(
x
＋
2)
＝－
f
(
x
)
＝
f
(
－
x
)
，
所以函数
f
(
x
)
的图象关于直线
x
＝
1
对称，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
3.
在三棱锥
A
－
BCD
中，
△
ABC
为等边三角形，
AB
＝
，
∠
BDC
＝
90
°
，
二面角
A
－
BC
－
D
的大小为
150°
，则三棱锥
A
－
BCD
的外接球的表面积为
A.7π
B.12π
C.16π
D.28π
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析
满足题意的三棱锥
A
－
BCD
如图所示，
设三棱锥
A
－
BCD
的外接球的球心为
O
，半径为
R
，
△
BCD
，
△
ABC
的外接圆的圆心分别为
O
1
，
O
2
，
可知
O
，
O
1
，
O
2
在同一平面内
，
由
二面角
A
－
BC
－
D
的大小为
150°
，
得
∠
OO
1
O
2
＝
150°
－
90°
＝
60°.
依题意，可得
△
BCD
，
△
ABC
的外接圆的半径分别为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以三棱锥
A
－
BCD
的外接球的表面积为
4π
R
2
＝
28π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
∴
c
2
＝
5
a
2
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
5.
记实数
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
中最小数为
min{
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
}
，则定义在区间
[0
，＋
∞
)
上的函数
f
(
x
)
＝
min{
x
2
＋
1
，
x
＋
3
，
13
－
x
}
的最大值为
A.5
B.6
C.8
D.10
√
解析
在同一坐标系中作出三个函数
y
1
＝
x
2
＋
1
，
y
2
＝
x
＋
3
，
y
3
＝
13
－
x
的图象如图
.
由图可知，在实数集
R
上，
min{
x
2
＋
1
，
x
＋
3
，
13
－
x
}
为
y
2
＝
x
＋
3
上
A
点下方的射线，抛物线
AB
之间的部分，线段
BC
与直线
y
3
＝
13
－
x
在点
C
下方的部分的组合体
.
显然
，在区间
[0
，＋
∞
)
上，在
C
点时，
y
＝
min{
x
2
＋
1
，
x
＋
3
，
13
－
x
}
取得最大值
.
所以
f
(
x
)
max
＝
8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6.
已知函数
f
(
x
)
＝
|lg(
x
－
1)|
，若
1
＜
a
＜
b
且
f
(
a
)
＝
f
(
b
)
，则
a
＋
2
b
的取值范围为
A.(3
＋
，＋
∞
) B.[3
＋
，＋
∞
)
C.(6
，＋
∞
)
D
.[6
，＋
∞
)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
解析
由图象可知
b
＞
2
，
1
＜
a
＜
2
，
∴
－
lg(
a
－
1)
＝
lg(
b
－
1)
，
由对勾函数的性质知，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
解析
函数
f
(
x
)
及
y
＝
mx
的图象如图所示，
由图象可知，当
m
>0
时，不等式
f
(
x
)
≥
mx
不恒成立，
因为
f
′
(
x
0
)
＝
2
x
0
－
3
，
因为该切线过原点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A.(
－
1
，＋
∞
) B.(3
，＋
∞
)
C.(0
，＋
∞
)
D
.(
－
∞
，－
1)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
即函数
f
(
x
)
在
R
上单调递增
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
令
g
(
x
)
＝
x
2
＋
2
x
，
x
∈
[
－
2
，
1].
则
k
>
g
(
x
)
min
＝
g
(
－
1)
＝－
1
故实数
k
的取值范围是
(
－
1
，＋
∞
).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
解析
如图所示，设正四棱锥的底面边长为
a
，高为
h
.
令
f
′
(
h
)
＝
0
，解得
h
＝
2.
当
h
∈
(0
，
2)
时，
f
′
(
h
)<0
，
f
(
h
)
单调递减
；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
当
h
∈
(2
，＋
∞
)
时，
f
′
(
h
)>0
，
f
(
h
)
单调递增，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10.
若函数
f
(
x
)
＝
|2
x
－
2|
－
b
有两个零点，则实数
b
的取值范围是
_______.
(0
，
2)
解析
由
f
(
x
)
＝
|2
x
－
2|
－
b
有两个零点，
可得
|2
x
－
2|
＝
b
有两个不等的实根，
从而可得函数
y
1
＝
|2
x
－
2|
的图象与函数
y
2
＝
b
的图象有两个交点，如图所示
.
结合函数的图象，可得
0<
b
<2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
解析
方法一 联立
C
1
和
C
2
的方程，消去
x
，
由椭圆
C
1
可知，－
2
≤
y
≤
2
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
它的补集就是圆
C
2
与椭圆
C
1
没有公共点的
r
的集合，
方法二 联立
C
1
和
C
2
的方程消去
x
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
又
r
>0
，解得
0<
r
<1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
则
φ
′
(
x
)
＝
x
(e
x
－
1).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以
φ
′
(
x
)>0
，
因此
g
′
(
x
)>0
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
