【数学】2020届北京一轮复习通用版9-5抛物线及其性质作业

【数学】2020届北京一轮复习通用版9-5抛物线及其性质作业

‎9.5　抛物线及其性质 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.抛物线及其标准方程 ‎1.了解抛物线的定义,并会利用定义解题 ‎2.掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)‎ ‎2013 北京文,9‎ 抛物线的定义及其标准方程 直线和椭圆的方程、三角形的公式 ‎★★★‎ ‎2.抛物线的几何性质 ‎1.知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)‎ ‎2.能用其性质解决有关的抛物线问题,了解抛物线的一些实际应用 ‎2018 北京文,10‎ 抛物线的几何性质的应用 弦长的计算 ‎★★★‎ ‎3.抛物线中弦的相关问题 ‎1.理解并掌握抛物线中与焦点弦有关的性质与结论 ‎2.能解决抛物线中与弦有关的问题 ‎2012 北京,12‎ 过抛物线焦点的问题 抛物线的定义和几何性质以及面积问题 ‎★☆☆‎ 分析解读　　从高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题.客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程;主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,以及学生的基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,侧重对数学思想方法的考查.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　抛物线及其标准方程 ‎1.(2016四川文,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是(　　)‎ A.(0,2)　　　　B.(0,1)　　　　C.(2,0)　　　　D.(1,0)‎ 答案　D　‎ ‎2.(2014安徽,3,5分)抛物线y=‎1‎‎4‎x2的准线方程是(　　)‎ A.y=-1　　　　B.y=-2　　　　C.x=-1　　　　D.x=-2‎ 答案　A　‎ ‎3.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　. ‎ 答案　9‎ 考点二　抛物线的几何性质 ‎4.(2017课标Ⅱ文,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为‎3‎的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(　　)‎ A.‎5‎　　　　B.2‎2‎　　　　C.2‎3‎　　　　D.3‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎5.(2014上海文,3,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎5‎=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为　　　　. ‎ 答案　x=-2‎ 考点三　抛物线中弦的相关问题 ‎6.(2014课标Ⅱ文,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=(　　)‎ A.‎30‎‎3‎　　　　B.6　　　　C.12　　　　D.7‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎7.(2017课标Ⅰ,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)‎ A.16　　　　B.14　　　　C.12　　　　D.10‎ 答案　A　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　求抛物线标准方程的方法 ‎1.已知抛物线C的开口向下,其焦点是双曲线y‎2‎‎3‎-x2=1的一个焦点,则C的标准方程为(　　)‎ A.y2=8x　　　　B.x2=-8y　　　　C.y2=‎2‎x　　　　D.x2=-‎2‎y 答案　B　‎ ‎2.已知抛物线C的焦点为F(0,1),则抛物线C的标准方程为　　　　. ‎ 答案　x2=4y 方法2　解决直线与抛物线位置关系问题的方法 ‎3.(2017课标Ⅰ文,20,12分)设A,B为曲线C:y=x‎2‎‎4‎上两点,A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率;‎ ‎(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.‎ 解析　(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1≠x2,y1=x‎1‎‎2‎‎4‎,y2=x‎2‎‎2‎‎4‎,x1+x2=4,‎ 于是直线AB的斜率k=y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)由y=x‎2‎‎4‎,得y'=x‎2‎,‎ 设M(x3,y3),由题设知x‎3‎‎2‎=1,‎ 解得x3=2,于是M(2,1).‎ 设直线AB的方程为y=x+m,‎ 故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.‎ 将y=x+m代入y=x‎2‎‎4‎得x2-4x-4m=0.‎ 当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2m+1‎.‎ 从而|AB|=‎2‎|x1-x2|=4‎2(m+1)‎.‎ 由题设知|AB|=2|MN|,‎ 即4‎2(m+1)‎=2(m+1),解得m=7.‎ 所以直线AB的方程为y=x+7.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·北京卷题组 ‎1.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为　　　　. ‎ 答案　(1,0)‎ ‎2.(2013北京文,9,5分)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=　　　　;准线方程为　　　　　　. ‎ 答案　2;x=-1‎ ‎3.(2012北京,12,5分)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　抛物线及其标准方程 ‎1.(2016课标Ⅱ文,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎　　　　B.1　　　　C.‎3‎‎2‎　　　　D.2‎ 答案　D　‎ ‎2.(2015陕西文,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为(　　)‎ A.(-1,0)　　　　B.(1,0)　　　　C.(0,-1)　　　　D.(0,1)‎ 答案　B　‎ 考点二　抛物线的几何性质 ‎1.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4‎2‎,|DE|=2‎5‎,则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8‎ 答案　B　‎ ‎2.(2014辽宁文,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为(　　)‎ A.-‎4‎‎3‎　　　　B.-1　　　　C.-‎3‎‎4‎　　　　D.-‎‎1‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎3.(2017课标Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=　　　　. ‎ 答案　6‎ ‎4.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为　　　　　　　　. ‎ 答案　(x+1)2+(y-‎3‎)2=1‎ 考点三　抛物线中弦的相关问题 ‎1.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎2.(2014湖南文,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是　　　　　　　　　　. ‎ 答案　(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)‎ A.‎|BF|-1‎‎|AF|-1‎　　　　B.‎|BF‎|‎‎2‎-1‎‎|AF‎|‎‎2‎-1‎　　　　C.‎|BF|+1‎‎|AF|+1‎　　　　D.‎‎|BF‎|‎‎2‎+1‎‎|AF‎|‎‎2‎+1‎ 答案　A　‎ ‎2.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(　　)‎ A.(1,3)　　　　B.(1,4)　　　　C.(2,3)　　　　D.(2,4)‎ 答案　D　‎ ‎3.(2013江西,9,5分)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=(　　)‎ A.2∶‎5‎　　　　B.1∶2　　　　C.1∶‎5‎　　　　D.1∶3‎ 答案　C　‎ ‎4.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则ba=　　　　. ‎ 答案　1+‎‎2‎ ‎5.(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.‎ ‎(1)求p的值;‎ ‎(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.‎ 解析　(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p‎2‎=1,即p=2.‎ ‎(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.‎ 因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由y‎2‎‎=4x,‎x=sy+1‎消去x得y2-4sy-4=0,‎ 故y1y2=-4,所以,B‎1‎t‎2‎‎,-‎‎2‎t.‎ 又直线AB的斜率为‎2tt‎2‎‎-1‎,故直线FN的斜率为-t‎2‎‎-1‎‎2t.‎ 从而得直线FN:y=-t‎2‎‎-1‎‎2t(x-1),直线BN:y=-‎2‎t.‎ 所以Nt‎2‎‎+3‎t‎2‎‎-1‎‎,-‎‎2‎t.‎ 设M(m,0),由A,M,N三点共线得 ‎2tt‎2‎‎-m‎=‎2t+‎‎2‎tt‎2‎‎-‎t‎2‎‎+3‎t‎2‎‎-1‎,‎ 于是m=‎2‎t‎2‎t‎2‎‎-1‎.‎ 所以m<0或m>2.‎ 经检验,m<0或m>2满足题意.‎ 综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).‎ 思路分析　(1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后利用A,M,N三点共线可得kAN=kAM,最终求出结果.‎ 评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.‎ ‎6.(2014浙江文,22,14分)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,PF=3FM.‎ ‎(1)若|PF|=3,求点M的坐标;‎ ‎(2)求△ABP面积的最大值.‎ 解析　(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.‎ 设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,‎ 所以P(2‎2‎,2)或P(-2‎2‎,2).‎ 由PF=3FM,分别得M‎-‎2‎‎2‎‎3‎,‎‎2‎‎3‎或M‎2‎‎2‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎.‎ ‎(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).‎ 由y=kx+m,‎x‎2‎‎=4y得x2-4kx-4m=0,‎ 于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,‎ 所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).‎ 由PF=3FM,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),‎ 所以x‎0‎‎=-6k,‎y‎0‎‎=4-6k‎2‎-3m,‎由x‎0‎‎2‎=4y0得k2=-‎1‎‎5‎m+‎4‎‎15‎.‎ 由Δ>0,k2≥0,‎ 得-‎1‎‎3‎f‎4‎‎3‎,‎ 所以,当m=‎1‎‎9‎时, f(m)取到最大值‎256‎‎243‎,‎ 此时k=±‎55‎‎15‎.‎ 所以,△ABP面积的最大值为‎256‎‎5‎‎135‎.‎ 评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式、平面向量等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.‎ ‎7.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.‎ ‎(1)求轨迹C的方程;‎ ‎(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.‎ 解析　(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎=|x|+1,‎ 化简整理得y2=2(|x|+x).‎ 故点M的轨迹C的方程为y2=‎‎4x,x≥0,‎‎0,x<0.‎ ‎(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),‎ 依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).‎ 由方程组y-1=k(x+2),‎y‎2‎‎=4x,‎可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①‎ ‎(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=‎1‎‎4‎.‎ 故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点‎1‎‎4‎‎,1‎.‎ ‎(ii)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②‎ 设直线l与x轴的交点为(x0,0),则 由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-‎2k+1‎k.③‎ 若Δ<0,‎x‎0‎‎<0,‎由②③解得k<-1或k>‎1‎‎2‎,‎ 即当k∈(-∞,-1)∪‎1‎‎2‎‎,+∞‎时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,‎ 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.‎ 若Δ=0,‎x‎0‎‎<0‎或Δ>0,‎x‎0‎‎≥0,‎由②③解得k∈‎-1,‎‎1‎‎2‎或-‎1‎‎2‎≤k<0,‎ 即当k∈‎-1,‎‎1‎‎2‎时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.‎ 当k∈‎-‎1‎‎2‎,0‎时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.‎ 故当k∈‎-‎1‎‎2‎,0‎∪‎-1,‎‎1‎‎2‎时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.‎ 若Δ>0,‎x‎0‎‎<0,‎由②③解得-1-3,‎ 所以‎(x-0‎)‎‎2‎+(y-1‎‎)‎‎2‎=y+1,‎ 化简得,曲线Γ的方程为x2=4y.‎ ‎(2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:‎ 由(1)知抛物线Γ的方程为y=‎1‎‎4‎x2,‎ 设P(x0,y0)(x0≠0),则y0=‎1‎‎4‎x‎0‎‎2‎,‎ 由y'=‎1‎‎2‎x,得切线l的斜率k=y'‎|‎x=‎x‎0‎=‎1‎‎2‎x0,‎ 所以切线l的方程为y-y0=‎1‎‎2‎x0(x-x0),即y=‎1‎‎2‎x0x-‎1‎‎4‎x‎0‎‎2‎.‎ 由y=‎1‎‎2‎x‎0‎x-‎1‎‎4‎x‎0‎‎2‎,‎y=0‎得A‎1‎‎2‎x‎0‎‎,0‎.‎ 由y=‎1‎‎2‎x‎0‎x-‎1‎‎4‎x‎0‎‎2‎,‎y=3‎得M‎1‎‎2‎x‎0‎‎+‎6‎x‎0‎,3‎.‎ 又N(0,3),所以圆心C‎1‎‎4‎x‎0‎‎+‎3‎x‎0‎,3‎,‎ 半径r=‎1‎‎2‎|MN|=‎1‎‎4‎x‎0‎‎+‎‎3‎x‎0‎,‎ ‎|AB|=‎‎|AC‎|‎‎2‎-‎r‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎x‎0‎‎-‎‎1‎‎4‎x‎0‎‎+‎‎3‎x‎0‎‎2‎‎+‎3‎‎2‎-‎‎1‎‎4‎x‎0‎‎+‎‎3‎x‎0‎‎2‎=‎6‎.‎ 所以点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.‎ 评析本题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想.‎ ‎9.(2013辽宁,20,12分)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-‎2‎时,切线 MA的斜率为-‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)求p的值;‎ ‎(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).‎ 解析　(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y'=x‎2‎,且切线MA的斜率为-‎1‎‎2‎,所以A点坐标为‎-1,‎‎1‎‎4‎.故切线MA的方程为y=-‎1‎‎2‎·(x+1)+‎1‎‎4‎,‎ 因为点M(1-‎2‎,y0)在切线MA及抛物线C2上,‎ 于是y0=-‎1‎‎2‎(2-‎2‎)+‎1‎‎4‎=-‎3-2‎‎2‎‎4‎,①‎ y0=-‎(1-‎‎2‎‎)‎‎2‎‎2p=-‎3-2‎‎2‎‎2p.②‎ 由①②得p=2.(6分)‎ ‎(2)设N(x,y),Ax‎1‎‎,‎x‎1‎‎2‎‎4‎,Bx‎2‎‎,‎x‎2‎‎2‎‎4‎,x1≠x2,由N为线段AB中点知x=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎,③‎ y=x‎1‎‎2‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎8‎.④‎ 切线MA,MB的方程为 y=x‎1‎‎2‎(x-x1)+x‎1‎‎2‎‎4‎,⑤‎ y=x‎2‎‎2‎(x-x2)+x‎2‎‎2‎‎4‎.⑥‎ 由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎,y0=x‎1‎x‎2‎‎4‎.‎ 因为点M(x0,y0)在C2上,即x‎0‎‎2‎=-4y0,‎ 所以x1x2=-x‎1‎‎2‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎6‎.⑦‎ 由③④⑦得x2=‎4‎‎3‎y,x≠0.‎ 当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=‎4‎‎3‎y.‎ 因此AB中点N的轨迹方程为x2=‎4‎‎3‎y.(12分)‎ 评析本题考查了导数的几何意义、直线与曲线相切、求轨迹方程,考查了函数与方程思想,具有一定的运算量,难度中等.‎ ‎10.(2013福建,20,12分)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.‎ ‎(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;‎ ‎(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圆C的半径.‎ 解析　(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.‎ 由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),‎ 所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=‎5‎,所以|MN|=2‎|CO‎|‎‎2‎-‎d‎2‎=2‎5-4‎=2.‎ ‎(2)设Cy‎0‎‎2‎‎4‎‎,‎y‎0‎,‎ 则圆C的方程为x-‎y‎0‎‎2‎‎4‎‎2‎+(y-y0)2=y‎0‎‎4‎‎16‎+y‎0‎‎2‎,即x2-y‎0‎‎2‎‎2‎x+y2-2y0y=0.‎ 由x=-1,得y2-2y0y+1+y‎0‎‎2‎‎2‎=0,‎ 设M(-1,y1),N(-1,y2),‎ 则Δ=4y‎0‎‎2‎-4‎1+‎y‎0‎‎2‎‎2‎=2y‎0‎‎2‎-4>0,‎y‎1‎y‎2‎‎=y‎0‎‎2‎‎2‎+1.‎ 由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,‎ 所以y‎0‎‎2‎‎2‎+1=4,解得y0=±‎6‎,此时Δ>0.‎ 所以圆心C的坐标为‎3‎‎2‎‎,‎‎6‎或‎3‎‎2‎‎,-‎‎6‎,‎ 从而|CO|2=‎33‎‎4‎,|CO|=‎33‎‎2‎,即圆C的半径为‎33‎‎2‎.‎ 评析本题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2018北京通州摸底,2)已知点P(2,2‎2‎)为抛物线y2=2px上一点,则点P到抛物线准线的距离是(　　)‎ A.2　　　　B.2‎2‎　　　　C.3　　　　D.4‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018北京东城一模,5)设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2,则点P到抛物线焦点的距离是(　　)‎ A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4‎ 答案　C　‎ ‎3.(2018北京门头沟一模,4)抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:x2-y‎2‎‎3‎=1的一条渐近线的距离是(　　)‎ A.1　　　　B.‎2‎　　　　C.3　　　　D.‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎4.(2017北京朝阳一模,5)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率为-‎3‎,则|PF|=(　　)‎ A.4‎3‎　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.16‎ 答案　C　‎ ‎5.(2019届北京十四中10月月考,7)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2‎2‎)x‎0‎‎>‎p‎2‎是抛物线C上一点,圆M与线段MF相交于点A,且截直线x=p‎2‎所得的弦长为‎3‎|MA|,若‎|MA|‎‎|AF|‎=2,则|AF|=(　　)‎ A.‎3‎‎2‎　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3‎ 答案　B　‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.(2019届北京大兴9月统练,9)抛物线y=x2的顶点到焦点的距离等于　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎4‎ ‎7.(2017北京石景山一模,11)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x‎2‎‎4‎-y2=1的右顶点重合,则p=　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎8.(2017北京顺义二模,13)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,若l与圆x2+y2+6x+5=0的交点为A,B,且|AB|=2‎3‎,则p的值为　　　　. ‎ 答案　4或8‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎9.(2019届北京八中10月月考,17)已知抛物线C:y2=2x.过点(2,0)且斜率存在的直线l与抛物线C交于A,B两点,且点B关于x轴的对称点为D,直线AD与x轴交于点M.‎ ‎(1)求点M的坐标;‎ ‎(2)求△OAM与△OAB面积之和的最小值.‎ 解析　由题意可设直线l:y=k(x-2),显然k≠0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2.‎ 由y‎2‎‎=2x,‎y=k(x-2),‎得ky2-2y-4k=0.‎ 所以y1+y2=‎2‎k,y1y2=-4.‎ ‎(1)因为点B,D关于x轴对称,所以D(x2,-y2),‎ 所以直线AD的方程为y-y1=y‎1‎‎+‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎(x-x1).‎ 令y=0,得x=x‎1‎‎(y‎1‎+y‎2‎)-y‎1‎(x‎1‎-x‎2‎)‎y‎1‎‎+‎y‎2‎=x‎1‎y‎2‎‎+‎x‎2‎y‎1‎y‎1‎‎+‎y‎2‎=‎ y‎1‎‎2‎y‎2‎‎+‎y‎2‎‎2‎y‎1‎‎2(y‎1‎+y‎2‎)‎‎=‎1‎‎2‎y1y2=-2,所以M(-2,0).‎ ‎(2)记△OAM与△OAB的面积分别为S△OAM,S△OAB,设P(2,0),‎ 则S△OAM+S△OAB=‎1‎‎2‎|OM|×|y1|+‎1‎‎2‎|OP|×(|y1|+|y2|)=2|y1|+|y2|≥2‎2|y‎1‎|×|y‎2‎|‎=2‎2|y‎1‎y‎2‎|‎=4‎2‎.‎ 当且仅当|y2|=2|y1|,即y1=±‎2‎,y2=∓2‎2‎时,‎ ‎△OAM与△OAB面积之和取得最小值4‎2‎.‎ ‎10.(2017北京海淀二模,18)已知动点M到点N(1,0)和直线l:x=-1的距离相等.‎ ‎(1)求动点M的轨迹E的方程;‎ ‎(2)已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一的公共点A,且与直线l的交点为P,以AP为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系,并证明你的结论.‎ 解析　(1)由抛物线的定义可知动点M的轨迹E是以N(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线,所以p‎2‎=1,即p=2.所以轨迹E的方程为y2=4x.‎ ‎(2)点N在以AP为直径的圆C上.‎ 证法一:由题意可设直线l':x=my+n(m≠0),‎ 令x=-1,得P‎-1,-‎‎1+nm.‎ 由x=my+n,‎y‎2‎‎=4x可得y2-4my-4n=0,(*)‎ 因为直线l'与曲线E有唯一的公共点A,‎ 所以Δ=16m2+16n=0,即n=-m2.‎ 所以(*)可化简为y2-4my+4m2=0,‎ 所以A(m2,2m),‎ 因为n=-m2,‎ 所以NA·NP=(m2-1,2m)·‎-2,-‎‎1+nm=-2m2+2-2-2n=0,‎ 所以NA⊥NP,‎ 所以点N在以AP为直径的圆C上.‎ 证法二:依题意可设直线l':y=kx+b(k≠0),‎ 令x=-1,得P(-1,b-k),‎ 由y=kx+b,‎y‎2‎‎=4x可得k2x2+2(bk-2)x+b2=0,(*)‎ 因为直线l'与曲线E有唯一的公共点A,‎ 所以k≠0,‎Δ=0,‎即k≠0,‎bk=1,‎ 所以(*)可化简为k2x2-2x+‎1‎k‎2‎=0,‎ 所以A‎1‎k‎2‎‎,‎‎2‎k,P‎-1,‎1‎k-k,‎ 所以NA·NP=‎1‎k‎2‎‎-1,‎‎2‎k·‎-2,‎1‎k-k=‎-2‎k‎2‎+2+‎2‎k‎2‎-2=0,‎ 所以NA⊥NP,‎ 所以点N在以AP为直径的圆C上.‎ 思路分析　(1)利用抛物线的定义求动点M的轨迹方程;(2)设直线l'的方程,与抛物线的方程联立,利用判别式等于0得出参数之间的关系,然后利用点N和点A、P构造向量,研究点N和圆C的位置关系.‎