2018届二轮复习第2讲　函数的应用课件（全国通用）

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第 2 讲　函数的应用 专题二　函数与导数 栏目索引 高考 真题体验 1 热点 分类突破 2 高考 押题精练 3 解析 √ 高考真题 体验 1 2 3 4 解析 因为函数 f ( x ) 在区间 (π ， 2π) 内没有零点， 若函数 f ( x ) 在区间 (π ， 2π) 内有零点， 所以函数 f ( x ) 在区间 (π ， 2π) 内没有零点时， 解析 √ 1 2 3 4 解析　 由 y ＝ log a ( x ＋ 1) ＋ 1 在 [0 ，＋ ∞ ) 上递减，得 0< a <1. 解析 如图所示，在同一坐标系中作出函数 y ＝ | f ( x )| 和 y ＝ 2 － x 的图象 . 1 2 3 4 由图象可知，在 [0 ，＋ ∞ ) 上， | f ( x )| ＝ 2 － x 有且仅有一个解 . 故在 ( － ∞ ， 0) 上， | f ( x )| ＝ 2 － x 同样有且仅有一个解 . 得 x 2 ＋ (4 a － 2) x ＋ 3 a － 2 ＝ 0( 其中 x <0) ，则 Δ ＝ (4 a － 2) 2 － 4(3 a － 2) ＝ 0 ， 故选 C. 1 2 3 4 解析　 如图，当 x ≤ m 时， f ( x ) ＝ | x | ； 当 x > m 时， f ( x ) ＝ x 2 － 2 mx ＋ 4 m ， 在 ( m ，＋ ∞ ) 为增函数 ， 若 存在实数 b ，使方程 f ( x ) ＝ b 有三个不同的根 ， 则 m 2 － 2 m · m ＋ 4 m <| m |. ∵ m >0 ， ∴ m 2 － 3 m >0 ，解得 m >3. 解析答案 (3 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 解析　 由题可知 ， 因为 三棱锥每个面都是腰为 2 的等腰三角形 ， 由 正视图可得俯视图 ( 如图 ) ，且三棱锥高为 h ＝ 1 ， 解析答案 4.(2016· 四川 ) 已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ________. 1 2 3 4 1. 求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现 . 2 . 函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题 . 考情考向分 析 返回 热点一　函数的零点 1. 零点存在性定理 如果函数 y ＝ f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f ( a )· f ( b )<0 ，那么，函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内有零点，即存在 c ∈ ( a ， b ) 使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x ) ＝ 0 的根 . 2. 函数的零点与方程根的关系 函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点就是方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 的根，即函数 y ＝ f ( x ) 的图象与函数 y ＝ g ( x ) 的图象交点的横坐标 . 热点分类突破 例 1 　 (1) 已知实数 a >1,0< b <1 ，则函数 f ( x ) ＝ a x ＋ x － b 的零点所在的区间是 ( 　　 ) A.( － 2 ，－ 1) B .( － 1,0) C.(0,1) D.( 1,2) 解析　 因为 a >1,0< b <1 ， f ( x ) ＝ a x ＋ x － b ， 所以 f ( － 1) ＝ － 1 － b <0 ， f (0) ＝ 1 － b >0 ， 由零点存在性定理可知 f ( x ) 在区间 ( － 1,0) 上存在零点 . 解析 √ (2) 函数 f ( x ) ＝ 3 － x ＋ x 2 － 4 的零点个数是 ______. 解析答案 思维升华 解析　 f ( x ) ＝ 3 － x ＋ x 2 － 4 的零点个数，即方程 3 － x ＝ 4 － x 2 的根的个数， 即函数 y ＝ 3 － x ＝ ( ) x 与 y ＝ 4 － x 2 图象的交点个数 . 作出函数 y ＝ ( ) x 与 y ＝ 4 － x 2 的图象，如图所示，可得函数 f ( x ) 的零点个数为 2. 2 函数零点 ( 即方程的根 ) 的确定问题，常见的有： (1) 函数零点值大致存在区间的确定 ； ( 2) 零点个数的确定 ； ( 3) 两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定 . 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解 . 思维 升华 跟踪演练 1 　 (1) 函数 f ( x ) ＝ lg x － 的 零点所在的区间是 ( 　　 ) A.(0,1) B .(1,2) C.(2,3) D .(3,10) 解析　 ∵ f (2) ＝ lg 2 － < 0 ， f (3) ＝ lg 3 － > 0 ， ∴ f (2) f (3)<0 ， 故 f ( x ) 的零点在区间 (2,3) 内 . 解析 √ 解析 √ 解析　 函数 g ( x ) 的零点个数 ， 即 函数 y ＝ f (1 － x ) 的图象与直线 y ＝ 1 的交点个数 . 令 t ＝ 1 － x ， 作出函数 y ＝ f ( t ) 的图象，与直线 y ＝ 1 有 3 个交点， 故 g ( x ) 有 3 个零点 . 热点二　函数的零点与参数的范围 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解 . 解析 √ 解析　 解不等式 x 2 － 1 － (4 ＋ x ) ≥ 1 ，得 x ≤ － 2 或 x ≥ 3 ， 函数 y ＝ f ( x ) ＋ k 的图象与 x 轴恰有三个不同的交点转化为函数 y ＝ f ( x ) 的图象和直线 y ＝－ k 恰有三个不同的交点 . 如图，所以－ 1< － k ≤ 2 ，故－ 2 ≤ k <1. (2) 已知函数 f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 2e x ＋ m － 1 ， g ( x ) ＝ x ＋ ( x >0). ① 若 g ( x ) ＝ m 有零点，求 m 的取值范围； 解析答案 ∴ g ( x ) ＝ m 有零点，只需 m ≥ 2e. ∴ 当 m ∈ [2e ，＋ ∞ ) 时， g ( x ) ＝ m 有零点 . ② 确定 m 的取值范围，使得 g ( x ) － f ( x ) ＝ 0 有两个相异实根 . 解析答案 思维升华 解　 若 g ( x ) － f ( x ) ＝ 0 有两个相异实根，则函数 g ( x ) 与 f ( x ) 的图象有两个不同的交点 . ∵ f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 2e x ＋ m － 1 ＝－ ( x － e) 2 ＋ m － 1 ＋ e 2 ， ∴ 其对称轴为 x ＝ e ， f ( x ) max ＝ m － 1 ＋ e 2 . 若函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有两个交点，则 m － 1 ＋ e 2 >2e ， 即 当 m > － e 2 ＋ 2e ＋ 1 时， g ( x ) － f ( x ) ＝ 0 有两个相异实根 . ∴ m 的取值范围是 ( － e 2 ＋ 2e ＋ 1 ，＋ ∞ ). (1) 方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 根的个数即为函数 y ＝ f ( x ) 和 y ＝ g ( x ) 图象交点的个数 ； ( 2) 关于 x 的方程 f ( x ) － m ＝ 0 有解， m 的范围就是函数 y ＝ f ( x ) 的值域 . 思维 升华 跟踪演练 2 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ e x － 2 x ＋ a 有零点，则 a 的取值范围是 ____ ____ _________. 解析答案 解析　 f ′ ( x ) ＝ e x － 2 ，当 x ∈ ( － ∞ ， ln 2) 时， f ′ ( x )<0 ； 当 x ∈ (ln 2 ，＋ ∞ ) 时， f ′ ( x )>0 ， 所以 f ( x ) min ＝ f (ln 2) ＝ 2 － 2ln 2 ＋ a . 由于 f ( ) ＝ >0 ， 所以 f ( x ) 有零点当且仅当 2 － 2ln 2 ＋ a ≤ 0 ， 所以 a ≤ 2ln 2 － 2. ( － ∞ ， 2ln 2 － 2] 解析　 当 x <3 时，令 ln| x － 1| ＝ 0 ，求得 x ＝ 0 或 x ＝ 2 ， 即 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 3) 上有两个不同的零点 . 由题意，知 f ( x ) ＝ 2 x － a 在 [3 ，＋ ∞ ) 上有且仅有一个零点 ， 则 由 f ( x ) ＝ 0 ，得 a ＝ 2 x ∈ [8 ，＋ ∞ ) ，故选 D. 解析 √ 热点三　函数的实际应用问题 解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域 . 其解题步骤是： (1) 阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题 ； ( 2) 数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式 ； ( 3) 解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果 ； ( 4) 实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答 . 解析答案 解　 当 20< x <180 时， (2) 当 x 为多少时，总利润 ( 单位：元 ) 取得最大值，并求出该最大值 . 解析答案 思维升华 解　 设总利润 f ( x ) ＝ x · q ( x ) ， 解析答案 思维升华 f ( x ) 在 (0,20] 上单调递增， 所以当 x ＝ 20 时， f ( x ) 有最大值 120 000. 思维升华 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 80. 当 20< x <80 时， f ′ ( x )>0 ， f ( x ) 单调递增， 当 80< x <180 时， f ′ ( x )<0 ， f ( x ) 单调递减， 所以当 x ＝ 80 时， f ( x ) 有最大值 240 000. 当 x >180 时， f ( x ) ＝ 0. 答　 当 x 等于 80 元时，总利润取得最大值 240 000 元 . (1) 关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去 . (2) 对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法 . 思维 升华 跟踪演练 3 　 (1) 国家规定个人稿费纳税办法为：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4 000 元的按超过部分的 14% 纳税；超过 4 000 元的按全稿酬的 11% 纳税 . 某人出版了一本书共纳税 420 元，则他的稿费为 ( 　　 ) A.3 000 元 B.3 800 元 C.3 818 元 D.5 600 元 解析 √ 解析　 假设个人稿费为 x 元，所缴纳税费为 y 元 ， 共纳税 420 元 ， 由已知条件可知 y 为 x 的函数，且满足 所以有 0.14( x － 800) ＝ 420 ⇒ x ＝ 3 800 ，故选 B. (2) 某租赁公司拥有汽车 100 辆 . 当每辆车的月租金为 3 000 元时，可全部租出 . 当每辆车的月租金每增加 50 元时，未出租的车将会增加一辆 . 租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为 _____ 元 . 返回 解析答案 所以当 x ＝ 4 050 时， y 取最大值为 307 050 ， 即 当每辆车的月租金定为 4 050 元时，租赁公司的月收益最大为 307 050 元 . 4 050 1 2 3 4 1. f ( x ) ＝ 2sin π x － x ＋ 1 的零点个数为 ( 　　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 押题依据　 函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法 . 解析 押题依据 高考押题精练 √ 1 2 3 4 解析　 令 2sin π x － x ＋ 1 ＝ 0 ，则 2sin π x ＝ x － 1 ， 令 h ( x ) ＝ 2sin π x ， g ( x ) ＝ x － 1 ， 则 f ( x ) ＝ 2sin π x － x ＋ 1 的零点个数问题就转化为两个函数 h ( x ) 与 g ( x ) 图象的交点个数问题 . 所以两个函数图象的交点一共有 5 个 ，所以 f ( x ) ＝ 2sin π x － x ＋ 1 的零点个数为 5. 1 2 3 4 解析 A. [ － 1,1) B .[0,2] C.( － 2,2] D .[ － 1,2) 押题依据　 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想 . 押题依据 √ 1 2 3 4 所以 g ( x ) ＝ 0 的三个不同的实数根为 x ＝ 2( x > a ) ， x ＝－ 1( x ≤ a ) ， x ＝－ 2 ( x ≤ a ). 再借助数轴，可得－ 1 ≤ a <2. 所以实数 a 的取值范围是 [ － 1,2) ，故选 D. 1 2 3 4 解析 3. 函数 y ＝ ln( x ＋ 1) 与 y ＝ 的 图象交点的横坐标所在的区间为 ( 　　 ) A.(0,1) B .( 1,2) C .(2,3) D.(3,4) 押题依据　 确定图象交点横坐标的范围和函数零点存在性定理相结合，本题转化思想应用灵活 . 解析　 令 f ( x ) ＝ ln( x ＋ 1) － ， 因为 f (2) ＝ ln 3 － > 0 ， f (1) ＝ ln 2 － 1<0 ， 又 函数 f ( x ) 在 (1,2) 上的图象是一条连续不断的曲线 ， 所以 函数 f ( x ) 在区间 (1,2) 内有零点，此零点即函数 y ＝ ln( x ＋ 1) 与 y ＝ 的 图象交点的横坐标 . 押题依据 √ 1 2 3 4 解析 4. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园 ( 阴影部分 ) ，则其边长 x 为 ________m. 押题依据　 函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点 . 押题依据 20 答案 返回 1 2 3 4 解析　 如图 ， 过 A 作 AH ⊥ BC 交于点 H ，交 DE 于点 F ， 则 S ＝ x (40 － x ) ≤ ( ) 2 ，当且仅当 40 － x ＝ x ， 即 x ＝ 20 时取等号， 所以满足题意的边长 x 为 20 m . 返回