高考理科数学湖北卷试题及答案

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高考理科数学湖北卷试题及答案

‎2005年高考理科数学湖北卷试题及答案 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的上个选项中,中有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设P、Q为两个非空数集,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是 A.9 B.8 C.7 D.6‎ ‎2.对任意实数a,b,c,给出下列命题:‎ ‎①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;‎ ‎②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;‎ ‎③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;‎ ‎④“a<5”是“a<3”的必要条件 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎3.=‎ A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i ‎4. 函数的图象大致是 ( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5.双曲线的离心率为2,有一个焦点与抛物线的焦点重合,则mn的值为 A. B. C. D.‎ ‎6.在这四个函数中,当时,使恒成立的函数的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎7.若,则 A.(0,) B.(,) C.(,) D.(,)‎ ‎8.若,则常数a,b的值为 A.a=-2,b=4 B.a=2,b=-4‎ C.a=-2,b=-4 D.a=2,b=4‎ ‎9.若,则2x与3sinx的大小关系:‎ A.2x>3sinx B.2x<3sinx C.2x=3sinx D.与x的取值有关 ‎10.如图,在三棱柱中,点E、F、H、K分别为、、、 的中点,G为ΔABC的重心从K、H、G、中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则P为 A.K B.H ‎ C.G D.‎ ‎11.某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段,如果抽得号码有下列四种情况:‎ ‎①7,34,61,88,115,142,169,223,250;‎ ‎②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;‎ ‎③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;‎ ‎④305784111138165192219246270‎ 关于上述样本的下列结论中,正确的是 A.②、③都不能为系统抽样 B.②、④都不能为分层抽样 C.①、④都可能为系统抽样 D.①、③都可能为分层抽样 ‎12.以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角形不共面的概率p为 A. B. C. D.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分 ,共16分把答案填写在答题卡相应的位置上)‎ ‎13.已知向量a=(-2,2),b=(5,k)若|a+b|不超过5,则k的取值范围是 ‎ ‎14.的展开式中整理后的常数项等于 ‎ ‎15.设等比数列{}的公比为q,前n项和为,若,,成等差数列,则q的值为 ‎ ‎16.某实验室需购某种化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格为120元在满足需要的条件下,最少要花费 元 三、解答题(本大题共6小题,共74分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知向量a=(,x+1),b= (1-x,t)若函数=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围 ‎18.(本小题满分12分)‎ 在ΔABC中,已知,AC边上的中线BD=,求sinA的值 ‎19.(本小题满分12分)‎ 某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一量某次考试通过,便可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望,并求李明在一所内领到驾照的概率 ‎20.(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥P—ABC右,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点 ‎(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;‎ ‎(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,‎ 并求出N点到AB和AP的距离 ‎21.(本小题满分12分)‎ 设A、B是椭圆上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点 ‎(Ⅰ)确定的取值范围,并求直线AB的方程;‎ ‎(Ⅱ)试判断是否存在这样的,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由 ‎22.(本小题满分14分)‎ 已知不等式,其中n为大于2的整数,表示不超过的最大整数设数列{}的各项为正,且满足,‎ ‎(Ⅰ)证明:,;‎ ‎(Ⅱ)猜测数列{}是否有极限?如果有,写出极限的值;‎ ‎(Ⅲ)试确定一个正整数N,使得当n>N时,对任意b>0,都有 ‎2005年高考理科数学湖北卷试题及答案 参考答案 ‎1.B 2.B 3.C 4.D 5.A 6.B ‎7.C 8.C 9.D 10.C 11.D 12.A ‎13.[-6,2] 14. 15.-2 16.500‎ ‎17.解法一:依定义 则,‎ 若在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设≥0‎ ‎∴≥0在(-1,1)上恒成立 考虑函数,由于的图象是对称轴为,开口向上的抛物线,故要使在(-1,1)上恒成立,即t≥5‎ 而当t≥5时,在(-1,1)上满足>0,即在(-1,1)上是增函数 故t的取值范围是t≥5‎ 解法二:依定义,‎ 若在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设≥0‎ ‎∵的图象是开口向下的抛物线,‎ ‎∴当且仅当,且时,‎ 在(-1,1)上满足>0,即在(-1,1)上是增函数 故t的取值范围是t≥5‎ ‎18.解法一:设E为BC的中点,连接DE,则DE//AB,且,设BE=x 在ΔBDE中利用余弦定理可得:‎ ‎,‎ ‎,解得,(舍去)‎ 故BC=2,从而,即 又,故,‎ 解法二:以B为坐标原点,为x轴正向建立直角坐标指法,且不妨设点A位于第一象限 由,则,‎ 设=(x,0),则 由条件得 从而x=2,(舍去)故 于是 ‎∴‎ 解法三:过A作AH⊥BC交BC于H,延长BD到P使BP=DP,连接AP、PC 过窗PN⊥BC交BC的延长线于N,则,‎ ‎,‎ 而,∴BC=BN=CN=2,,‎ 故由正弦定理得,∴‎ ‎19.解:的取值分别为1,2,3,4‎ ‎=1,表明李明第一次参加驾照考试就通过了,故P(=1)=0.6‎ ‎=2,表明李明在第一次考试未通过,第二次通过了,故P(=2)=(1-0.6)×0.7=0.28‎ ‎=3,表明李明在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故 ‎ P(=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096‎ ‎=4,表明李明在第一、二、三次考试都未通过,故 ‎ P(=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024‎ ‎∴李明实际参加考试次数的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.6‎ ‎0.28‎ ‎0.096‎ ‎0.024‎ ‎∴的期望E=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544‎ 李明在一年内领到驾照的概第为 ‎ 1-(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.9)=0.9976‎ ‎20.解法一:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0,0,0),‎ B(,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),‎ P(0,0,2),E(0,,2)‎ 从而=(,1,0),=(,0,-2)‎ 设与的夹角为,则 ‎,‎ ‎∴AC与PB所成角的余弦值为 ‎(Ⅱ)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),‎ 则 由NE⊥面PAC可得:即 化简得 即N点的坐标为(,0,1),从而N点到AB、AP的距离分别为1,‎ 解法二:(Ⅰ)设AC∩BD=O,连OE,则OE//PB,‎ ‎∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角 在ΔAOE中,AO=1,OE=PB=,AE=PD=,‎ ‎∴‎ 即AC与PB所成角的余弦值为 ‎(Ⅱ)在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则 连PF,则在RtΔADF中DF=‎ 设N为PF的中点,连NE,则NE//DF,‎ ‎∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面PAC从而NE⊥面PAC ‎∴N点到AB的距离=AP=1,N点到AP的距离=AF=‎ ‎21.(Ⅰ)解法一:依题意,可设直线AB的方程为y=k(x-1)+3,‎ 代入,整理得:‎ ‎①‎ 设A(),B(),则,是方程①的两个不同的根,‎ ‎∴,②‎ 且由N(1,3)是线段AB的中点,得=2,‎ ‎∴解得k=-1,代入②得,‎ 即的取值范围是(12,+∞)‎ 于是直线AB的方程为,即 解法二:设A(),B(),则有 依题意,‎ ‎∵N(1,3)是AB的中点,∴=2,=6,从而 又由N(1,3)在椭圆内,∴,‎ ‎∴的取值范围是(12,+∞)‎ 直线AB的方程为,即 ‎(Ⅱ)解法一:∵CD垂直平分AB,‎ ‎∴直线CD的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0代入椭圆方程,整理得 ‎③‎ 又设C(),D(),CD的中点为M(),‎ 则,是方程③的两根,‎ ‎∴+=-1,且,即M(,)‎ 于是由弦长公式可得④‎ 将直线AB的方程代入椭圆方程得 ‎⑤‎ 同理可得⑥‎ ‎∵当时,>,‎ ‎∴|AB|<|CD|‎ 假设存在,使得A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心 点M到直线AB的距离为 ‎⑦‎ 于是,由④⑥⑦式及勾股定理可得 故当时,A、B、C、D四点均在以M为圆心,||为半径的圆上 ‎(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:‎ A、B、C、D共圆ACD为直角三角形,A为直角 ‎,‎ 即⑧‎ 由⑥式知,⑧式左边=,‎ 由④⑦知,⑧式右边=‎ ‎∴⑧式成立,即A、B、C、D四点共圆)‎ 解法二:由(Ⅱ)解法一知,‎ ‎∵CD垂直平分AB,‎ ‎∴直线CD的方程为y-3=x-1,代入椭圆方程,整理得 ‎③‎ 将直线AB的方程代入椭圆方程整理得 ‎⑤‎ 解③和⑤式可得,,‎ 不妨设A(,),‎ C(,),D(,)‎ ‎∴,‎ ‎,‎ 计算可得,‎ ‎∴A在以CD为直径的圆上 又B为A关于CD的对称点,‎ ‎∴A、B、C、D四点共圆 ‎(注:也可用勾股定理证明AC⊥AD)‎ ‎22.(Ⅰ)证法一:∵当n≥2时,,‎ ‎∴,即,‎ 于是有,,…,,‎ 所有不等式两边相加可得 ‎ 由已知不等式知,当n≥3时有 ‎∵,∴‎ ‎∴‎ 证法二:设,首先利用数学归纳法证不等式 ‎(ⅰ)当n=3时,由,‎ 知不等式成立 ‎(ⅱ)假设当n=k(k≥3)时,不等式成立,即,则 即当n=k+1时,不等式也成立 由(ⅰ)(ⅱ)知,‎ 又由已知不等式得 ‎(Ⅱ)有极限,且 ‎(Ⅲ)∵,令,‎ 则有,‎ 故取N=1024,可使沁n>N时,都有
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