2020届二轮复习直线与圆课时作业(全国通用)

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文档介绍

2020届二轮复习直线与圆课时作业(全国通用)

‎(山东省德州市2019届高三期末联考数学(理科)试题)‎ ‎15.在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为在圆上,所以圆心与切点的连线与切线垂直,又知与直线与直线垂直,所以圆心与切点的连线与直线斜率相等,,所以,故填:.‎ ‎(山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学(文科)试题)‎ ‎14.若直线与两坐标轴分别交于,两点, 为坐标原点,则的内切圆的标准方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合三角形面积计算公式,建立等式,计算半径r,得到圆方程,即可。‎ ‎【详解】设内切圆的半径为r,结合面积公式 则因而圆心坐标为,圆的方程为 ‎【点睛】本道题考查了圆方程计算方法,难度较小。‎ ‎(福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题)‎ ‎13.过圆:的圆心,且斜率为1的直线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题先计算圆心坐标,结合点斜式,写出方程,即可。‎ ‎【详解】结合满足圆心坐标为 则该圆方程圆心坐标为,而该直线斜率为1,所以方程为 ‎,得到 ‎【点睛】本道题考查了点斜式直线方程计算方法,较容易。‎ ‎(山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学(文)试题)‎ ‎20.已知动圆C与圆外切,并与直线相切 ‎(1)求动圆圆心C的轨迹 ‎(2)若从点P(m,-4)作曲线的两条切线,切点分别为A、B,求证:直线AB恒过定点。‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由两圆外切,圆心距等于半径和,圆与直线相切,圆心到直线的距离等于半径。先列出几何关系,建立几何等式,或转化为定义,或代数化。(2)由(1)知曲线为抛物线,应用导数求过,的切线方程,两式结构一样,且都过P(m,-4)点,可知为方程的两个根,再结合直线的方程为.与抛物线方程组方程组中的韦达定理,得,.所以的方程为.过定点。‎ ‎【详解】(1)由题意知,圆的圆心,半径为.设动圆圆心,半径为.‎ 因为圆与直线相切,所以,即. ‎ 因为圆与圆外切,所以,即.‎ ‎ 联立①②,消去,可得. ‎ 所以点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线. ‎ ‎(2)由已知直线的斜率一定存在.不妨设直线的方程为.‎ 联立,整理得,其中 设,则,. ①‎ 由抛物线的方程可得:,.‎ 过的抛物线的切线方程为, ‎ 又代入整得:.‎ 切线过,代入整理得:, ‎ 同理可得. ‎ 为方程的两个根,‎ ‎,. ② ‎ 由①②可得,, ‎ 所以,.的方程为.‎ 所以直线恒过定点.‎ ‎【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.‎ ‎(四川省绵阳市2019届高三第二次(1月)诊断性考试数学理试题)‎ ‎8.已知⊙O:与⊙O1:相交于A、B两点,若两圆在A点处的切线互相垂直,且|AB|=4,则⊙O1的方程为( )‎ A. =20 B. =50‎ C. =20 D. =50‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两圆相交,在A处的切线互相垂直,即可得到结论.‎ ‎【详解】依题意,得O(0,0),R=,O1(,0),半径为r 两圆在A点处的切线互相垂直,则由切线的性质定理知:两切线必过两圆的圆心,如下图,‎ OC=,OA⊥O1A,OO1⊥AB,‎ 所以由直角三角形射影定理得:OA2=OC×OO1,‎ 即 5=1×OO1,所以OO1=5,r=AO1==2,‎ 即=5,得=5,所以,圆O1的方程为:=20,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查两圆位置关系的应用,根据切线垂直关系建立方程关系是解决本题的关键.‎ ‎(湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试文科数学试题)‎ ‎11.已知两点,以及圆:,若圆上存在点,满足,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知:以AB为直径的圆与圆有公共点,从而得出两圆圆心距与半径的关系,列出不等式得出的范围.‎ ‎【详解】 ,点在以,两点为直径的圆上,‎ 该圆方程为:,又点在圆上,两圆有公共点。‎ 两圆的圆心距 ‎ ‎ 解得:‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系,还考查了向量垂直的数量积表示,属于中档题.‎ ‎(湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题)‎ ‎14.已知直线与圆:相交于、两点,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 明确圆的圆心与半径,求出圆心C到直线的距离,进而得到弦长,即可得到的值.‎ ‎【详解】圆:的圆心C:,半径r=2,‎ 圆心C到直线的距离为 ‎∴,‎ ‎∴三角形ABC为等边三角形,‎ ‎∴.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查垂径定理,属于基础题.‎ ‎(河南省驻马店市2019届高三上学期期中考试数学文试题)‎ ‎14.已知直线与圆相切,则实数_____.‎ ‎【答案】2或12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将圆的方程整理为标准型,然后结合直线与圆的位置关系得到关于实数b的方程,解方程即可求得最终结果.‎ ‎【详解】圆的标准方程即:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1,‎ 由题意可得圆心(1,1)到直线3x+4y﹣b=0的距离为1,‎ 即:,解得:b=2或b=12.‎ 故答案为:2或12.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的标准方程,直线与圆的位置关系等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题.‎ ‎(河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学(文)试题)‎ ‎15.经过点作圆的切线,设两个切点分别为,,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的方程可以求出圆心坐标及半径,进而可以求出,,从而求出的值,由,利用二倍角的正切公式,可以求出的值.‎ ‎【详解】圆的方程可化为,则圆心为,半径为r=1,设,,,,‎ 则,.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了圆的性质,考查了两点间的距离公式,二倍角的正切公式,属于基础题。‎ ‎(福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题)‎ ‎14.直线与圆交于两点,则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,求得圆心到直线点距离为,再由圆的弦长公式,即可求解.‎ ‎【详解】根据题意,圆的圆心为,半径为,‎ 则圆心到直线点距离为,‎ 则.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,以及弦长的计算,其中解答中熟记点到直线的距离公式和圆的弦长公式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.‎ ‎(福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学理试题)‎ ‎9.设为坐标原点,直线交圆于,两点,则面积的最大值是( )‎ A. 1 B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题分别计算出三角形OAB的底和高,结合三角形面积计算公式,计算面积最值,即可。‎ ‎【详解】设直线OA和x轴夹角为,则高为,所以 ‎,而,所以S的最大值为2,故选C。‎ ‎【点睛】本道题考查了用三角函数计算面积求最值问题,难度中等。‎ ‎(福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学(理科)试题)‎ ‎5.若直线与曲线有且只有一个公共点,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用几何意义,当直线与半圆相切或者只有一个公共点时满足题意 ‎【详解】表示半圆,如图所示:‎ 直线与曲线有且只有一个公共点,‎ ‎①,解得,(舍去)‎ ‎②代入(-1,0)可得 代入(1,0)可得 结合图象,综上可得或 故选C ‎【点睛】本题考查了直线与半圆之间的位置关系,为满足题意中只有一个交点,则需要进行分类讨论,运用点到直线距离和点坐标代入计算出结果 ‎(安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测(一模)数学(理)试题)‎ ‎4.直线与轴的交点为,点把圆的直径分为两段,则较长一段比上较短一段的值等于 ( )‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出点坐标,然后求出点与圆心的距离,结合半径可以求出答案。‎ ‎【详解】令代入可得,圆心坐标为,‎ 则与圆心的距离为,半径为6,‎ 可知较长一段为8,较短一段4,则较长一段比上较短一段的值等于2。‎ 故答案为A.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的方程,圆的半径,圆心坐标,属于基础题。‎ ‎(辽宁省丹东市2018年高三模拟(二)理科数学试题)‎ ‎3.圆心为的圆与圆相外切,则的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:由两圆外切得圆心距为半径和从而得解.‎ 详解:圆,即.圆心为,半径为3‎ 设圆的半径为.‎ 由两圆外切知,圆心距为.‎ 所以.‎ 的方程为,展开得:.‎ 故选D.‎ 点睛:此题主要考查解析几何中圆的标准方程,两圆的位置关系,以及两点间的距离公式的应用等有关方面的知识与技能,以属于中低档题型,也是常考考点.‎ 判断两圆的位置关系,有两种方法,一是代数法,联立两圆方程,消去其中一未知数,通过对所得方程的根决断,从而可得两圆关系;一是几何法,通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较,从而可得两圆位置关系.‎ ‎(河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学(文)试题)‎ ‎16.已知双曲线C:(a>0,b>0),圆M:.若双曲线C的一条渐近线与圆M相切,则当取得最小值时,C的实轴长为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设渐近线方程为,由点到直线的距离公式可得,则,利用导数研究函数的单调性可得在上递减,在上递增,时,有最小值,从而可得结果.‎ ‎【详解】设渐近线方程为,即,‎ 与相切,‎ 所以圆心到直线的距离等于半径,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 时,;时,,‎ 在上递减,在上递增,‎ 时,有最小值,‎ 此时实轴,故答案为4.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线、直线与圆的位置关系以及利用导数研究函数的单调性与最值,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于难题. 解答直线与圆的位置关系的题型,主要是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系.‎ ‎(吉林省长春实验高中2019届 高三第五次月考 数学(文)试题)‎ ‎8.已知圆:与圆关于轴对称,为圆上的动点,当到直线的距离最小时,的横坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 圆的方程为:,过M(3,-4)且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=-x-1,代入,得 ,故当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的坐标为 ‎ ‎(山东省济南外国语学校2019届高三1月份阶段模拟测试数学(文)试题)‎ ‎15.已知抛物线的准线为与圆相交所得弦长为,则___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用弦心距、半弦长与半径之间的关系计算即得结论;‎ ‎【详解】抛物线y=ax2(a>0)的准线l:y,∴圆心(3,0)到其距离为d= .‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的性质和圆中垂径定理的应用,考查学生的计算能力,属于中档题.‎ ‎(河北省衡水市第十三中学2019届高三质检(四)理科数学试题)‎ ‎1.直线的倾斜角是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,取得直线的斜率,进而可求得倾斜角,得到答案.‎ ‎【详解】由题意得,故倾斜角为.故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角,以及三角函数的求值,其中解答中根据直线的方程,求得直线的斜率是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.‎ ‎(河北省衡水市第十三中学2019届高三质检(四)理科数学试题)‎ ‎8.已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与定圆相切,则动圆的圆心P的轨迹是(  )‎ A. 线段 B. 直线 C. 圆 D. 椭圆 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点为M,根据题意,列出点P满足的关系式即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6.则 P点的轨迹是椭圆即得解.‎ ‎【详解】设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到定点A(﹣3,0)和定圆圆心B(3,0)距离之 和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6.‎ ‎∴点P的轨迹是以A,B为两焦点,半长轴为4的椭圆,b==.‎ ‎∴点P的轨迹方程为.‎ 故答案为:D ‎【点睛】本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法,应该熟练并灵活运用.‎ ‎(湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试 数学(文科)试题)‎ ‎10.过点(0,1)的直线被圆所截得的弦长最短时,直线的斜率为( )‎ A. 1 B. -1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:点在圆内,要使得过点的直线被圆所截得的弦长最短,则该弦以为中点,与圆心和连线垂直,而圆心和连线的斜率为,所以所求直线斜率为1,故选择A.‎ 考点:直线与圆的位置关系.‎ ‎(湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试(一模)数学(文)试题)‎ ‎15.已知圆,圆圆与圆相切,并且两圆的一条外公切线的斜率为7,则为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作出如下图形:‎ 由圆方程求出圆心连线斜率为:,计算出圆心距,‎ 再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角,从而在直角三角形中列方程求得,联立方程即可求出,,问题得解。‎ ‎【详解】根据题意作出如下图形:‎ AB为两圆的公切线,切点分别为A,B.‎ 当公切线AB与直线平行时,公切线AB斜率不为7,即 不妨设 过作AB的平行线交于点E,则:,且 ‎,‎ 直线的斜率为:,‎ 所以直线AB与直线的夹角正切为:.‎ 在直角三角形中,,所以,‎ 又,整理得:,‎ 解得:,又,解得:,,‎ 所以=.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式,还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想,属于中档题。‎ ‎(安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学(文)试题)‎ ‎12.在平面直角坐标系中,设点,定义,其中 为坐标原点,对于下列结论:‎ 符合的点的轨迹围成的图形面积为8;‎ 设点是直线:上任意一点,则;‎ 设点是直线:上任意一点,则使得“最小的点有无数个”的必要条件是;‎ 设点是圆上任意一点,则.‎ 其中正确的结论序号为  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据新定义由,讨论x的取值,得到y与x的分段函数关系式,画出分段函数的图象,由图象可知点P的轨迹围成的图形为边长是的正方形,求出正方形的面积即可;‎ 运用绝对值的含义和一次函数的单调性,可得的最小值;‎ 根据大于等于或,把代入即可得到当最小的点P有无数个时,k等于1或;而k等于1或推出最小的点P有无数个,得到是“使最小的点P有无数个”的充要条件;‎ 把P的坐标用参数表示,然后利用三角函数的化积求得的最大值说明命题正确.‎ ‎【详解】由,根据新定义得:,‎ 由方程表示的图形关于x,y轴对称和原点对称,‎ 且,‎ 画出图象如图所示:‎ 根据图形得到:四边形ABCD为边长是的正方形,面积等于8,‎ 故正确;‎ 为直线:上任一点,可得,‎ 可得,‎ 当时,;当时,;‎ 当时,可得,综上可得的最小值为1,故正确;‎ ‎,当时,,满足题意;‎ 而,当时,,满足题意.‎ ‎“使最小的点P有无数个”的充要条件是“”,正确;‎ 点P是圆上任意一点,则可设,,,‎ ‎,,,正确.‎ 则正确的结论有:、、.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】此题考查学生理解及运用新定义的能力,考查了数形结合的数学思想,关键是对题意的理解,是中档题.‎ ‎(广东省东莞市2019届高三上学期期末调研测试数学理试题)‎ ‎9.过点且倾斜角为的直线交圆于,两点,则弦的长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出直线l的方程,求圆心到直线l的距离,再利用弦长公式进行求解即可.‎ ‎【详解】过点且倾斜角为的直线为y-1=即,‎ ‎∵圆,∴圆心(0,3),半径r=3,‎ 圆心到直线l:的距离d==1,‎ ‎∴直线被圆截得的弦长l=2=.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式,主要用到了点到直线的距离公式.‎ ‎(江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考数学(文)试卷)‎ ‎16.已知点Q(x0,1),若上存在点,使得∠OQP=60°,则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线和圆的位置关系,利用数形结合即可得到结论.‎ ‎【详解】由题意画出图形如图:点Q(x0,1),要使圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OQP=60°,则∠OQP的最大值大于或等于60°时一定存在点P,使得∠OQP=60°,而当QP与圆相切时∠OQP取得最大值,此时OP=1,=.图中只有Q′到Q″之间的区域满足|QP|≤,∴x0的取值范围是.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,数形结合是快速解得本题的策略之一,属于中档题.‎ ‎(陕西省宝鸡市2019届高三高考模拟检测(二)数学(文科)试题)‎ ‎3.若直线x+(1+m)y-2=0与直线m+2y+4=0平行,则m的值是( )‎ A. 1 B. -2 C. 1或-2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论直线的斜率情况,然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求.‎ ‎【详解】①当时,两直线分别为和,此时两直线相交,不合题意.‎ ‎②当时,两直线的斜率都存在,由直线平行可得,解得.‎ 综上可得.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查两直线平行的等价条件,解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论.也可利用以下结论求解:若,则 且或且.‎ ‎(广东省揭阳市2019届高三一模数学(文科)试题)‎ ‎15.若圆与圆相切,则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两圆相切得圆心之间距离等于半径之和或之差的绝对值,解得的值.‎ ‎【详解】因为,所以,‎ 因为两圆相切,所以或,‎ 解得或.‎ ‎【点睛】本题考查两圆位置关系,考查基本分析求解能力.属基本题.‎ ‎(山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题)‎ ‎5.圆与直线的位置关系是( )‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上三种情况都有可能 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过比较圆心到直线的距离和半径即可得到位置关系.‎ ‎【详解】圆的圆心坐标是,半径是,因为圆心到直线的距离,满足,所以圆与直线的位置关系是相离,‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判定,比较圆心到直线的距离和半径即可.‎ ‎(西安市2019届高三年级第一次质量检测文科数学)‎ ‎7.若直线:与圆:无交点,则点与圆的位置关系是( )‎ A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知圆心到直线的距离大于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关系式,再利用两点间的距离公式判断,可得出结论.‎ ‎【详解】直线:与圆:无交点,则,即,‎ ‎∴点在圆内部.‎ 故应选C.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,以及点与圆的位置关系,涉及的知识有:点到直线的距离公式,以及两点间的距离公式,属于基础题.‎ ‎(晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题)‎ ‎3.若直线平分圆,则实数的值为( )‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知直线经过圆心,据此得到关于实数a的方程,解方程即可确定实数a的值.‎ ‎【详解】当直线经过圆心时平分圆,所以,圆心在直线上,‎ 所以,解得.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,方程思想的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎(河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学(文)试题)‎ ‎7.已知点为圆上一点,,则的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取AB中点D,,的最大值转化为圆心C到D的距离加半径再乘以2即可求解.‎ ‎【详解】取AB中点D(2,-3),,‎ ‎,d+r=‎ 的最大值为 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查点与圆的位置关系,圆上的点到圆外定点距离的最值,是中档题.‎ ‎(陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测(二)数学(文)试题)‎ ‎15.已知点是直线上的动点,过引圆的切线,则切线长的最小值为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.‎ ‎【详解】圆的圆心为,半径为1,‎ 要使切线长最小,则只需要点P到圆心的距离最小。‎ 此时最小值为圆心到直线的距离,‎ 此时切线长的最小值为,‎ 故答案是:1.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关圆的切线长的最小值问题,涉及到的知识点有点到直线的距离公式,切线长,圆的半径以及点到圆心的距离对应的直角三角形,在解题的过程中,注意分析得出什么时候使得切线长最短值解题的关键.‎ ‎(广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学(文)试题)‎ ‎5.若直线与圆相交,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线与圆相交等价于圆心到直线距离小于半径.‎ ‎【详解】直线化为一般式为:,‎ 直线与圆相交等价于圆心到直线距离小于半径,‎ 即,∴‎ ‎∴‎ 故选:D ‎【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系,一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的,联立的时候较少;还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时,一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离,再加减半径,分别得到最大值和最小值.‎ ‎(陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学(理)试题)‎ ‎15.圆的任意一条切线与圆相交于,两点,为坐标原点,则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,根据AB与圆相切且交外面的圆于A、B两点,由垂径定理及勾股定理,求得的大小,进而利用向量数量积即可求得解。‎ ‎【详解】由题意,画出几何图形如下图所示:‎ 设切点为P,则 ‎ 且 ,则 ‎ 所以 因为,‎ 所以 ‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及性质,向量数量积的应用,属于基础题。‎ ‎(四川省成都市实验外国语学校2019届高三二诊模拟考试理科数学)‎ ‎14.圆心在直线上的圆C与轴交于两点,,则圆C的方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析:根据题意,列出关于圆心和半径的方程,求解即可。‎ 详解:设圆的方程为,根据题意可得:,‎ ‎,,联立求解可得.‎ 圆C的方程为。‎ 点睛:已知曲线类型,求参数利用待定系数法,根据题意列方程,对圆的参数圆心坐标和半径求解,是常见解法。‎ ‎(安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学(文)试题)‎ ‎12.在平面直角坐标系中,圆经过点,,且与轴正半轴相切,若圆上存在点,使得直线与直线关于轴对称,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆的圆心坐标与半径,设的斜率为,因为,所以,当最大时最小,利用圆心到直线的距离等于半径求得的最大值,即可得到的最小值.‎ ‎【详解】‎ 圆经过,‎ 圆心在的垂直平分线上,‎ 又圆与轴正半轴相切,圆的半径为2,‎ 设圆心坐标为,‎ 由得,‎ 圆心坐标为,‎ 设的斜率为,因为,所以,‎ 当最大时最小,‎ 设(),由图可知当与圆相切时最大,‎ 此时,‎ 解得,此时,‎ 即的最小值为,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及直线与圆的位置关系、转化思想的应用,属于难题. 解答直线与圆的位置关系的题型,常见思路有两个:一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系;二是直线方程与圆的方程联立,考虑运用韦达定理以及判别式来解答.‎ ‎(陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测(二)数学(文)试题)‎ ‎20.设定点,动圆过点且与直线相切.‎ ‎(I)求动圆圆心的轨迹的方程;‎ ‎(II)设为直线上任意一点,过点作轨迹的两条切线和,证明:.‎ ‎【答案】(1)(2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)根据抛物线的定义和题设中的条件可知的轨迹是以为焦点,以直线为准线的抛物线,焦点到准线的距离,进而求得抛物线的方程;‎ ‎(II)首先判断过点过与曲线相切的直线斜率存在,设切线方程为,与抛物线的方程联立,整理得出判别式等于0,从而求得,利用韦达定理得出,从而得到.‎ ‎【详解】(I)依题意知,点的轨迹是以为焦点,‎ 以直线为准线的抛物线,方程为 ‎ ‎(II) 设,显然过与曲线相切的直线斜率存在,设切线方程为,‎ 与曲线联立得,即,‎ 依题意,即,‎ ‎ ‎ ‎,分别是直线和的斜率,.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题,涉及到的知识点有利用定义求曲线方程,直线与抛物线的位置关系,相切对应的条件,两直线垂直的条件,属于简单题目.‎ ‎(河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学(文)试题)‎ ‎20.斜率为的直线与抛物线交于两点,且的中点恰好在直线上.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)直线与圆交于两点,若,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)1;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设直线的方程为,代入抛物线的方程,利用韦达定理得到,由的中点在上,即可求解;‎ ‎(2)根据圆的弦长公式,分别求解,利用求得实数的值,进而得到答案.‎ ‎【详解】(1)设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由得,x2-2kx-2m=0,‎ D=4k2+8m,‎ x1+x2=2k,x1x2=-2m, ‎ 因为AB的中点在x=1上,‎ 所以x1+x2=2.‎ 即2k=2,‎ 所以k=1. ‎ ‎(2)O到直线l的距离d=,|CD|=2, ‎ 所以|AB|=|x1-x2|=·=2·, ‎ 因为|AB|=|CD|,‎ 所以2·=2,‎ 化简得m2+8m-20=0,‎ 所以m=-10或m=2. ‎ 由得-<m<2.‎ 所以m=2,‎ 直线l的方程为y=x+2.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎(河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学(文)试题)‎ ‎20.已知动圆过定点,且在轴上截得的弦长为,设该动圆圆心的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)直线过曲线的焦点,与曲线交于、两点,且,都垂直于直线,垂足分别为,直线与轴的交点为,求证为定值.‎ ‎【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设动圆圆心坐标为C(x,y),由题意得,能求出曲线方程;(2)设代入 ‎【详解】(Ⅰ)设动圆圆心坐标为C(x,y),根据题意得 ‎,‎ 化简得 ‎ ‎(Ⅱ)设,,由题意知的斜率一定存在设,‎ 则,得所以,,‎ ‎,‎ 又 ‎ ‎=‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程,直线与抛物线位置关系,面积公式及定值问题,是综合题,要注意转化为以FQ为底比较简便.‎ ‎(湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试 数学(文科)试题)‎ ‎20.已知动圆过定点,且与定直线相切.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹的方程;‎ ‎(2)过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点,试探究在轴上是否存在定点(异于点),使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1) ,(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据抛物线的定义即可得解;‎ ‎(2)假设存在点满足题设条件,由题意可得直线与的斜率互为相反数,即,设,,设,再由直线与抛物线联立,利用韦达定理代入求解即可.‎ ‎【详解】(1)解法1:依题意动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等, ‎ 由抛物线的定义,可得动圆圆心的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线, 其中.‎ 动圆圆心的轨迹的方程为.‎ 解法2:设动圆圆心 ,依题意:. ‎ 化简得:,即为动圆圆心的轨迹的方程 ‎(2)解:假设存在点满足题设条件.‎ 由可知,直线与的斜率互为相反数,‎ 即 ①‎ 直线的斜率必存在且不为,设, ‎ 由得.‎ 由,得或.‎ 设,则.‎ 由①式得 ,‎ ‎,即.‎ 消去,得,‎ ‎ ,‎ ‎ , ‎ 存在点使得.‎ ‎【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.‎ ‎(河北省衡水市第十三中学2019届高三质检(四)理科数学试题)‎ ‎21.已知点是圆:上的一动点,点,点在线段上,且满足 ‎.‎ ‎(1)求点的轨迹的方程;‎ ‎(2)设曲线与轴的正半轴,轴的正半轴的交点分别为点,,斜率为的动直线交曲线于、两点,其中点在第一象限,求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由向量的数量积的运算,可得,化简得,利用椭圆的定义,即可求得动点的轨迹方程.‎ ‎(2)设直线的方程为,联立方程组,利用根与系数的关系和弦长公式,求得 和,在利用点到直线的距离公式,求得点到直线的距离 和点到直线的距离为,得出四边形面积,即可求解.‎ ‎【详解】(1)由题意, ,‎ ‎∴.‎ ‎∴ ,‎ ‎∴点的轨迹是以点,为焦点且长轴长为6的椭圆,‎ 即,,∴,,∴.‎ 即点的轨迹的方程为.‎ ‎(2)由(1)可得,.‎ 设直线的方程为,由点在第一象限,得,,,‎ 由,得,‎ 则,, ,‎ 点到直线的距离为,点到直线的距离为,‎ ‎∴四边形面积 ,‎ 又,∴当时,取得最大值.‎ 即四边形面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎
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