数学（理）卷·2017届湖南省郴州市高三第四次质量检测（2017

数学（理）卷·2017届湖南省郴州市高三第四次质量检测（2017

郴州市2017届高三第四次教学质量监测试卷 数学理科 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，若，则的值可以是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎2.已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（ ）‎ ‎4.已知，且（），则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为（ ）‎ A．4.5 B．6 C．7.5 D．9 ‎ ‎6.已知双曲线：（，）过点，过点的直线与双曲线的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的实轴长为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.若为奇函数，且是的一个零点，则下列函数中，一定是其零点的函数是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.在中，，，，是上一点，且，则等于（ ）‎ A．6 B．4 C．2 D．1 ‎ ‎10.已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成（平面）．若、分别为线段、的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）‎ A．与平面垂直的直线必与直线垂直 ‎ B．异面直线与所成角是定值 C．一定存在某个位置，使 D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值 ‎12.若曲线（）和（）上分别存在点、，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知实数，满足条件则的最小值为 ．‎ ‎14.把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为 ．‎ ‎15.函数（，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间（）上的值域为，则 ．‎ ‎16.在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，且，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知等差数列的前（）项和为，，且，在等比数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列及的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前（）项和为，且，求．‎ ‎18.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；‎ ‎（Ⅱ）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？‎ ‎19.如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，点在上，且．‎ ‎（Ⅰ）已知点在上，且，求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？‎ ‎20.已知是抛物线上的一点，以点和点为直径的圆交直线于，两点，直线与平行，且直线交抛物线于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求线段的长；‎ ‎（Ⅱ）若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程．‎ ‎21.设函数，（）．‎ ‎（Ⅰ）若直线和函数的图象相切，求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，若存在正实数，使对任意，都有恒成立，求的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，求的值．‎ 郴州市2017届高三第四次教学质量监测试卷数学理科答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）∵，，∴，且，‎ ‎∴，，①‎ ‎∵数列是等差数列，∴，即，②‎ 由①②得，，∴，，‎ ‎∴，，则．‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎18.解：（Ⅰ）由题意可知，所求概率．‎ ‎（Ⅱ）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为1,2,3．‎ ‎，，．‎ 则的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴，‎ ‎．‎ 设乙公司正确完成面试的题数为，则取值分别为0,1,2,3．‎ ‎，，，．‎ 则的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴，‎ ‎．‎ 由，可得，甲公司竞标成功的可能性更大．‎ ‎19.（Ⅰ）证明：∵，，∴，‎ ‎∵底面是直角梯形，，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴四边形是平行四边形，则，‎ ‎∴，‎ ‎∵底面，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（Ⅱ）解：∵，，∴平面，则为直线与平面所成的角，‎ 若与平面所成夹角为，则，即，‎ 取的中点为，连接，则，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎∴，，‎ 设平面的法向量，则即 令，则，，∴，‎ ‎∵是平面的一个法向量，‎ ‎∴，‎ 即当二面角的余弦值为时，直线与平面所成的角为．‎ ‎20.解：（Ⅰ）设，圆方程为，‎ 令，得，∴，，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，，，则 由消去，得，‎ ‎，，‎ ‎∵，∴，则，‎ ‎∴，解得或，‎ 当或时，当到直线的距离，‎ ‎∵圆心到直线的距离等于直线的距离，∴，‎ 又，消去得，求得，‎ 此时，，直线的方程为，‎ 综上，直线的方程为或．‎ ‎21. 解：（Ⅰ）设切点的坐标为，由，得，‎ ‎∴切线方程为，即．‎ 由已知和为同一直线，所以，，‎ 令，则，‎ 当时，，单调递增，当时，，单调递减，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时等号成立，∴，．‎ ‎（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）结合函数的图象知：‎ 存在，使得对于任意，都有，‎ 则不等式等价于，即．‎ 设，，‎ 由，得；由，得．‎ 若，，∵，∴在上单调递减，‎ ‎∵，‎ ‎∴对任意，，与题设不符．‎ 若，，，∴在上单调递增，‎ ‎∵，∴对任意，符合题设，‎ 此时取，可得对任意，都有．‎ ‎②当时，由（Ⅰ）结合函数的图象知（），‎ 对任意都成立，‎ ‎∴等价于．‎ 设，则w，‎ 由，得；，得，‎ ‎∴在上单调递减，注意到，‎ ‎∴对任意，，不符合题设．‎ 综上所述，的取值范围为．‎ ‎22.解：（Ⅰ）由，得，‎ 化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，‎ 依题意，设，则 到直线的距离．‎ 当，即，时，．　‎ 故点到直线的距离的最小值为．‎ ‎（Ⅱ）∵曲线上的所有点均在直线的右下方，‎ ‎∴，有恒成立，‎ 即（其中）恒成立，‎ ‎∴，又，解得，‎ 故的取值范围为．‎ ‎23.解：（Ⅰ）当时，取最大值为，‎ ‎∵，当且仅当，取最小值4，‎ ‎∵关于的不等式有解，‎ ‎∴，即实数的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 则，解得，‎ ‎∴当时，，‎ 令，得，‎ ‎∴，则． ‎