【数学】2020届一轮复习（文）通用版4-7正弦定理和余弦定理学案
第七节正弦定理和余弦定理
一、基础知识批注——理解深一点
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
正弦定理的常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)＝.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
余弦定理的常见变形
(1)cos A＝；
(2)cos B＝；
(3)cos C＝.
3．三角形的面积公式
(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
二、常用结论汇总——规律多一点
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
4．用余弦定理判断三角形的形状
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，当b2＋c2－a2>0时，可知A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，可知A为直角；当b2＋c2－a2<0时，可知A为钝角．
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．( )
(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
(二)选一选
1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1
C. D.
解析：选D 由正弦定理，得b＝＝＝.
2．(2018·全国卷Ⅱ改编)在△ABC中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B.
C. D．2
解析：选A 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为( )
A．无解 B．有两解
C．有一解 D．解的个数不确定
解析：选B ∵＝，
∴sin B＝sin A＝sin 45°＝.
又∵a
b＝2，∴B1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．(2018·重庆六校联考)在△ABC中，cos B＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选A 因为cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．
4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsin A＝3csin B，a＝3， cos B＝，则b＝( )
A．14 B．6
C. D.
解析：选D ∵bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋1－2×3×1×＝6，∴b＝.
5．(2019·莆田调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，即sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝.∵a>b，∴A>B，即B为锐角，∴B＝.
6．(2019·山西大同联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcos A＋acos B)＝c2，b＝3,3cos A＝1，则a＝( )
A. B．3
C. D．4
解析：选B 由正弦定理可得2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝csin C，
∵2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝2sin(A＋B)＝2sin C，
∴2sin C＝csin C，∵sin C>0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋22－2×3×2×＝9，∴a＝3.
7．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝________.
解析：C＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理得＝，
即＝，解得AC＝2.
答案：2
8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.
解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.
又∵a＝2，∴b＝3.
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，∴c＝4.
答案：4
9．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
解析：由正弦定理＝，
得sin B＝·sin A＝×＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得7＝4＋c2－4c×cos 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
答案： 3
10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________.
解析：因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C．由正弦定理得a＋c＝2b，又因为a＝2c，可得b＝c，所以cos A＝＝＝－.
答案：－
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B.
(1)求证：a＝2bcos B；
(2)若b＝2，c＝4，求B的值．
解：(1)证明：因为A＝2B，所以由正弦定理＝，得＝，
所以a＝2bcos B.
(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，
因为b＝2，c＝4，A＝2B，
所以16cos2B＝4＋16－16cos 2B，所以cos2B＝，
因为A＋B＝2B＋B<π，
所以B<，所以cos B＝，所以B＝.
12．(2019·绵阳模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知，结合正弦定理，
得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
又由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以bc＝－2bccos A，即cos A＝－.
由于A为△ABC的内角，所以A＝.
(2)由已知2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，
结合正弦定理，得2sin2A＝(2sin B＋sin C)sin B＋(2sin C＋sin B)sin C，
即sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2＝.
又由sin B＋sin C＝1，
得sin2B＋sin2C＋2sin Bsin C＝1，
所以sin Bsin C＝，结合sin B＋sin C＝1，
解得sin B＝sin C＝.
因为B＋C＝π－A＝，所以B＝C＝，
所以△ABC是等腰三角形．
B级——创高分自选
1．(2019·郑州质量预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1,4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为( )
A. B.
C. D．6
解析：选A 由2cos2－cos 2C＝1，得1＋cos(A＋B)－(2cos2C－1)＝2－2cos2C－cos C＝1，即2cos2C＋cos C－1＝0，解得cos C＝或cos C＝－1(舍去)．由4sin B＝3sin A及正弦定理，得4b＝3a，结合a－b＝1，得a＝4，b＝3.由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋32－2×4×3×＝13，所以c＝.
2．(2019·长春模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，＝，若sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，则a＋b＝________.
解析：∵＝＝，且由正弦定理可得a＝2Rsin A，c＝2Rsin C(R为△ABC
的外接圆的半径)，∴cos C＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.∵sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，sin C＝sin(A＋B)，∴2sin Acos B＝4sin Bcos B．当cos B＝0时，B＝，则A＝，∵c＝， ∴a＝1，b＝2，则a＋b＝3.当cos B≠0时，sin A＝2sin B，即a＝2b.∵cos C＝＝，∴b2＝1，即b＝1，∴a＝2，则a＋b＝3.综上，a＋b＝3.
答案：3
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c＝2b.
(1)求角A的大小；
(2)若c＝，角B的平分线BD＝，求a.
解：(1)2acos C－c＝2b⇒2sin Acos C－sin C＝2sin B⇒2sin Acos C－sin C＝2sin(A＋C)＝2sin Acos C＋2cos Asin C，
∴－sin C＝2cos Asin C，
∵sin C≠0，∴cos A＝－，
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得，＝，
∴sin∠ADB＝＝.
又∠ADB∈(0，π)，A＝，
∴∠ADB＝，∴∠ABC＝，∠ACB＝，b＝c＝，
由余弦定理，得a2＝c2＋b2－2c·b·cos A＝()2＋()2－2××cos＝6，∴a＝.
第二课时 正弦定理和余弦定理(二)
[典例] (1)(2019·广州调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos B＝，则△ABC的面积等于( )
A．3 B.
C．9 D.
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若△ABC的面积为(a2＋c2－
b2)，则B＝________.
[解析] (1)法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，代入数据，得a＝3，又cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝，所以S△ABC＝acsin B＝.
法二：由cos B＝，B∈(0，π)，得sin B＝，由正弦定理＝及b＝，c＝4，可得sin C＝1，所以C＝，所以sin A＝cos B＝，所以S△ABC＝bcsin A＝.
(2)由余弦定理得cos B＝，
∴a2＋c2－b2＝2accos B.
又∵S＝(a2＋c2－b2)，∴acsin B＝×2accos B，
∴tan B＝，∵B∈，∴B＝.
[答案] (1)B (2)
[变透练清]
1.本例(1)的条件变为：若c＝4，sin C＝2sin A，sin B＝，则S△ABC＝________.
解析：因为sin C＝2sin A，所以c＝2a，所以a＝2，所以S△ABC＝acsin B＝×2×4×＝.
答案：
2.本例(2)的条件不变，则C为钝角时，的取值范围是________．
解析：∵B＝且C为钝角，∴C＝－A>，∴0，
∴>＋×＝2，即>2.
答案：(2，＋∞)
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝3，△ABC的面积S＝，求△ABC的周长．
解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B－sin A)cos C＝sin Ccos A，
即2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，
∵B∈(0，π)，∴sin B>0，∴cos C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由(1)知，C＝，故S＝absin C＝absin＝，
解得ab＝.
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
又c＝3，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝32＋3×＝25，得a＋b＝5.
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋3＝8.
[解题技法]
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
[典例] (2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若AC＝，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.
[解] (1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝，
所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝.
(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，
即＝， ①
在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－，
由正弦定理得＝，
即＝，②
①②两式相除，得＝，
即4＝sin θ，
整理得sin θ＝2cos θ.
又因为sin2θ＋cos2θ＝1，
所以sin θ＝，即sin∠CAD＝.
[解题技法]
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
[题组训练]
1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．
解析：设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，
∴AD＝a，BD＝，BC＝.
在△ABD中，cos∠ADB＝＝，
∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.
在△BDC中，＝，
∴sin C＝＝.
答案：
2.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．
(1)求sin∠CED；
(2)求BE的长．
解：设∠CED＝α.
因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，
所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，
又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝.
(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，
即7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，
解得CD＝2(CD＝－3舍去)．
在△CDE中，由正弦定理得＝，
于是sin α＝＝＝，即sin∠CED＝.
(2)由题设知0<α<，由(1)知cos α＝＝＝，又∠AEB＝π－∠BEC－α＝－α，
所以cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α＝－×＋×＝.
在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝＝，所以BE＝4.
考点三 三角形中的最值、范围问题
[典例] (1)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A≠，sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，则角A的取值范围为( )
A. B.
C. D.
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则cos C的最小值为( )
A. B.
C. D．－
[解析] (1)在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin 2A，即2sin Bcos A＝2sin Acos A，因为A≠，所以cos A≠0，所以sin B＝sin A，由正弦定理得，b＝a，所以A为锐角．又因为sin B＝sin A∈(0,1]，所以sin A∈，所以A∈.
(2)因为cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.
[答案] (1)B (2)C
[解题技法]
1．三角形中的最值、范围问题的解题策略
解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．
2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0
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