2014年高考真题——理科数学（四川卷）解析版

2014年高考真题——理科数学（四川卷）解析版

一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题 目要求的. 1．已知集合 2{ | 2 0}A x x x    ，集合 B 为整数集，则 AB（ ） A．{ 1,0,1,2} B．{ 2, 1,0,1} C．{0,1} D．{ 1,0} 2．在 6(1 )xx 的展开式中，含 3x 项的系数为（ ） A．30 B． 20 C．15 D．10 3．为了得到函数 sin(2 1)yx的图象，只需把函数 sin 2yx 的图象上所有的点（ ） A．向左平行移动 1 2 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度 C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度 4．若 0ab， 0cd，则一定有（ ） A． ab cd B． ab cd C． ab dc D． ab dc 【答案】D 【解析】[来源:学科网] 试题分析： 110, 0, 0c d c d dc          ，又 0, 0,a b a bab d c d c        .选 D 【考点定位】不等式的基本性质. 5．执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 ,x y R ，则输出的 S 的最大值 为（ ） A．0 B．1 C． 2 D．3 【考点定位】程序框图与线性规划. 6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，学科网最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） A．192种 B． 216 种 C． 240 种 D． 288 种[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 7．平面向量 (1,2)a  ， (4,2)b  ，c ma b（ mR ），且 c 与 a 的夹角等于 与b 的夹角，则 m （ ） A． 2 B． 1 C．1 D． 2 8．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 1CC 上，直线OP 与平面 1A BD 所成的角为 ，则sin 的取值范围是（ ） A． 3[ ,1]3 B． 6[ ,1]3 C． 6 2 2[ , ]33 D． 22[ ,1]3 9．已知 ( ) ln(1 ) ln(1 )f x x x    ， ( 1,1)x .现有下列命题： ① ( ) ( )f x f x   ；② 2 2( ) 2 ( )1 xf f xx  ；③| ( ) | 2| |f x x .其中的所有正确命题的序号是（ ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】A 10．已知 F 是抛物线 2yx 的焦点，点 A ， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， 2OA OB（其中O 为 坐标原点），则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（ ） A． 2 B．3 C．17 2 8 D． 10 二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．复数 22 1 i i   . 【答案】 2i . 【解析】 试题分析： 22 2 2(1 ) 21 (1 )(1 ) iiii i i      . 【考点定位】复数的基本运算. 12．设 ()fx是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 [ 1,1)x 时， 24 2, 1 0,() , 0 1, xxfx xx        ，则 3()2f  . 13．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为67 ，30 ，此时气球的高是 46m ， 则河流的宽度 BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67 0.92 ， cos67 0.39 ，sin37 0.60 ，cos37 0.80 ， 3 1.73 ） [来源:学#科#网] 14．设 mR ，过定点 A 的动直线 0x my和过定点 B 的动直线 30mx y m    交于点 ( , )P x y ，则 | | | |PA PB 的最大值是 . 15．以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数 ()x 组成的集合：对于函数 ， 存在一个正数 M ，使得函数 ()x 的值域包含于区间[ , ]MM .例如，当 3 1()xx  ， 2 ( ) sinxx  时， 1()xA  ， 2 ()xB  .现有如下命题： ①设函数 ()fx的定义域为 D ，则“ ()f x A ”的充要条件是“ bR ， aD ， ()f a b ”； ②学科网函数 ()f x B 的充要条件是 ()fx有最大值和最小值； ③若函数 ， ()gx的定义域相同，且 ， ()g x B ，则 ( ) ( )f x g x B； ④若函数 2( ) ln( 2) 1 xf x a x x    （ 2x  ， aR ）有最大值，则 . 其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号） 三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知函数 ( ) sin(3 )4f x x . （1）求 ()fx的单调递增区间； （2）若 是第二象限角， 4( ) cos( )cos23 5 4f  ，求 cos sin 的值. 17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音 乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分， 没有出现音乐则扣除 200 分（即获得 200 分）.学科网设每次击鼓出现音乐的概率为 1 2 ，且各次击鼓出现 音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为 X ，求 X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ （3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用 概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 试题解答：（1） 1 3 3 1( 200) , ( 10) , ( 20) , ( 100)8 8 8 8P X P X P X P X         .所以 X 的分布列为 X -200 10[来源:学科网 ZXXK] 20 100 p 1 8 3 8 18．三棱锥 A BCD 及其侧视图、俯视图如图所示.设 M ，N 分别为线段 AD ，AB 的中点，P 为线段 BC 上的点，且 MN NP . （1）证明： 为线段 的中点； （2）求二面角 A NP M的余弦值. 侧视图 俯视图 1 1 2 2 2 2 1 1 M N P D B C A （2）易得平面 PMN 的法向量为 1 (0,1,1)n  . ( 1,0, 3), ( 1, 3,0)BA BC    ，设平面 ABC 的法向量为 2 ( , , )n x y z ，则 0 3 0 3 0 0 xz xy          2 ( 3,1,1)n  ，所以 1 1 10cos 525    . 【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角. 19．设等差数列{}na 的公差为 d ，点( , )nnab在函数 ( ) 2xfx 的图象上（ *nN ）. （1）若 1 2a  ，点 87( ,4 )ab在函数 ()fx的图象上，求数列 的前 n 项和 nS ； （2）若 1 1a  ，学科网函数 的图象在点 22( , )ab 处的切线在 x 轴上的截距为 12 ln 2 ，求数列{}n n a b 的 前 n 项和 nT . 20．已知椭圆 C： 22 221xy ab（ 0ab）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角 形. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 3x  上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q. （i）证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）； （ii）当 || || TF PQ 最小时，求点 T 的坐标. 【答案】(1) 22 162 xy；（ 2） ( 3,0)T  21．已知函数 2( ) 1xf x e ax bx    ，其中 ,a b R ， 2.71828e  为自然对数的底数. （Ⅰ）设 ()gx是函数 ()fx的导函数，求函数 在区间[0,1] 上的最小值；[来源:学科网 ZXXK] （Ⅱ）若 (1) 0f  ，函数 在区间(0,1) 内有零点，求 a 的取值范围 【答案】（Ⅰ）当 1 2a  时， ( ) (0) 1g x g b   ；当 1 22 ea时， ( ) 2 2 ln(2 )g x a a a b   ； 当 2 ea  时， ( ) 2g x e a b   .（Ⅱ） a 的范围为(0,1) . 【解析】 所以 1 22 ea.