新疆沙雅县第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
沙雅县第二中学 2019-2020 学年（一）期中考试卷
高一年级数学
满分：150 分 考试时间：150 分钟
注意事项：
1、请考生将自己的姓名、班级、学号填写在试卷的指定位置。
2、答题前，请先仔细查看试卷，如果试卷有误，请举手向监考老师示意。
3、请将答案全部写在答题卷上，答题时不要超出装订线，答在试卷或草稿纸上无效。
4、考试结束后，将本试题卷和答题卷一并交回。
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符
合题目要求的)
1.某城市 2017 年的空气质量状况如下表所示:
污染指
数 T
不大
于 30
(30,60]
(60,
100]
(100,
110]
(110,
130]
(130,
140]
概率 P
其中污染指数 T≤50 时,空气质量为优;50
3”的否定是________．
14.在区间[-1,2]上随机取一个实数 x,则事件“1≤2x≤2”发生的概率为________.
15.口袋内装有 100 个大小相同的红球、白球和黑球,其中有 45 个红球,从中摸出 1 个球,摸出
白球的概率为 0.23,则摸出黑球的概率为________.
16．已知下列四个命题：
①若 tan θ＝2，则 sin 2θ＝4
5
；②函数 f(x)＝lg(x＋ 1＋x2)是奇函数；
③“a>b”是“2a>2b”的充分不必要条件；④在△ABC 中，若 sin Acos B＝sin C，则△ABC 是
直角三角形．
其中所有真命题的序号是________．
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12 分)已知盒子中有散落的棋子 15 粒,其中 6 粒是黑子,9 粒是白子,已知从中取出 2 粒都
是黑子的概率是 ,从中取出2 粒都是白子的概率是 ,现从中任意取出2 粒恰好是同一色的概
率是多少?
18.(12 分)某区的区人大代表有教师 6 人,分别来自甲、乙、丙、丁四个学校,其中甲校教师记
为 A1,A2,乙校教师记为 B1,B2,丙校教师记为 C,丁校教师记为 D.现从这 6 名教师代表中选出 3
名教师组成十九大报告宣讲团,要求甲、乙、丙、丁四个学校中,每校至多选出 1 名.
(1)请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果.
(2)求教师 A1 被选中的概率.
(3)求宣讲团中没有乙校教师代表的概率.
19.(12 分)某机构为了解某市民用电情况,抽查了该市 100 户居民月均用电量 (单位:kw·h),
以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频
率分布直方图如图所示.
(1)求样本中月均用电量为[240,260)的用户数量.
(2)估计月均用电量的中位数.
(3)在月均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300),的四组用户中,用分层抽样
的方法抽取 22 户居民,则月均用电量为[220,240)的用户中应该抽取多少户?
20.( 14 分)某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”,现市文明委对甲、乙两地各派 10 名
专家进行打分评优,所得分数情况如茎叶图所示.
(1)分别计算甲、乙两地所得分数的平均值,并计算乙地得分的中位数.
(2)从乙地所得分数在[60,80)间的成绩中随机抽取 2 份做进一步分析,求所抽取的成绩中,至
少有一份分数在[75,80)间的概率.
(3)在甲、乙两地所得分数超过 90 分的成绩中抽取其中 2 份分析其合理性,求这 2 份成绩都是
来自甲地的概率.
21.(12 分)某地随着经济的发展,居民收入逐年增大,下表是该地一农业银行连续五年的储蓄
存款(年底余额),如表:
年份 x 2013 2014 2015 2016 2017
储蓄存款 y/亿元 5 6 7 8 10
为了研究方便,工作人员将上表的数据进行了处理,t=x-2 012,得到下表:
时间代号 t 1 2 3 4 5
y 5 6 7 8 10
(1)求 y 关于 t 的线性回归方程.
(2)求 y 关于 x 的线性回归方程.
(3)用所求回归方程预测,到 2020 年底,该地储蓄存款额大约可达多少?
(附:线性回归方程 = x+ , = , = - )
22．(本小题满分 12 分)设 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，其中 a≠0，q：实数 x 满足
x2＋x－12≤0，
x2＋3x－10>0，
若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．
高二期中考试答案
1.【解析】选 A.P= + + = .
2．命题“若 a>0，则 a2>0”的逆命题是( )
A．若 a>0，则 a2≤0 B．若 a2>0，则 a>0
C．若 a≤0，则 a2>0 D．若 a≤0，则 a2≤0
解析：交换原命题的条件和结论即可得其逆命题．
答案：B
2.解析：在△ABC 中，0b”是“2a>2b”的充要条件，故③是假命题；
在△ABC 中，若 sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，则 cos Asin
B＝0，由 sin B≠0 得 cos A＝0，A＝90°，即△ABC 是直角三角形．故④是真命题．
答案：①②④
17.【解析】从中取出 2 粒都是黑子与都是白子互斥,因而从盒子中任意取出 2 粒恰好是同一
色的概率恰为取 2 粒白子的概率与 2 粒黑子的概率的和,即为 + = .
18.【解答】解：（1）∵从左到右各小长方形的面积之比为 2：4：17：15：9：3，
第二小组频数为 12．
∴样本容量是 =150，
∴第二小组的频率是 =0.08．
（2）∵次数在 110 以上为达标，
∴在这组数据中达标的个体数一共有 17+15+9+3，
∴全体学生的达标率估计是 =0.88
19.解：(1)所有可能的摸出结果是：{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，
a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．
(2)不正确．理由如下：
由(1)知，所有可能的摸出结果共 12 种，其中摸出的 2 个球都是红球的结果为{A1，a1}，
{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共 4 种，所以中奖的概率为
4
12＝
1
3，不中奖的概率为 1－
1
3＝
2
3>
1
3，
故这种说法不正确．
20.解： 有两个不相等的负根 ．
无实根 ．
由 为真，即 或 得 ；
为假，
或 为真， 为真时， ， 为真时， 或 ．
或 为真时， 或 ．
所求 取值范围为 ．
21.解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以 a＝0. 006.
(2)由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.022＋0.018)×
10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4.
(3)受访职工中评分在[50，60)的有：
50×0.006×10＝3(人)，记为 A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为 B1，B2.
从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，它们是{A1，A2}，{A1，
A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因
为所抽取 2 人的评分都在[40，50)的结果有 1 种，即{B1，B2}，故所求的概率为
1
10.
22.解：(1)散点图如图所示，两个变量有线性相关关系．
(2)设回归直线方程是
y
^＝
b
^x＋
a
^.
由题中的数据可知
y
－＝3.4，
x
－＝6.所以
＝
10
20
＝0.5.
a
^＝
y
－－
b
^
x
－＝3.4－0.5×6＝0.4.
所以利润额 y 关于销售额 x 的回归直线方程为
y
^＝0.5x＋0.4.
(3)由(2)知，当 x＝4 时，
y
^＝0.5×4＋0.4＝2.4，所以当销售额为 4 千万元时，可以估
计该商场的利润额为 2.4 百万元．
