数学理卷·2019届河南省信阳高级中学高二下学期开学考试（2018-02）

数学理卷·2019届河南省信阳高级中学高二下学期开学考试（2018-02）

河南省信阳高级中学2017-2018学年高二下学期开学考试 理数试题 命题人：孙莉 审题人：熊成兵 一、选择题 ‎1．若，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．命题，命题函数在上有零点，则是的（ ）‎ A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3．已知，则的终边经过点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为，b，c，若，且b2=c，则的值为 ( )‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎5．已知F1、F2是双曲线M： 的焦点， 是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，设|PF1|·|PF2| = n，则（ ）‎ A. n = 12 B. n = 24 C. n = 36 D. 且且 ‎6．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 015(x)等于(　　)‎ A. sin x B. －sin x C. cosx D. －cosx ‎7．是所在平面上的一点，满足，若，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知定义在上的函数是奇函数且满足， ，数列满足（其中为的前项和），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．设定义在上的函数的导函数为，且满足， ，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知抛物线： 的焦点为，过点分别作两条直线， ，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（ ）‎ A. 16 B. 20 C. 24 D. 32‎ ‎11．设等差数列的前项和为，已知， ，则下列选项正确的是（ ）‎ A. ， B. ， ‎ ‎ C. ， D. ， ‎ ‎12．已知曲线y＝x2+1在点P处的切线为l，若l也与函数的图象相切，则x0满足( ) （其中）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎13．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________.‎ ‎14．已知， 满足约束条件则目标函数的最小值为__________．‎ ‎15．如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°°，∠BCD=90°°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为__________．‎ ‎16．若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.‎ 三、计算题 ‎17．（本小题10分）‎ 设命题不等式的解集是；命题不等式的解集是,若“或”为真命题,试求实数的取值范围.‎ ‎[]‎ ‎18．（本小题12分）‎ 如图，四面体中，分别是的中点，‎ ‎（1）求证：平面;‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19．（本小题12分）‎ 在中，角A,B,C所对应的边分别为,b，c且.‎ ‎（1）求角A和角B的大小；‎ ‎（2）若，将函数的图象向右平移个单位后又向上平移了个单位，得到函数的图象，求函数的解析式及单调递减区间.‎ ‎20．（本小题12分）‎ 已知正项等比数列{an}(n∈N)，首项a1＝3，前n项和为Sn，且S3＋a3、S5＋a5，S4＋a4成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）数列{nan}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．‎ ‎21．（本小题12分）‎ 已知点，圆，点是圆上一动点， 的垂直平分线与交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的轨迹为曲线，过点且斜率不为0的直线与交于两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求面积的最大值.‎ ‎22．（本小题12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，记函数的极小值为，若恒成立，求满足条件的最小整数.‎ 参考答案 ‎1．C 2．C 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A ‎【解析】由， 可得： ，构造函数，显然函数是奇函数且为增函数，所以， ，又所以所以，故 ‎12．D ‎【解析】设，所以切线的方程为，整理为： ，同时直线也是函数的切线，设切点为 ‎ ，所以切线方程为 ，整理为 ，直线方程是同一方程，那么 ， ，整理为 ，即 ，设 ， ，所以函数在是单调递增， ， ， ， ，即 ，所以 ，故选D.‎ ‎13．‎ ‎14．‎ ‎15．‎ ‎【解析】以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为．‎ 依题意得CD⊥平面ABC，故球心到截面的距离为，‎ 则球的半径为，所以球的体积为．‎ ‎16．‎ ‎【解析】， ，设 ，设 ，那么 ， 恒成立，所以是单调递减函数，当时， ，当时， ，函数单调递增，当 ， ，函数单调递减，所以 在时，取得最大值， ，即 ，解得： 或 ，写出区间为 ，故填： .‎ ‎17．.‎ 试题解析：由得,由题意得.∴命题p: .由的解集是,得无解,即对,‎ 恒成立,∴,得.∴命题q: .‎ 由“p或q”为真命题,得p、q中至少有一个真命题.‎ 当p、q均为假命题,则,而.‎ ‎∴实数a的值取值范围是.‎ ‎18．（1）见解析（2） ‎ 解析：（1）证明：连结，因为分别是的中点，所以，又平面， 平面，所以平面. ‎ ‎（2）法一：连接，因为， ，所以，同理，又，而，所以，所以 ，又因为 ，所以 平面 .‎ 以分别为轴，建立如图所示的直角坐标系，则 .设平面的法向量，由， 则有，令，得 .又因为,所以，故直线与平面所成角的正弦值为： .‎ 法二：设到平面的距离为，由,有，得 ，故直线与平面所成角的正弦值为： ‎ ‎19．（1）；（2），.‎ 试题解析：（1）中，因为，‎ 所以，所以，‎ 因为，所以，所以，‎ 即，即，所以，‎ 综上可得.‎ ‎（2）因为，所以，所以，‎ 令，‎ 故函数的单调递减区间为.‎ ‎20．(1)an＝3×()n－1.(2)9.‎ 试题解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵S3＋a3、S5＋a5、S4＋a4成等差数列，‎ ‎∴有2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4)‎ 即2(a1＋a2＋a3＋a4＋2a5)＝(a1＋a2＋2a3)＋(a1＋a2＋a3＋2a4)，[]‎ 化简得4a5＝a3，从而4q2＝1，解得q＝±，‎ ‎∵an＞0，∴q＝，得an＝3×()n－1. ‎ ‎(2)由(1)知，nan＝3n×()n－1，Tn＝3×1＋3×2×()＋3×3×()2＋…＋3n()n－1;‎ Tn＝3×1×()＋3×2×()2＋…＋3(n－1)×()n－1＋3n()n 两式相减得：Tn＝3×1＋3×()＋3×()2＋…＋3×()n－1－3n()n ‎＝3×－3n()n＝6－，‎ ‎∴Tn＝12－＜12.‎ 又nan＝3n×()n－1＞0，∴{Tn}单调递增，‎ ‎∴(Tn)min＝T1＝3，故有3≤Tn＜12.‎ ‎∵对任意正整数n，都有Tn∈[a，b]，‎ ‎∴a≤3，b≥12.‎ 即a的最大值为3，b的最小值为12.‎ 故(b－a)min＝12－3＝9.‎ ‎21．(1) .(2) .‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得，‎ 所以，‎ 所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆，‎ 设椭圆方程为，‎ 则，‎ ‎∴．‎ 所以点的轨迹方程是．‎ ‎（2）设直线，‎ 由，消去y整理得，‎ ‎∵直线与椭圆交于两点，‎ ‎∴．‎ 设， ，则，‎ ‎∴，‎ 由题意得，‎ ‎∴直线，‎ 令，则得，‎ ‎∴直线过定点，‎ ‎∴所以的面积 ‎，当且仅当时等号成立.‎ 因此面积的最大值是．‎ ‎22．(1)答案见解析；(2)0.‎ 试题解析：‎ ‎（1）的定义域为，‎ ‎ ‎ ‎①若，当时， ，‎ 故在单调递减，‎ ‎②若，由，得， ‎ ‎（ⅰ）若，当时， ，‎ 当时， ，‎ 故在单调递减，在， 单调递增 ‎（ⅱ）若， ， 在单调递增，‎ ‎（ⅲ）若，当时， ，‎ 当时， ，‎ 故在单调递减，在， 单调递增 ‎（2）由（1）得：若， 在单调递减，‎ 在， 单调递增 所以时， 的极小值为 由恒成立，‎ 即恒成立 设， ‎ 令，‎ 当时， ‎ 所以在单调递减，‎ 且， ‎ 所以， ，‎ 且， ， ， ‎ 所以，‎ 因为 得其中，‎ 因为在上单调递增 所以 因为， ，所以