江西省景德镇市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com 景德镇市2019-2020学年度上学期期中质量检測卷 高一数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式求出集合，由此能求出．‎ ‎【详解】∵集合，，‎ ‎∴，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎2.已如，，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的单调性即可得结果.‎ ‎【详解】∵函数单调递减，‎ ‎∴，即，‎ 即成立，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数的单调性及特殊点的函数值，考查不等关系与不等式，属于基础题．‎ ‎3.下列各个选项中，其中表示定义域为，值域为的函数的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的定义知：要求定义域中的元素在值域中有唯一的元素与之对应，定义域、值域是非空的，从而判定结论的真假．‎ ‎【详解】根据函数的定义，可得：‎ A选项中，函数的值域为，故A错误；‎ B选项中，集合中的元素3没有对应的像，即对应关系不是函数，故B错误；‎ C选项中，满足表示定义域为，值域为的函数，故C正确；‎ D选项中，出现“一对多”的情形，对应关系不是函数，故D错误，‎ 故选C：‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的定义；函数的三要素：定义域、值域、对应法则，同时考查了分析问题的能力，属于基础题 ‎4.下列各函数在其定义域内，既为奇函数又为减函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照初等函数的常见性质，奇偶性和单调性逐一判断即可.‎ ‎【详解】A．函数是偶函数，故A错误；‎ B．函数是奇函数，在内单调递减，在内单调递减，在整个定义域内不具有单调性，故B错误；‎ C．函数是偶函数，故C错误；‎ D．根据幂函数的性质可得在其定义域内，既为奇函数又为减函数，故D正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性和奇偶性，属于中档题.‎ ‎5.狄利克雷函数，对于任意的实数，( )‎ A. B. C. 或 D. 无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据狄利克雷函数的定义可知一定为有理数，故可得.‎ ‎【详解】当时，，则；‎ 当为无理数时，，则；‎ 综上可得，对于任意的实数，，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要涉及新定义，正确理解狄利克雷函数的分段函数意义是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎6.若函数的定义域为，则的定义域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，从而可求得的定义域．‎ ‎【详解】∵函数的定义域为，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴的定义域是，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，要理解所求的函数的定义域是自变量的取值范围，属于基础题．‎ ‎7.下列命题：‎ ‎①函数与不是同一个函数；‎ ‎②；‎ ‎③，‎ 其中正确的命题个数为( )‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①，两函数的定义域不同；对于②，当取负数时，显然不成立；对于③，按照指数式的运算性质可得结果.‎ ‎【详解】对于①，的定义域为，的定义域为，故函数与不是同一个函数，即①正确；‎ 对于②，当时，，，即②不正确；‎ 对于③，，即③正确；‎ 即正确的命题个数为2个，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，函数的定义，指数的运算性质，属于基础题.‎ ‎8.若函数在区间上单调，则的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于函数在，内单调递减，结合题意列出与区间的关系解出即可.‎ ‎【详解】根据反比例函数的性质可得：函数在，内单调递减，‎ 由于函数在区间上单调，‎ 故或，‎ 即的取值范围是，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查的知识点是函数单调性的性质，反比例函数的图象和性质，属于中档题．‎ ‎9.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排除选项；当时，可知，排除选项，从而得到结果.‎ ‎【详解】当时，，可排除选项；‎ 当时，， 时，，可排除选项 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的判断，常用方法是采用特殊值排除的方式，根据特殊位置函数值的符号来排除错误选项.‎ ‎10.已知一元二次方程的两个根一个大于另一个小于，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系列出不等式，即可求得实数的取值范围．‎ ‎【详解】令，‎ 则由题意可得，‎ 即，解得，‎ 故实数的取值范围为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于中档题．‎ ‎11.已知区间和均为的子区间，定义为区间的长度，则当的长度达到最小时的值为( )‎ A B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于这两个集合都是区间的子集，根据区间长度的定义可得当或时的长度最小，解出方程组即可得结果.‎ ‎【详解】由于这两个集合都是区间的子集，‎ 根据区间长度的定义可得当或时的长度最小，‎ 解得或，即或0，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义，充分理解区间长度的定义是解题的关键，属于中档题.‎ ‎12.已知，将向右平移一个单位再向下平移一个单位得到函数 ‎，若，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过平移可得，进而可得，可得，将代入不等式，结合的的单调性可解不等式.‎ ‎【详解】∵，定义域为，‎ 由函数图象平移法则可得，‎ 由∵，∴单调递减，‎ 故在定义域内单调递减，‎ ‎∴，‎ ‎，即，‎ ‎∴所求不等式可化为，‎ 结合单调性可得：，即实数的取值范围为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的平移变换，利用单调性解不等式，得到等式是解题的关键，属于中档题.‎ ‎13.已知函数满足对于任意实数，，总有，其中，，且当时，，若，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过恒等式易得，然后证明与互为倒数，再利用单调性的定义证明函数在上是增函数，找到和的关系即，将其代入不等式，通过恒等式求出，结合的单调性以及的单调性即可解出不等式.‎ 详解】由，令，得，‎ 又∵，∴，‎ 可得，‎ ‎∴，故与互为倒数，故函数恒成立，‎ 设，则，由题意可得，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 故函数在上是增函数．‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 不等式可化为，‎ 由，令，得，‎ 令，得，∴，‎ 又∵，‎ 由于为定义域内的增函数且恒大于0，故亦为增函数，‎ 结合单调性可得不等式的解为，即实数的取值范围为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抽象函数的单调性，利用单调性解不等式，该题中得到以及判断出的单调性是解题的关键，属于难题.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎14.已知，，则＝__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将指数式化为对数式，根据对数的运算法则即可得结果.‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴，，‎ 可得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，对数的运算，属于基础题.‎ ‎15.映射为一一映射，其中集合，，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用一一映射的定义可得满足的映射只可能是，，进而可得结果.‎ ‎【详解】由一一映射的定义可得，‎ ‎，所有可得的一一映射有或，‎ 又∵，‎ ‎∴只可能是，可得，‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题主要考查了映射的概念，象与原象的关系，属于对基本概念的考查，属于基础题．‎ ‎16.已知函数(且)，且当时函数存在最小值为，则实数______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断出指数部分，当时，的有最小值4，结合指数函数的性质即可得结果.‎ ‎【详解】当时，根据对勾函数的性质的可得，‎ 则原题意等价于，存在最小值为，‎ 由指数函数的性质可得，‎ 函数的最小值为，解得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对勾函数的性质以及指数函数的性质，求出指数部分的范围是解题的关键，属于中档题.‎ ‎17.若函数的定义域与值域均为，则实数满足的条件为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数表示为分段函数的形式，分为和两种情形，结合函数的性质即可得结果.‎ ‎【详解】∵,‎ 当时，若函数的定义域为，值域也为，合乎题意，‎ 当时，若函数的定义域为，其值域为，不合题意，‎ 即实数满足的条件为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的值域求法，熟练将函数化为分段函数是解题的关键，属于中档题.‎ ‎18.已知函数，当时，记最大值与最小值的差为函数，若对于任意的实数，总有，则实数的最小值为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将利用分段函数来表示，分为，，和四种情形讨论得到函数的最大值和最小值，进而得函数，题中不等式等价于，令，求出函数的最值即可得最终结果.‎ ‎【详解】∵，其图象如图所示，‎ ‎①当时，函数在内单调递减，‎ ‎，，‎ 此时；‎ ‎②当即时，函数在内单调递增，‎ ‎，，‎ 此时；‎ ‎③当时，函数在内单调递增，在内单调递减，‎ 且，‎ 此时；‎ ‎④当时，函数在内单调递增，在内单调递减，‎ 且，‎ 此时；‎ 综上可得：， ‎ 若对于任意的实数，总有，即，‎ 令 当时，，当时，，‎ 当时，，当时，，‎ 即的最大值为，故，即实数的最小值为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数最值的求法，分类讨论思想的应用，考查了学生的计算能力，分类情形较多，具有一定难度.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎19.化简与求值.‎ ‎(1)化简：；‎ ‎(2)已知，其中，的值.‎ ‎【答案】(1)；(2)1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2）先利用平方差公式化简，再利用指数幂的运算性质即可得出．‎ ‎【详解】（1）原式；‎ ‎（2）由可知，‎ 原式.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数幂 运算性质，做题时注意数学公式的灵活运用，属于中档题．‎ ‎20.已知集合，.‎ ‎(1)当时，求；‎ ‎(2)若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，可得，先求，再求其补集即可；（2）由题意求出集合包含关系，再分为和进行讨论即可．‎ ‎【详解】解：（1）依题意解得：或，当时，，‎ 此时或，‎ ‎；‎ ‎（2）由可知．‎ 若，则；‎ 若，则或或．‎ 综上所述，实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合间交并补的混合运算，以及集合间包含关系求参数的值，属于基础题．‎ ‎21.已知幕函数为偶函数，且在上单调递增.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若函数在区间上的值恒为正数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由幂函数的性质可得为正偶数，结合的范围可得结果；（2）令，则，根据一次函数的保号性列出不等式组解出即可.‎ ‎【详解】（1）∵函数为偶函数且在上单调递增，‎ ‎∴为正偶数．‎ 而，‎ ‎∴（时取等号），‎ ‎∴；‎ ‎（2）函数，‎ 令，‎ ‎∴．‎ 根据一次函数的保号性可知：，‎ 所以实数的取值范围时．‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数的单调性和奇偶性，一次函数恒成立问题，得出幂函数的解析式是解题的关键，属于中档题.‎ ‎22.“大数据”时代的到来，人工智能的应用已在各个领域内得到了认可与大力推广，人工智能AI教育也相应在北京、上海等大城市普及、某教育总公司开发了一款专门针对于中小学语数英教学的应用程序，据研究发现，题库总量(单位：万，)与成本(单位：万元)的关系由两部分构成：‎ ‎①固定成本：总计万元；‎ ‎②浮动成本：万元.‎ ‎(1)该公司题库总量为多少时，可使得每题的平均成本费用最低?最低费用为多少?‎ ‎(2)公司将该软件投放市场寻求加盟合作伙伴，加盟费为万元，加盟人数与题库量满足一次关系，已知当题库量为万时，此时加盟人数为，公司总利润 ‎(单位：万元)达到最大值.试求、的值.(注：总利润＝加盟费-成本).‎ ‎【答案】(1) 公司题库总量为万时，可使得每题的平均成本费用最低，最低费用为元/道(2) ，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知成本，推出，利用函数的单调性转化求解最小值即可；（2）依题意可知利用二次函数的性质转化求解最大值，推出结果即可．‎ ‎【详解】(1)由题意可知成本，‎ ‎∴，‎ 根据对勾函数的单调性可知该函数在递减，递增，‎ 所以当时，取最小值为．‎ 故该公司题库总量为万时，可使得每题的平均成本费用最低，最低费用为元/道；‎ ‎（2）依题意可知．‎ 当时，取最大值，‎ ‎∴，解得：．‎ 又，解得：．‎ 综上所述，，．‎ ‎【点睛】本题主要考查对勾函数和二次函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎23.已知奇函数，当时，.‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)判断函数在区间上的单调性，并加以证明；‎ ‎(3)若实数，解关于的方程.‎ ‎【答案】(1)-4；(2)在区间上单调递减；证明见解析；(3)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的定义和性质，利用进行计算即可；（2）利用定义法判断函数的单调性即可；（3）根据函数的奇偶性和单调性将进行转化，可转化为求解即可．‎ ‎【详解】（1）因为为定义在上的奇函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由上问可知当时，‎ 所以当时．‎ 任取，‎ ‎，‎ 即，故函数在区间上单调递减；‎ ‎（3）因为为奇函数，‎ ‎∴在区间上单调递减．‎ 而，‎ ‎∴，且、，‎ 因为函数具有单调性，∴，‎ 解得：或．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，结合奇函数的性质求出参数的值解决本题的关键，难度中等．‎ ‎24.表示不超过的最大整数，例，，.已知函数，.‎ ‎(1)求函数的定义域；‎ ‎(2)求证：当且时，总有，并指出当为何值时取等号；‎ ‎(3)解关于的不等式.‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明见解析，，，，时取等号；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的解析式，根据分母不为0求定义域；（2），而，根据取整定义即可得不等式成立，当为整数时等号成立，解出即可；（3）不等式即，在定义域内分为，，，，几种情形，求出的范围即可．‎ ‎【详解】，．‎ ‎（1）∵即，‎ ‎∴该函数定义域为；‎ ‎（2）当且时，‎ 而，即．‎ 当为整数，即，，，时取等号；‎ ‎（3）解不等式，其中．‎ 当时，则且，故左边右边，不符合题意；‎ 当时，则且，故左边，右边且，左边且右边，不符合题意；‎ 当时，则，故右边，∴，即，‎ 解得：；‎ 当时，且，故左边右边，不符合题意；‎ 当时，，故左边，而，显然，‎ 故左边右边，不符合题意．‎ 综上所述，符合题意的．‎ ‎【点睛】本题主要考查取整函数的定义域，不等式的证明，还用了分类讨论思想，难度较大，综合强．‎ ‎ ‎