【数学】2018届一轮复习人教A版（理）导数在实际问题中的应用学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）导数在实际问题中的应用学案

‎2018年高考数学（理）一轮复习讲义：导数在实际问题中的应用 考点 考纲要求 题型 分值 考题规律 导数在实际问题中的应用 ‎1. 理解导数在实际问题中的应用；‎ ‎2. 会用导数求解实际问题中的最值（用料最省、面积最大、体积最大、利润最高、效率最大）。‎ 填空 解答 ‎5分 实际应用问题是高考的热点。常通过考查实际应用问题来考查学生应用数学的意识。‎ 考查方式：‎ ‎（1）以实际应用问题为载体考查导数在实际问题中的应用，主要考查利用导数研究函数的性质，考查较多的是利用导数求最值；‎ ‎（2）可以是填空题，也可以是解答题。一般为中档题。‎ ‎【考向预测】‎ 导数在实际问题中的应用是高考常考考点，预计未来几年高考中仍会考查导数在实际问题中的应用，贴合当前的经济发展形势出题，可以是填空题也可以是解答题。一般多为中档题。‎ ‎【解题关键】审题，建模，画图！‎ 一、应用导数解决实际问题 ‎1. 解决实际应用问题的程序 审题建模求解反馈 ‎2. 运用导数解决实际生活中问题的步骤 ‎（1）理解题意，将实际问题抽象成数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；‎ ‎（2）求函数的导数，解方程；‎ ‎（3）比较函数在区间端点和使的点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值；‎ ‎（4）检验所得结果是否符合问题的实际意义。‎ 二、哪些实际问题用到导数 日常生活中经常遇到用料最省，或最大面积、最大容积的问题，一般是将面积、体积看成是相关变量的函数，常利用导数法求函数的最值或何时取到最值。 ‎ 注意：将实际问题转化为数学问题时，要注意等价性，尤其要注意自变量的取值范围；利用导数法求实际问题中的最值时，解题过程要规范，说理要到位。‎ 例题1 某投资商计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x 万元时，在经销A、B商品中所获得的收益分别为万元与万元，其中（）；（），已知投资额为零时，收益为零。（1）求、的值；（2）如果该投资商准备投入5万元经营这两种商品，则对商品A投入多少万元，使他能获得最大收益，最大收益为多少（精确到，参考数据：）。‎ 思路分析：将投资额为零时，收益为零代入函数关系式，可求得、的值；列出收益关于投入A商品资金的函数关系式，利用导数求最值。‎ 答案：解：（1）根据问题的实际意义，可知：，，‎ 即，∴；‎ ‎（2）由（1）的结果可得：，，‎ 依题意，可设投入B商品的资金为万元，则投入A商品的资金为万元，所获得的收入为万元，则有 ‎，‎ ‎∵，令，得； ‎ 当时，；当时，；‎ ‎∴是在区间[0，5]上的唯一极大值点，此时取得最大值：‎ ‎（万元）。‎ 答：当A商品投入3万元时总收益最大，约为12.6万元。‎ 技巧点拨：写出收益关于投资额的函数，由于函数是比较复杂的可导函数，所以利用导数法求函数的最值。‎ 例题2 如图，四边形是一块边长为‎4km的正方形地域，该地域内有一条河流，其经过的路线是以中点为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）。某公司准备投资建一个矩形有机农场（如图所示）进行有机作物种植，问如何施工才能使农场面积最大？并求出最大面积。 ‎ 思路分析：可以建立坐标系求出抛物线的方程，设出点P的坐标，表示出矩形的面积，利用函数及导数的有关知识求解。‎ 答案：解：以为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，依题意可设抛物线方程。‎ ‎∵四边形ABCD是边长为4的正方形，M为AB中点，‎ ‎∴点D坐标为（4，2），由此得，∴‎ ‎∴抛物线方程为，‎ 设是曲线MD上任一点，则 ‎，，‎ 矩形农场面积 S＝，‎ ‎∴。‎ 令，得，‎ 解之得或，‎ ‎∵，∴‎ 当时，，函数为增函数；‎ 当时，，函数为减函数；‎ 所以当时，S有最大值。‎ 此时，，，‎ ‎∴。 ‎ 答：当时，农场面积最大为.‎ 技巧点拨：本题是最大面积问题，将矩形的面积表示为点的坐标的函数，进而转化为函数在给定区间上的最值问题，利用导数法解决。‎ ‎【易错警醒】‎ ‎1. 实际问题中自变量的取值范围要符合实际；‎ ‎2. 若是含参问题，需要对参数进行分类讨论。‎ 满分训练：‎ 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元。设该容器的建造费用为千元。‎ ‎（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时r的值。‎ 思路分析：认真审题，根据题意建立函数关系式，将建造费用最小问题转化为函数值最小问题，并利用导数来研究函数的最值。‎ 答案：‎ 解：（Ⅰ）设容器的容积为V， ‎ 由题意知V＝πr‎2l＋πr3，又V＝，‎ 故l＝＝－r＝。‎ 由于l≥2r，因此03，所以c－2>0，‎ 当＝0时，r＝。‎ 令＝m，则m>0，‎ 所以y′＝（r－m）（r2＋rm＋m2）。‎ ‎①当0时，‎ 当r＝m时，y′＝0；‎ 当r∈（0，m）时，y′<0；‎ 当r∈（m，2]时，y′>0。‎ 所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点。‎ ‎②当m≥2，即3时，建造费用最小时r＝。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 函数f（x）＝x3－ax2＋x在x＝1处的切线与直线y＝2x平行，则a＝（　　）‎ A. 0 B. ‎1 ‎ C. 2 D. 3‎ ‎*2. 把长‎100cm的铁丝分成两段，各围成一个正方形，当两正方形面积之和最小时，两段长分别为（　　）‎ A. 20，80 B. 40，‎60 ‎ C. 50，50 D. 30，70‎ ‎3. 在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为（　　）‎ A. 和R B. R和R C. R和R D. 以上都不对 ‎4. 内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为（　　）‎ A. R B. 2R C. R D. R ‎**5. 要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为‎20cm，要使其体积最大，则高为（　　）‎ A. cm B. cm C. cm D. cm ‎**6. 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝则总利润最大时，每年生产的产品量是（　　）‎ A. 100 B. ‎150 ‎ C. 200 D. 300‎ 二、填空题 ‎7. 用长为‎18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是________。‎ ‎**8. 将边长为‎1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________。‎ ‎*9. 曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1，x∈[1，2]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________。‎ 三、解答题 ‎10. 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为 ‎，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？‎ ‎11. （重庆市高考）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）。设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米。假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）。‎ ‎（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；‎ ‎（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大。‎ ‎12. 某网店从生产厂家以每件20元购进一批商品用于双十一搞促销，若该商品零售价定为元，则销售量（单位：件）与零售价（单位：元）有如下关系：。问该商品零售价定为多少时利润最大，并求出最大利润（利润销售收入进货支出）。‎ ‎13. 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且。‎ ‎（1）写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式；‎ ‎（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入年总成本）。‎ ‎1. B 解析：由条件知，（1）＝3×12－‎2a×1＋1＝2，‎ ‎∴a＝1。‎ ‎*2. C 解析：设一段长为x，则另一段长为100－x，‎ ‎∴S＝（）2＋（）2＝[x2＋（100－x）2]‎ ‎＝（2x2－200x＋10000）‎ 令＝0得（4x－200）＝0，∴x＝50。‎ ‎3. B 解析：设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l＝2x＋4（0＜x＜R），‎ ‎＝2－，令＝0，解得x＝R。‎ 当0＜x＜R时，＞0；当R＜x＜R时，＜0。‎ 所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R。‎ ‎4. C 解析：设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝（h－R）2＋r2∴r2＝2Rh－h2‎ ‎∴V＝πr2h＝h（2Rh－h2）＝πRh2－h3‎ ‎＝πRh－πh2，令＝0得h＝R。‎ ‎**5. D 解析：设圆锥的高为x，则底面半径为，‎ 其体积为V＝πx（400－x2）（0＜x＜20），‎ ‎＝π（400－3x2），令＝0，解得x＝。‎ 当0＜x＜时，＞0；当＜x＜20时，＜0‎ 所以当x＝时，V取最大值。‎ ‎**6. D 解析：由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝ ‎＝ 令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大。‎ ‎7. ‎3m3‎ 解析：设长方体的宽为x，则长为2x，高为－3x（00，又由h>0可得r<5，故函数V（r）的定义域为（0，5）。‎ ‎（2）因为V（r）＝（300r－4r3），故V′（r）＝（300－12r2）。令V′（r）＝0，解得r1＝5，r2＝－5（r2＝－5不在定义域内，舍去）。‎ 当r∈（0，5）时，V′（r）>0，故V（r）在（0，5）上为增函数；当r∈（5，5）时，V′（r）<0，故V（r）在（5，5）上为减函数。由此可知，V（r）在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大。‎ ‎12. 解：由题意知 ‎，‎ ‎。‎ 令，得或（舍）。‎ 此时。‎ 因为在附近的左侧，右侧，‎ 是极大值。‎ 根据实际意义知，是最大值，即零售价定为每件30元时，有最大利润为23000元。‎ ‎13. 解：（1）当时，；‎ 当时，。‎ 故 ‎（2）①当时，由，得，且当时，；当时，。故当时，取最大值，且。‎ ‎②当时，。‎ 当且仅当，即时，。‎ 综合①、②知，当时，取最大值。‎ 所以当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大。‎