求最值方法 高考数学复习

求最值方法 高考数学复习

一问一答--------最值问题方法 总论 ‎1高中数学求最值有哪些方法？‎ 答：有9种方法：1）配方法 2）判别式法；3）不等式法；4）换元法；5）函数单调性法；6）三角函数性质法；7）导数法；8）数形结合发 ；9）向量法 ‎2 如何将恒成立问题转化为最值问题？‎ 答：1) 恒成立，则 2）恒成立，则 一元整式函数最值 ‎1、二次函数开口方向、对称轴、所给区间均确定,如何求最值?‎ 答：1）确定对称轴与轴交点的横坐标是否在所给区间。2）如果在所给区间，一个最值在顶点处取得，另一个最值在与顶点横坐标较远的端点处取得。3）若不在所给区间，利用函数的单调性确定其最值。‎ ‎2、二次函数所给区间确定，对称轴位置变化，如何求最值?‎ 答：1）移动对称轴，将对称轴平移到定区间的左侧、右侧及区间内讨论，2）在区间内，只考虑对称轴与区间端点的距离即可。‎ ‎3、二次函数所给区间变化，对称轴位置确定，如何求最值?‎ 答：分类讨论，分为四种情况：1）对称轴在闭区间左侧；2）对称轴在闭区间右侧3）对称轴在闭区间内且在中点的左侧；4）对称轴在闭区间内且在中点的右侧（或过中点）；‎ ‎4、二次函数所给区间、对称轴位置都不确定，如何求最值?‎ 答：将其中一个看作是“定”的，另一个看作是“动”的，然后如上分四种情况进行讨论。‎ ‎5、什么情况下运用基本不等式求最值？‎ 答：当两个变量的和或积为定值时运用，有时需要变形。即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。‎ ‎6、对于多项式乘积的最值问题，如何求解 答：可以考虑展开后，利用基本不等式求解 ‎7、如何求复合型函数的最值 答：若函数在上单调性相同，则在上与有相同的单调性，可利用单调性求在上的最值。‎ ‎8、如何求三次及三次以上函数的最值？‎ 答：用导数法求，利用函数的单调性；‎ ‎9、如何求二次函数与指数、对数函数通过四则运算构成的函数 答：用导数法求单调性，利用单调性求最值 ‎10、如何求含绝对值的函数的最值？‎ 答:1）去掉绝对值，转化为分段函数后求最值 ‎/11、如何求含参数的函数最值 答：1）利用导数求最值，2）根据参数的取值范围，用分类讨论思想求解 ‎12、如何求指数，对数函数最值？‎ 答：利用换元法，转化成整式函数最值问题，注意换元后函数定义域的变化。‎ 分式函数最值问题 ‎1、如何求形如的函数的最值 答：有两种方法 1）利用基本不等式求最值法 2）利用其单调性求最值，求解时，需先判断其单调区间。‎ ‎2、如何求一元二次分式函数，形如的函数值域？‎ 答：1）转化成关于自变量的一元二次方程 2）利用判别式求的取值范围。3）注意二次系数等于零的情况。‎ ‎3、分式函数中分子的次数小于分母的次数最值问题，如何求解？‎ 答：可 取倒数后，利用基本不等式求解 无理函数最值问题 ‎1、对于含有根式的最值问题，首先考虑如何处理 答：考虑平方后，利用基本不等式求解 ‎/2、如何求无理函数被开方数含自变量的一次式，形如不为零）的最值 答：利用整体换元法求解 ‎3、如何求解无理式的和、差最值问题 答：1）将根号下的变量进行配方 2）转化为两点间的距离的和、差最值 3）根据已知条件，利用数形结合的方法求解。‎ ‎/4、如何求形如型函数的值域 答：1）确定函数的定义域，设为闭区间，2）令，且，原函数可化为型的函数，从而得出函数的值域。（例题在书上105页）‎ ‎5、如何求形如型函数值域？‎ 答：1）确定函数的定义域，设为闭区间，2）令且，换元，将型函数，求值域（例题在书上105页）‎ 条件最值问题 ‎1、已知或可化为已知型为条件的如何求均不为零）最值 答：可利用“1”的代换求乘法，即，展开后用基本不等式求最值。‎ ‎2、已知均不为零），如何求均不为零）的最值？‎ 答：常将变形为后，然后利用“1”的代换求乘法，展开后用基本不等式求最值。‎ ‎3、已知条件含形如型的关系式，如何求关于一次式的和或积的最值问题 答：将关系式变形，用一个变量表示另一个变量后求解，相当于消元后再利用基本不等式求最值。‎ ‎4、如何求解对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如）的表达式的最值？‎ 答：用增量换元法进行换元，换元的目的是为了减元。‎ ‎/5、举例说明增量换元法 答：若，求最小值，‎ 因为，所以可设，代入方程 ‎6、如何求已知条件含关系式型最值问题 答：1）利用，换元，转化成三角函数求最值问题求解。‎ ‎2）若涉及，则利用，转化成三角函数求最值问题求解。，其中，将问题转化成三角函数求最值问题求解。‎ 线性规划中最值问题 ‎1、如何求解线性规划中最值问题？‎ 答：在线性约束条件下目标函数最值问题求解步骤：1）‎ 作图---画出约束条件下（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线2）平移------将直线平行移动，以确定最优解所对应点的位置 3）求值—解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值。（例题在115页）‎ 三角函数最值问题 ‎1、一次三角函数，如型，采用什么方法？‎ 答：采用引入辅助角法，利用关系式asinx+bcosx=/‎ ‎2、二次三角函数，只含有正弦函数或余弦函数，采用什么方法？‎ 答：‎ ‎3、二次三角函数的三角函数，采用什么方法？‎ 答：利用倍角公式化为，然后求解。‎ ‎4、对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，采用什么方法？‎ 换元法sinx+cosx=t转化为t的二次函数去求最值，要用到必须要注意换元后新变量的取值范围。‎ ‎5、合理的拆添项，凑常数，化简成，，，sinx>0,a<1, 求最值，采用什么方法？‎ 答：基本不等式求函数的最值 ‎6、一次分式三角函数，分子、分母的三角函数同名，如，采用什么方法？‎ 答:1) 先用反解法，再用三角函数的有界性去解。‎ ‎2）先化为部分分式（即整数和分式相加），再利用三角函数的有界性去解。‎ ‎7、一次分式三角函数，分子、分母的三角函数不同名，如，采用什么方法？‎ 答：1）数形结合法，点(cosx,sinx)在单位圆上， 是斜率的表达式 ‎2）化分式为等式，引入辅助角法）和有界性来求解。‎ ‎8、型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，采用什么方法？‎ 答：不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。换元，求导，根据定义域确定单调性。‎ ‎9、含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。‎ 答：含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。‎ ‎10、条件最值问题 答：根据条件，将高次函数化为降幂，将多多元函数降元。化简后再求解。‎ 立体几何最值问题/‎ ‎1、求解立体几何最值问题方法是什么？‎ 答：1）转化为平面问题求解 2‎ ‎）转化为函数的最值，需要恰当引入参变量，准确建立目标函数。‎ ‎2、如何求解三视图中最值问题 答：将三视图还原成几何体，并且将三视图中线段的长度正确反映到几何体中，从而求得最值。‎ ‎/3、如何求解几何表面距离最短的问题？‎ 答：1）将空间几何体表面展开，将立体几何问题转化为平面几何问题，2）利用平面内两点间距离最值问题求解3）求解时注意分类讨论思想。‎ ‎4、立体几何求最值可用的公理和定义有哪些？‎ 答：1）两点之间线段最短 2）分别在两异面直线上的两点的连线中，它们的公垂线最短。/5、如何求解与立体几何动点有关的最值问题 答：建立目标函数法，将动态问题转化为目标函数最值问题。‎ 解析几何最值问题 ‎1、求解解析几何最值问题有哪些方法？‎ 答：1）结合定义，转化为平面几何知识求解，利用三角形两边之和大于第三边，或三角形两边之差小于第三边；点到直线的垂线最短等2）不等式组求解法：列出参数适合的不等式组，通过解不等式组得出参数范围；3）函数值域求解法 4）构造一个二次方程，利用根的判别式/‎ ‎2、如何求解关于圆的最值问题 答：1）根据圆的对称性，转化为与圆心有关的最值问题，即圆心与圆外的点距离最值与圆半径和、差的关系 ‎2）数形结合求解最值；如几何意义是圆上一点与原点连线的斜率；如最值，可设，则为纵截距最值问题；如为圆上的点与原点距离的平方。‎ ‎3、如何求解涉及椭圆（或双曲线）上的动点与其中一个焦点及另外一个动点的距离和、差最值问题 答/1）借助椭圆（或双曲线）定义，转化为该动点与另一个焦点的距离与定点的距离和、差问题，2）然后利用平面几何知识求解，其中常用“两边之和大于第三边”，“两边之差小于第三边”。‎ ‎4、如何求解圆锥曲线上的动点与圆上动点间的距离最值问题 答：1）涉及四个变量，无法直接求解 2）转化为圆心与圆锥曲线动点距离最值与圆半径和、差的关系3）也可构造以圆的圆心为圆心，以半径的动圆与已知圆锥曲线相切，利用消元后得到的二次方程判别式求得的值。/‎ ‎4、如何求解圆锥曲线上的点与定直线距离最值问题 答：1）代数法，设出圆锥曲线上点的坐标，用点到直线的距离公式转化为某一变量的函数，利用函数最值方法求解。‎ ‎2）几何法：通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上取得最值的点。‎ ‎5、如何求解圆锥曲线上的点与定点距离最值问题 答：设出圆锥曲线上点的坐标，用两点间的距离公式转化为某一变量的二次函数，利用函数最值方法求解。‎ 多元变量最值 ‎1、怎样解多元变量之间具有相等关系的最值问题 答：1）利用它们之间的相等关系，选择一个变量用其他变量表示后，代入，消去这个变量后求最值。2）若不能选择一个变量用其他变量表示，将已知关系式变形后，结合待求式特征求最值。（例题在124页）‎ ‎2、如何求含多元变量且待求最值式为分式形式的最值问题？‎ 答：将分子（或分母）变形为常数后求解。此时分母（或分子）可视为一元变量的关系式 ‎3、怎样解多元变量之间具有不等关系的最值问题 答：利用放缩法消元后求最值。应注意放缩的方向及放缩后等号的取舍。（例题在125页）‎ ‎4、如何求多个变量无直接条件式的多元变量最值问题？‎ 答：1）利用“配凑法”将待求式变形2）然后使用基本不等式求最值。（例题在125页）‎