专题3-1 导数以及运算-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（文）（解析版）

专题3-1 导数以及运算-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（文）（解析版）

www.ks5u.com ‎2017年高考备考之 ‎3年高考2年模拟1年原创 ‎【三年高考】‎ ‎1. 【2016高考四川文科】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )‎ ‎(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)‎ ‎【答案】A ‎2．2016高考新课标Ⅲ文数]已知为偶函数，当 时，，则曲线在 处的切线方程式_____________________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．‎ ‎3．【2016高考新课标2文数】已知函数.‎ ‎（I）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.‎ ‎4．【2016高考北京文数】（本小题13分）‎ 设函数 ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；‎ ‎（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ ‎【解析】（I）由，得．因为，，所以曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（II）当时，，所以．令，得，解得或．与在区间上的情况如下：‎ 所以，当且时，存在，，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．‎ ‎5．【2015高考天津，文11】已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】因为 ,所以.‎ ‎6. 【2015高考新课标1，文14】已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵，∴，即切线斜率，‎ 又∵，∴切点为（1，），∵切线过（2,7），∴，解得1.‎ ‎7.【2015高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎8.【2015高考广东，文21】设为实数，函数．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）讨论的单调性；‎ ‎（3）当时，讨论在区间内的零点个数．‎ ‎【解析】（1），因为，所以，‎ 当时，，显然成立；当，则有，所以.所以.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎（2）,对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减.综上所述，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.‎ ‎ (ii)当时，，当时， ，，而在上单调递增，当时，.下面比较与的大小,因为,所以 结合图象不难得当时，与有两个交点. 综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点.‎ ‎9.【2015高考重庆，文19】已知函数（）在x=处取得极值.‎ ‎(Ⅰ)确定的值，‎ ‎(Ⅱ)若，讨论的单调性.‎ ‎【解析】(1)对求导得,因为在处取得极值，所以 ‎，‎ 即,解得.(2)由(1)得，, 故,令，解得.当时，,故为减函数，当时，,故为增函数，当时，,故为减函数，当时，,故为增函数，‎ 综上知在 内为减函数，内为增函数.‎ ‎10. 【2014高考安徽卷文第15题】若直线与曲线满足下列两个条件：‎ ‎ 直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.‎ 下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)‎ ‎①直线在点处“切过”曲线：‎ ‎②直线在点处“切过”曲线：‎ ‎③直线在点处“切过”曲线：‎ ‎④直线在点处“切过”曲线：‎ ‎⑤直线在点处“切过”曲线：‎ ‎【答案】①③④‎ ‎11. 【2014高考湖南卷文第9题】若，则（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎12. 【2014高考重庆文第19题】已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于.‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）求函数的单调区间与极值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）对求导得，由在点 处切线垂直于直线知解得；‎ ‎【三年高考命题回顾】‎ 纵观前三年各地高考试题, 导数及运算是高考的热点，年年都出题，作为导数应用时求导中用到,一般不单独命题,导数的几何意义有时作为选择题,填空题单独命题，有时作为解答题的第一问，难度中档左右．‎ ‎【2017年高考复习建议与高考命题预测】‎ 由前三年的高考命题形式, 导数重点考查一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，与三角函数等的求导公式，导数运算重点是高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商的运算方法，试题的命制往往与导数的应用结合，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，它只作为解题的一部分，难度不大，只需会运用公式求导即可．因此在2017年高考备考中应狠下功夫,掌握求导公式,会灵活应用求导法则,理解导数的几何意义即可.‎ 在2016年高考考查了导数的运算，新课标1卷没有对导数的几何意义进行考查, 预测2017年可能会对导数的几何意义进行考查,对函数与其它函数积与商的导数运算是必考．‎ ‎【2017年高考考点定位】‎ 高考对导数的运算，导数的几何意义的考查，一般不单独出题，特别是导数的运算，往往和导数的几何意义，导数的应用结合起来，作为第一步求导来进一步研究导数其它应用.‎ 考点一、导数的基本运算 ‎【备考知识梳理】1．常见函数的导出公式．‎ ‎　（１）（C为常数）；（２）；（３）；（４）；（5）；（6）；（7）‎ 且；（8）．‎ ‎2．两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (‎ 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：‎ 若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ‎ 法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）．‎ ‎3.形如y=f的函数称为复合函数．复合函数求导步骤：分解——求导——回代．法则：y＇|= y＇| ·u＇|‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；‎ ‎(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；‎ ‎(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎（1）求的导数；（2）求的导数；‎ ‎（3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y＝的导数 ‎【解析】（1）,‎ ‎（2）先化简,，‎ 考点二、导数的几何意义 ‎【备考知识梳理】函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））　　处的切线的斜率．也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）．相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）．‎ ‎【规律方法技巧】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点和斜率的条件下，求得切线方程 特别地，当曲线在点处的切线平行于轴时（此时导数不存在），可由切线的定义知切线方程为；当切点未知时，可以先设出切点坐标，再求解.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016年河南郑州高三二模】曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C．和 D．‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】因，令，故或，所以或 ‎，经检验，点，均不在直线上，故选C．‎ ‎2. 【河南八市2016年4月高三质检卷】.已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1. 利用导数求切线问题中的“在”与“过”‎ 在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A（x,y）是曲线y=f(x)上的一点，则以A为切点的切线方程为y－y=f,再根据题意求出切点.‎ ‎2.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在点P处的切线，点P是切点．‎ ‎1. 【2016届海南省农垦中学高三考前押题】曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得在点处的斜率，则倾斜角为,故选A.‎ ‎2. 【2016届吉林大学附中高三第二次模拟】已知为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎3. 【2016年河南省商丘市高三第三模】 曲线与曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设公共切点横坐标为,,依题意有,两式相除得,故．‎ ‎4. 【2016届重庆一中高三5月模拟考试】设曲线在点(3,2)处的切线与直线有相同的方向向量,则a等于（ ）‎ A．- B． C. -2 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，，在点处的切线与直线有相同的方向向量，所以，，故选B.‎ ‎5. 【2016届重庆一中高三5月模拟考试】设函数有两个极值点，若点为坐标原点，点在圆上运动时，则函数图象的切线斜率的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎6. 【2016届海南省华侨中学高三考前模拟】已知函数在定义域上表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为．有以下命题：‎ ①是奇函数；②若在内递减，则的最大值为；③若的最大值为，最小值为，则；④若对，‎ 恒成立，则的最大值为．其中正确命题的个数为（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】B ‎【解析】由题意得函数过原点，则．又．则必有，解得，所以．令得．则函数在上的最小值是负数．由此得函数图象大致如图：得出结论是：①③正确；②④错误．故选B．‎ ‎7. 【2016江西师大附中高三上学期期末】已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ‎ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知，有点必在切线上，代入切线方程，可得，所以有．‎ ‎8. 【2016届重庆一中高三下高考适应性考试】一条斜率为的直线与曲线：和曲线：分别相切于不同两点，则这两点间的距离等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎9.【2016届辽宁省大连师大附中高三模拟】已知函数，且函数的导函数为，若曲线和曲线都过点A（0,2），且在点A处有相同的切线．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若时，求实数的取值范围.‎ ‎10. 【2016届贵州省贵阳六中高三5月高考模拟】已知函数.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求证函数在区间上存在唯一的极值点，并利用二分法求函数取得极值时相应的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据）.‎ ‎【解析】（1） ，则，∴曲线在点处的切线方程为，即：.‎ ‎（2）∵，∴，令，则在上单调递增，∴在上存在唯一零点，在上存在唯一的极值点.取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下 由上表可知区间的长度为0.3，所以该区间的中点，到区间端点的距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2一个极值点的相应的值，∴函数取得极值时，相应.‎ ‎11. 【河南省开封市2015届高三上学期定位考试】函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎12. 【湖北省重点中学2015届高三上学期第三次月考试题】已知函数的导数为，且满足关系式，则的值等于 （ ）‎ A. B.2 C. D. ‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】因为，所以，所以，解之得.故应选C.‎ ‎13.【河南许昌平顶山新乡三市2015届10月高三第一次调研】设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集是 ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎14.【2015届山东省青岛市高三下学期第二次模拟】已知函数（为实数）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，，，则，，函数的图象在点的切线方程为：，‎ 即 ；‎ ‎（Ⅱ），由，由于函数在区间 上不存在极值，所以或 ，由于存在满足，所以，对于函数，对称轴，①当或，即或时，，由，结合或可得：或，②当，即时，，由，结合可知：不存在； ‎ ‎③当，即时，；由，结合可知： ，综上可知： 或 ．‎ ‎15.【2015届北京市东城区5月综合练习】已知函数 ,，（，为常数）．‎ ‎（Ⅰ）若在处的切线过点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围．‎ ‎（Ⅲ）所以．因为存在极值，所以在上有根，即方程在上有根，则有．显然当时，无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根．记方程的两根为，则 ,‎ 解得，满足．又，即，故所求的取值范围是．‎ ‎【一年原创真预测】‎ ‎1. 已知函数，为的导函数，则的图象是（ ）‎ ‎【答案】A ‎【入选理由】本题主要考查诱导公式、基本初等函数的求导法则、函数的图象等知识，意在考查学生的识图能力、逻辑思维能力.此题难度不大，出题角度较新，故选此题．‎ ‎2．函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，直线的的斜率为，由题意知方程（）有解，因为，所以，故选D．‎ ‎【入选理由】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力．本题导数的几何意义巧妙地与基本不等式结合起来，出题方式新颖，试题难度不大，同时对导数运算的深层次考查，体现灵活运用导数知识解决问题能力；故选此题.‎ ‎3.已知函数，若方程有且仅有一解，则实数的取值范围为 ‎【答案】‎ ‎【入选理由】本题考查函数图象，函数单调性，利用导数求切线等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题比较综合，出题方式新颖，试题难度不大，故选此题.‎ ‎4.已知函数，若在点的切线为，则 .‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】切点代入切线得，，故，求得b=1，求导得，切线斜率,.‎ ‎【入选理由】本题考查导数与函数、切线方程，结合转化思想和和函数思想求切线方程问题,意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题比较常规，是高考经常考的题型,故选此题.‎ ‎5.已知函数，则曲线在点处的切线方程为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易得，则，又因为，所以切线方程为，即．‎ ‎【入选理由】本题考查导数的几何意义等基础知识，意在考查基本运算能力.本题比较常规，是高考经常考的题型,故选此题.‎ ‎6.已知函数，，若在处的切线平行于直线，且.‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式；‎ ‎(Ⅱ)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【入选理由】本题考查利用导数研究曲线上在某点处的切线方程,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究函数的最大值、最小值问题等基础知识，意在考查综合分析问题、解决问题的能力和基本运算能力．本题比较综合，特别是第二问恒成立问题是高考常考题型，故选此题.‎ ‎7. 已知函数 ‎(Ⅰ) 若函数在处的切线过点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：；‎ ‎（Ⅲ）若恰有三个不同的零点，求的取值范围．‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为，所以，又，所以 ‎ ‎（Ⅱ）因为，所以令，则．因为，所以，从而，即. ‎ ‎【入选理由】本题考查导数几何意义、利用导数证明不等式、利用导数研究函数零点等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．本题比较综合，特别是第二问证明不等式问题是高考常考题型，故选此题.‎ ‎8.已知函数，【来.源：全,品…中&高*考*网】（1）若，则，满足什么条件时，曲线与在处总有相同的切线？‎ ‎（2）当时，求函数的单调减区间；‎ ‎（3）当时，若对任意的恒成立，求的取值的集合.‎ ‎【解析】（1），，又，在处的切线方程为，又，，又，在处的切线方程为， 所以当且时，曲线与在处总有相同的切线. ‎ ‎（2）由，，，，由，得，，‎ 当时，函数的减区间为，；当时，函数的减区间为；当时，函数的减区间为，. ‎ ‎【入选理由】本小题主要考查利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立等基础知识，考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．本题比较综合，本题比较综合，出题方式新颖，故选此题.‎