2017-2018学年河北省唐山一中高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年河北省唐山一中高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年河北省唐山一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1．（5分）直线MN的斜率为2，其中点N（1，﹣1），点M在直线y=x+1上，则（　　）‎ A．M（5，7） B．M（4，5） C．M（2，1） D．M（2，3）‎ ‎2．（5分）过原点且与圆x2+y2﹣4x+3=0相切的直线的倾斜角为（　　）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎3．（5分）由直线y=x+2上的点向圆（x﹣4）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）平面内动点P到两点A、B距离之比为常数λ（λ＞0，λ≠1），则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A（﹣2，0），B（2，0），λ=，则此阿波尼斯圆的方程为（　　）‎ A．x2+y2﹣12x+4=0 B．x2+y2+12x+4=0‎ C．x2+y2﹣x+4=0 D．x2+y2+x+4=0‎ ‎5．（5分）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）已知点P在抛物线x2=4y上，则当点P到点Q（1，2）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　）‎ A．（2，1） B．（﹣2，1） C． D．‎ ‎7．（5分）抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎8．（5分）已知动点P（x，y）满足5=|3x+4y﹣1|，则点P的轨迹是（　　）‎ A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 ‎9．（5分）已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（　　）‎ A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 ‎10．（5分）已知P（x0，y0）是椭圆C：上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若，则x0的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知不过原点的直线l 与y=x2交于A、B两点，若使得以AB为直径的圆过原点，则直线l必过点（　　）‎ A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（1，0），（﹣1，0）‎ ‎12．（5分）设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若在曲线C的右支上存在点P，使得△PF1F2的内切圆半径为a，圆心记为M，又△PF1F2的重心为G，满足MG∥F1F2，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上.‎ ‎13．（5分）点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为　 　．‎ ‎14．（5分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0，，且l1⊥l2，则a=　 　．‎ ‎15．（5分）在抛物线y2=16x内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是　 　．‎ ‎16．（5分）已知定圆M：（x﹣3）2+y2‎ ‎=16，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点；⑦线段．其中正确的命题序号为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）直线l过点，且与x轴，y轴的正方向分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．‎ ‎18．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1和直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ﹣）=2．‎ ‎（1）求圆C1和直线C2的直角坐标方程．‎ ‎（2）求圆C1和直线C2交点的极坐标．‎ ‎19．（12分）已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．‎ ‎（1）求证：l与C必有两交点；‎ ‎（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．‎ ‎20．（12分）已知直线l的参数方程为，（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．‎ ‎（1）求圆M的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l截圆M所得弦长为，求实数a的值．‎ ‎21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎22．（12分）过椭圆=1（a＞b＞‎ ‎0）的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河北省唐山一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1．（5分）直线MN的斜率为2，其中点N（1，﹣1），点M在直线y=x+1上，则（　　）‎ A．M（5，7） B．M（4，5） C．M（2，1） D．M（2，3）‎ ‎【分析】设M的坐标为（a，b），根据题意可得b=a+1①，=2②，联立①②解可得a=4，b=5，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设M的坐标为（a，b），‎ 若点M在直线y=x+1上，则有b=a+1，①‎ 若直线MN的斜率为2，则有=2，②‎ 联立①②解可得a=4，b=5，‎ 即M的坐标为（4，5）；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查直线的斜率计算，关键是掌握直线的斜率计算公式．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）过原点且与圆x2+y2﹣4x+3=0相切的直线的倾斜角为（　　）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标和圆的半径，设出直线l的方程，由圆心到l的距离等于半径求得斜率，则直线l的倾斜角可求．‎ ‎【解答】解：由x2+y2﹣4x+3=0，得（x﹣2）2+y2=1，‎ ‎∴圆的圆心为（2，0），半径为1，‎ 设直线l的方程为kx﹣y=0，‎ 由圆与直线相切得：=1，‎ 解得k=．‎ 设直线l的倾斜角为θ（0≤θ＜π），‎ 由tanθ=±，得θ=或．‎ ‎∴直线l的倾斜角为或．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了圆的切线方程，训练了点到直线的距离公式，考查了直线的倾斜角和斜率的关系，是中档题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）由直线y=x+2上的点向圆（x﹣4）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，﹣2）到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值．‎ ‎【解答】解：要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，‎ 此最小值即为圆心（4，﹣2）到直线的距离m，‎ 由点到直线的距离公式得 m==4，‎ 由勾股定理求得切线长的最小值为=．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理得应用．解题的关键是理解要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）平面内动点P到两点A、B距离之比为常数λ（λ＞0，λ≠1），则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A（﹣2，0），B（2，0），λ=‎ ‎，则此阿波尼斯圆的方程为（　　）‎ A．x2+y2﹣12x+4=0 B．x2+y2+12x+4=0‎ C．x2+y2﹣x+4=0 D．x2+y2+x+4=0‎ ‎【分析】由题意，设P（x，y），则=，化简可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，设P（x，y），则=，‎ 化简可得x2+y2+x+4=0，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用双曲线的离心率，求出a，b的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：双曲线的离心率为，‎ 可得=，即，可得．‎ 则该双曲线的渐近线方程为：x=0．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知点P在抛物线x2=4y上，则当点P到点Q（1，2）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　）‎ A．（2，1） B．（﹣2，1） C． D．‎ ‎【分析】过点P作PN⊥l，连接FP，利用抛物线的定义可得|PN|=|FP|．，可知当PQ∥y轴时，点P、Q、N三点共线，因此，|PQ|+|PF|取得最小值|QN|，求出即可．‎ ‎【解答】解：抛物线x2=4y的焦点F的坐标为F（0，1），准线方程为y=﹣1，‎ 过点P作PN⊥l，垂足为N，连接FP，则|PN|=|FP|．‎ 故当PQ∥y轴时，|PQ|+|PF|取得最小值|QN|=2﹣（﹣1）=3．‎ 设点P（1，y），代入抛物线方程12=4y，解得y=，‎ ‎∴P（1，）．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求得抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离．‎ ‎【解答】解：抛物线y=2x2化为标准方程为x2=y ‎∴抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为=‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的性质，将抛物线方程化为标准方程是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知动点P（x，y）满足5=|3x+4y﹣1|，则点P的轨迹是（　　）‎ A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 ‎【分析】利用方程转化动点的几何意义，然后求解判断轨迹即可．‎ ‎【解答】解：动点P（x，y）满足5=|3x+4y﹣1|，‎ 可得：=，表示动点P（x，y）到（1，2）与到直线3x+4y﹣1=0距离相等，‎ 又（1，2）不在直线3x+4y﹣1=0上，则点P的轨迹是以（1，2）为焦点以直线3x+4y﹣1=0为准线的抛物线．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程的求法，轨迹的判断，注意抛物线的定义域本题直线方程的区别，是易错题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（　　）‎ A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 ‎【分析】由双曲线方程可知其渐近线为y=y=±2x，分别考虑所求直线的情况有①直线的斜率不存在②与渐近线平行 ‎【解答】由题意可得：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为：y=±2x，‎ 点P（1，0）是双曲线的右顶点，故直线x=1 与双曲线只有一个公共点；‎ 过点P （1，0）平行于渐近线y=±‎ ‎2x时，直线L与双曲线只有一个公共点，有2条 所以，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条 故选B ‎【点评】本题以双曲线为载体，主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了双曲线的几何性质．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知P（x0，y0）是椭圆C：上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若，则x0的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设以O为原点、半焦距c=为半径的圆x2+y2=3与椭圆交于A，B两点；由，x=‎ 可得x0的取值范围是（﹣）．‎ ‎【解答】解：如图，设以O为原点、半焦距c=为半径的圆x2+y2=3与椭圆交于A，B两点；‎ 由得，x=‎ 要使，则点P在A、B之间，∴x0的取值范围是（）．‎ 故选：A ‎【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，向量的数量积的运算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知不过原点的直线l 与y=x2交于A、B两点，若使得以AB为直径的圆过原点，则直线l必过点（　　）‎ A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（1，0），（﹣1，0）‎ ‎【分析】令直线y=kx+b（b≠0）与抛物线方程y=x2联立，利用韦达定理，结合OA⊥OB即可求得b的值，从而可证直线l过定点．‎ ‎【解答】解：令直线y=kx+b（b≠0）与抛物线y=x2相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点．‎ 由y=kx+b，代入y=x2得：x2﹣kx﹣b=0‎ 于是，x1、x2是此方程的两实根，由韦达定理得：x1+x2=k，x1x2=﹣b y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=b2，‎ 又OA⊥OB⇔x1x2+y1y2=0‎ ‎∴b2﹣b=0，又b≠0，‎ ‎∴b=1‎ 故直线l：y=kx+1过定点C（0，1）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查恒过定点的直线，考查韦达定理的应用，求得b的值是关键，也是难点，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若在曲线C的右支上存在点P，使得△PF1F2的内切圆半径为a，圆心记为M，又△PF1F2的重心为G，满足MG∥F1F2，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【分析】设P（s，t）（s，t＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），运用三角形的重心坐标，求得内心的坐标，可得t=3a，再结合双曲线的定义和等积法，求得|PF2|=2c﹣a，再由双曲线的离心率公式和第二定义，可得s=2a，将P的坐标代入双曲线的方程，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设P（s，t）（s，t＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ 可得重心G（，）即（，），‎ 设△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点N，与边PF1的切点为K，‎ 与边PF2上的切点为Q，‎ 则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与N的横坐标相同．‎ 由双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a．①‎ 由圆的切线性质|PF1|﹣PF2|=|FIK|﹣|F2Q|=|F1N|﹣|F2N|=2a，‎ ‎∵|F1N|+|F2N|=|F1F2|=2c，∴|F2N|=c﹣a，|ON|=a，‎ 即有M（a，a），‎ 由MG∥F1F2，‎ 则△PF1F2的重心为G（，a），即t=3a，‎ 由△PF1F2的面积为•2c•3a=a（|PF1|+|PF2|+2c），‎ 可得|PF1|+|PF2|=4c②‎ 由①②可得|PF2|=2c﹣a，‎ 由右准线方程x=，双曲线的第二定义可得 e==，解得s=2a，‎ 即有P（2a，3a），代入双曲线的方程可得 ‎﹣=1，可得b=a，‎ c==2a，即e==2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率和准线方程，运用定义法是解题的关键，同时考查内心和重心的坐标的求法，考查化简整理的运算能力，属于难题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上.‎ ‎13．（5分）点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为　3　．‎ ‎【分析】先根据椭圆方程设出x=3cosθ，y=sinθ，表示出S利用两角和公式化简整理后，根据正弦函数的性质求得S的最大值．‎ ‎【解答】解：椭圆+y2=1，设x=3cosx，y=sinx ‎∴x+3y=3cosx+3sinx=3sin（x+）≤3．‎ ‎∴最大值为3．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0，，且l1⊥l2，则a=　0或　．‎ ‎【分析】根据两直线垂直的关系，得到2a+3（a2﹣a）=0，即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：由题意2a+3（a2﹣a）=0，‎ ‎∴a=0或a=，‎ 故答案为0或．‎ ‎【点评】本题考查两直线垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）在抛物线y2=16x内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是　8x﹣y﹣15=0　．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程 ‎【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 由题意可得两式相减两式相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）=16（x1﹣x2）‎ 由中点坐标公式可得，，‎ ‎==8‎ ‎∴所求的直线的方程为y﹣1=8（x﹣2）即8x﹣y﹣15=0‎ 故答案为8x﹣y﹣15=0‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知定圆M：（x﹣3）2+y2=16，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点；⑦线段．其中正确的命题序号为　①②④⑥　．‎ ‎【分析】Q是线段PA的中垂线上的点，可得QA=PQ，对点A的位置分类讨论，利用圆锥曲线的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：∵Q是线段PA的中垂线上的点，∴QA=PQ，‎ ‎（1）若A在圆M外部，则|QA﹣QM|=|PQ﹣QM|=PM=4，MA＞4，‎ ‎∴Q点轨迹是以A，M为焦点的双曲线；‎ ‎（2）若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M，‎ 即Q的轨迹为点M；‎ ‎（3）若A在圆M内部且不为圆心M，则MA＜4，QM+QA=QM+QP=4，‎ ‎∴Q点轨迹是以M，A为焦点的椭圆；‎ ‎（4）若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径PM的中点，‎ ‎∴Q点轨迹是以M为圆心，以2为半径的圆．‎ 综上，Q点轨迹可能是①②④⑥四种情况．‎ 故答案为：①②④⑥．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥曲线的定义及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）直线l过点，且与x轴，y轴的正方向分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．‎ ‎【分析】设出直线方程，求出直线和x轴和y轴的交点坐标，根据三角形的面积求出直线方程即可．‎ ‎【解答】解：设直线l方程为y=kx+b，k＜0，‎ 故直线l交x轴的交点为（﹣，0），y轴交点为（0，b）．‎ 当△AOB的面积为6时，，解得，或，‎ ‎∴直线l的方程为y=﹣x+3或y=﹣3x+6．‎ ‎【点评】本题考查了直线的点斜式方程，考查三角形的面积问题，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1和直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ﹣）=2．‎ ‎（1）求圆C1和直线C2的直角坐标方程．‎ ‎（2）求圆C1和直线C2交点的极坐标．‎ ‎【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，以及两角差的余弦公式，化简整理即可得到所求直角坐标方程；‎ ‎（2）联立直线和圆方程，解得交点，化为极坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，‎ ρ=4sinθ，即为ρ2=4ρsinθ，‎ 即有x2+y2=4y；‎ ρcos（θ﹣）=2，即为ρ（cosθ+sinθ）=2，‎ 即x+y=4，‎ 即有，C2：x+y﹣4=0；‎ ‎（2）将直线和圆的方程联立后，‎ 即 解得直角坐标为（0，4），（2，2），‎ 则交点的极坐标为（4，），（2，） （注：极坐标表示法不唯一）．‎ ‎【点评】本题考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，直线和圆的交点坐标求法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．‎ ‎（1）求证：l与C必有两交点；‎ ‎（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．‎ ‎【分析】（1）联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，利用△＞0，即可证明l与C必有两交点；‎ ‎（2）根据直线OA和OB斜率之和为1，利用韦达定理可得k的值．‎ ‎【解答】（1）证明：联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，‎ ‎∴△=k2+8＞0，∴l与C必有两交点；‎ ‎（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1①‎ 因为y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入①，得2k+（+）=1②‎ 因为x1+x2=k，x1x2=﹣，代入②得k=1．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的方程与简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知直线l的参数方程为，（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．‎ ‎（1）求圆M的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l截圆M所得弦长为，求实数a的值．‎ ‎【分析】（1）根据极坐标方程和普通方程的关系即可转化为普通方程．‎ ‎（2）根据直线和圆相交的位置关系结合弦长公式结合点到直线的距离公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．得x2+y2﹣6y=﹣8，‎ 即x2+（y﹣3）2=1，‎ 则圆M的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1．‎ ‎（2）直线l的参数方程为消去t得普通方程得3x+4y﹣3a+4=0，‎ ‎∵直线l截圆M所得弦长为，‎ ‎∴圆心（0，3）到直线l的距离d===，‎ 得a=或a=．‎ ‎【点评】本题主要考查极坐标和普通方程的关系的应用以及直线和圆相交的弦长公式的应用，考查学生的计算和转化能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得=又，‎ 所以a=2=，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）‎ ‎（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）‎ 将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，‎ 当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，‎ 从而=+ 又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，‎ 设，则t＞0，，‎ 当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，‎ 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）过椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设直线AB：y=2（x+a），A（﹣a，0），C（0，2a），利用，求出B的坐标，代入椭圆方程，求解离心率．‎ ‎（Ⅱ）设椭圆方程为3x2+4y2﹣12t=0，联立y=kx+m，利用y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，△=0，通过PM⊥QM数量积为0，得到方程．求解可得椭圆方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵A（﹣a，0），设直线方程为y=2（x+a），B（x1，y1）‎ 令x=0，则y=2a，∴C（0，2a），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴x1+a=，整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）‎ ‎∵B点在椭圆上，∴，∴，‎ ‎∴，即，∴‎ ‎﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ ‎（Ⅱ）∵，可设b2=3t．a2=4t，∴椭圆的方程为3x2+4y2﹣12t=0‎ 由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12t=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）‎ ‎∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P ‎∴△=0，即64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12t）=0‎ 整理得m2=3t+4k2t﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ‎ 设P（x1，y1）则有，‎ ‎∴‎ 又M（1，0），Q（4，4k+m）‎ 若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，‎ ‎∴恒成立 整理得3+4k2=m2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ ‎∴3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1‎ 所求椭圆方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，知识综合性强．‎ ‎　‎