陕西省西安市新城区西安中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

陕西省西安市新城区西安中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

西安中学2019-2020学年度第一学期期中考试 高二数学（文科）试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知命题：“正数的平方不等于‎0”‎，命题：“若不是正数，则它的平方等于‎0”‎，则是的（ ）‎ A. 逆命题 B. 否命题 C. 逆否命题 D. 否定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出命题与命题的条件与结论，再根据四种命题的定义判断即可．‎ ‎【详解】解： ‎ 命题“正数的平方不等于‎0”‎的条件为，结论为；命题“若不是正数，则它的平方等于‎0”‎的条件为，结论为.‎ 故命题是命题的否命题．‎ ‎【点睛】本题考查四种命题的定义；基本知识的考查．‎ ‎2.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A. x1，x2，…，xn的平均数 B. x1，x2，…，xn的标准差 C. x1，x2，…，xn的最大值 D. x1，x2，…，xn的中位数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.‎ 点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；‎ 中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；‎ 平均数：反映一组数据的平均水平；‎ 方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．‎ 标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．‎ ‎3.若命题，则命题的否定为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．‎ ‎【详解】解：命题为全称命题，则命题的否定为：，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．‎ ‎4.椭圆的离心率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的方程求得，得到，再利用离心率的定义，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，根据椭圆的方程可知，则，‎ 所以椭圆的离心率为，选D．‎ ‎【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．‎ ‎5.连续掷两次骰子，先后得到的点数为点的坐标，那么点在圆内部的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 所有的点共有个，用列举法求得其中满足的点有8个，由此求得点P在圆内部的概率.‎ ‎【详解】所有的点共有个，‎ 点P在圆内部，即点满足，‎ 故满足此条件的点有：共8个，‎ 故点P在圆内部的概率是，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关古典概型概率的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，在解题的过程中，正确找出基本事件的个数以及满足条件的基本事件数是关键.‎ ‎6.执行下面的程序框图，当输出结果为时，输入的值为（ ）‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意执行程序框图，依次写出每次循环得到的，，，的值，根据输出结果为得到循环截止时的值，即可求出．‎ ‎【详解】解：模拟执行程序框图，可得 ‎，，，‎ 第一次循环：，，，‎ 第二次循环：，，，‎ 第三次循环：，，，‎ 第四次循环：，，，‎ 因为输出的值为，故，‎ 故 故选 ‎【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，关键是一步一步的循环计算清楚，属于基础题．‎ ‎7.设，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. ‎ 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.‎ ‎8.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为 A. 5，5 B. 3，‎5 ‎C. 3，7 D. 5，7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．‎ ‎【详解】由茎叶图得：‎ ‎∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，‎ ‎∴65＝60+y，解得y＝5，‎ ‎∵平均值也相等，‎ ‎∴，‎ 解得x＝3．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎9.抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线方程化成标准式，直接求解即可．‎ ‎【详解】解：抛物线的标准方程为：，可得，抛物线的准线方程是：．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎10.已知条件p：k=；条件q：直线y= kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】当时，圆心到直线距离为，所以直线与圆相切；‎ 当直线与圆相切时，由得，‎ 所以则p是q的充分不必要条件,‎ 故选A.‎ ‎11.已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，为的准线上一点，则的面积为（　　）‎ A. 18 B. ‎24 ‎C. 36 D. 48‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），‎ 则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=-∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，‎ 又∵AB⊥x轴 ‎∴|AB|=2p=12‎ ‎∴p=6‎ 又∵点P在准线上 ‎∴DP=（+|-|）=p=6‎ ‎∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36‎ 故选C．‎ ‎12.已知椭圆上存在一点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件，通过椭圆的定义，列出不等式求解椭圆的离心率即可．‎ ‎【详解】解：椭圆上存在一点，使得，其中，分别是椭圆的左、右焦点，‎ ‎，‎ 可得：，‎ 解得．‎ 所以椭圆的离心率为：．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.总体是由编号为01,02,…19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．‎ ‎7816   6572   0802   6314   0214   4319   9714   0198‎ ‎3204   9234   4936   8200   3623   4869   6938   7181‎ ‎【答案】01‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．‎ ‎【详解】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，19， 01，04．（去掉重复）．‎ 可知对应的数值为08，02，14，19，01，‎ 则第5个个体的编号为01．‎ 故答案为01．‎ ‎【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎14.椭圆的焦点坐标为_____________．‎ ‎【答案】和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把椭圆方程化为标准方程，得到，的值，由隐含条件求出，则答案可求．‎ ‎【详解】解：由，化标准方程得：，‎ 椭圆是焦点在轴上的椭圆，且，‎ ‎，则．‎ 焦点坐标为和．‎ 故答案为和．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的标准方程，是基础题．‎ ‎15.已知一组数据的方差是9，则的方差为______．‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用方差的性质，若的方差为，则的方差为，直接求解．‎ ‎【详解】解：‎ 一组数据的方差是9‎ 的方差为：‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查方差的性质应用．若的方差为，则的方差为，属于基础题．‎ ‎16.已知点到轴的距离比它到点的距离小，则点满足的方程是_______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出的坐标，由题意列式，对分类化简得答案；‎ ‎【详解】设，则．‎ 若，则，两边平方并整理得；‎ 若，则，两边平方并整理得．‎ 点轨迹方程为或；‎ 故答案为或 ‎【点睛】本题考查轨迹方程的求法，需注意分类讨论，属于一般题．‎ 三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：．‎ 若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ 若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若为真命题，则应有，解得实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，则，应一真一假，进而实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）若为真命题，则应有，解得； ‎ ‎（2）若为真命题，则有，即，‎ 因为为真命题，为假命题， ‎ 则，应一真一假.‎ ‎①当真假时，有，得；‎ ‎②当假真时，有，无解，综上，的取值范围是.‎ ‎18.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.‎ ‎（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 ‎.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.‎ 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ 继续教育 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 大病医疗 ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ 住房贷款利息 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 住房租金 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ 赡养老人 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.‎ ‎【答案】（I）6人，9人，10人；‎ ‎（II）（i）见解析；（ii）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；‎ ‎（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；‎ ‎（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.‎ ‎【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，‎ 由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，‎ 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.‎ ‎（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 ‎,,,,共15种；‎ ‎（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，‎ 所以，事件M发生的概率.‎ ‎【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.‎ ‎19.（Ⅰ）求以的圆心为焦点的抛物线方程；‎ ‎（Ⅱ）若为（Ⅰ）中所求抛物线上任意一点，求点到直线的距离的最小值，并写出此时点P的坐标．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），最小值 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（Ⅰ）将圆的方程配成标准式，即可得出圆心坐标，利用抛物线的标准方程即可求解．‎ ‎（Ⅱ）利用点到线的距离公式求最值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）‎ 故圆心坐标为，同时抛物线焦点为，故抛物线方程为；‎ ‎（Ⅱ）且在抛物线上，．从而点到直线的距离为 ‎，当 即时，取得最小值．‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程，求抛物线的标准方程及抛物线上的点到定直线的距离最值问题，属于一般题．‎ ‎20.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图（如图所示）．‎ ‎（Ⅰ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数．‎ ‎（Ⅱ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎【答案】（Ⅰ）20人（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先计算样本中分数不小于50的频率，进而计算分数在区间，内的频数，可估计总体中分数在区间，内的人数；‎ ‎（Ⅱ）由题意计算出样本中分数不小于70的学生人数，从而可以得到样本中男女生的人数，根据分层抽样原理，得出总体中男女人数之比．‎ ‎【详解】（Ⅰ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为．‎ 所以总体中分数在区间内的人数估计为．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，‎ 所以样本中分数不小于70的男生人数为．‎ 所以样本中的男生人数为，女生人数为 ‎，男生和女生人数的比例为．‎ 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图中相关量的计算问题，属于基础题．‎ ‎21.设有关于的一元二次方程．‎ ‎（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）本题是一个古典概型，可知基本事件共12个，方程当时有实根的充要条件为，满足条件的事件中包含9个基本事件，由古典概型公式得到事件发生的概率． ‎ ‎（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为，．构成事件的区域为，，．根据几何概型公式得到结果．‎ ‎【详解】解：设事件为“方程有实数根”．当时，方程有实数根的充要条件为．‎ ‎（Ⅰ）基本事件共12个：‎ ‎．‎ 其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．‎ ‎（Ⅱ）实验的全部结果所构成的区域为．构成事件的区域为，所求的概率为 ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，属于基础题．‎ ‎22.（Ⅰ）计算：‎ ‎①若是椭圆长轴的两个端点，，则______；‎ ‎②若是椭圆长轴的两个端点，，则______；‎ ‎③若是椭圆长轴的两个端点，，则______．‎ ‎（Ⅱ）观察①②③，由此可得到：若是椭圆长轴的两个端点，为椭圆上任意一点，则？并证明你的结论．‎ ‎【答案】（Ⅰ）①、②、③均为．（Ⅱ）,证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意分别计算出、从而得出的值．‎ ‎（Ⅱ）首先不妨设，，再由直线的斜率公式得到的表达式；根据椭圆的标准方程得到关于的表达式，进而得出最终答案．‎ ‎【详解】（Ⅰ）①由题意是椭圆长轴的两个端点 则取 ‎，‎ ‎②同①取 ‎，‎ ‎③同①取 ‎，‎ ‎①、②、③均为．‎ ‎（Ⅱ）若是椭圆长轴的两个端点，为椭圆上任意一点，则．证明如下：设点的坐标为则由题意：，则．又为椭圆上任意一点，满足，得，代入，得证．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的相关性质，由特殊得到一般性的结论，属于一般题．‎