数学理·黑龙江省哈尔滨六中2017届高三上学期8月月考数学试卷(理科)+Word版含解析

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数学理·黑龙江省哈尔滨六中2017届高三上学期8月月考数学试卷(理科)+Word版含解析

2016-2017 学年黑龙江省哈尔滨六中高三(上)8 月月考数学试 卷(理科)   一.选择题 1.已知集合 M={x| + =1},N={y| + =1},M∩N=(  ) A.∅ B.{(3,0),(2,0)} C.{t|﹣3≤t≤3} D.{3,2} 2.若复数 z 满足(1+i)z=2﹣i,则在复平面内,z 的共轭复数的实部与虚部的积为(  ) A. B. C. D. 3.下列叙述中,正确的个数是(  ) ①命题 p:“∃x∈[2,+∞),x2﹣2≥0”的否定形式为¬p:“∀x∈(﹣∞,2),x2﹣2<0”; ②O 是△ABC 所在平面上一点,若 • = • = • ,则 O 是△ABC 的垂心; ③在△ABC 中,A<B 是 cos2A>cos2B 的充要条件; ④函数 y=sin(2x+ )sin( 2x)的最小正周期是 π. A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A≠0)满足 f(x+a)=f(a﹣x),则 f(a+ )=(  ) A.A B.﹣A C.0 D.不确定 5.已知函数 f(x)=cos(ωx+θ)(ω>0,0<θ<π)的最小正周期为 π,且 f(﹣x)+f(x) =0,若 tanα=2,则 f(α)等于(  ) A. B. C. D. 6.若向量 , 的夹角为 ,且 |=2,| |=1,则向量 与向量 +2 的夹角为(  ) A. B. C. D. 7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a5=8,S3=6,则 a9=(  ) A.8 B.12 C.16 D.24 8.已知 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,设 a=f (log47),b=f(log 3),c=f(21.6),则 a,b,c 的大小关系是(  ) A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 9.在△ABC 中, • =7,| ﹣ |=6,则△ABC 面积的最大值为(  ) A.24 B.16 C.12 D.8 10.定义在(0, )上的函数 f(x),其导函数是 f′(x),且恒有 f(x)<f′(x)•tanx 成 立,则(  ) A.f( )> f( ) B.f( ) f( )C. f( )>f( ) D. f( )<f( ) 11.函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对定义域内的任意 x,均有 f(f(x) ﹣lnx﹣x3)=2,则 f(e)=(  ) A.e3+1 B.e3+2 C.e3+e+1 D.e3+e+2 12.已知 lna﹣ln3=lnc,bd=﹣3,则(a﹣b)2+(d﹣c)2 的最小值为(  ) A. B. C. D.   二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案写在答题卡上相应的位置 13.己知数列{an}的前 n 项和满足 Sn=2n+1﹣1,则 an=  . 14.如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M,点 P 是 MD 的中点.若| |=2, | |=1,且∠BAD=60°,则 • =  . 15.在△ABC 中,E 为 AC 上一点,且 =4 ,P 为 BE 上一点,且满足 =m +n (m >0,n>0),则 取最小值时,向量 =(m,n)的模为  . 16.在△ABC 中,2sin2 = sinA,sin(B﹣C)=2cosBsinC,则 =  .   三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 17.已知函数 f(x)=|2x﹣a|+a. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)设函数 g(x)=|2x﹣1|,当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求 a 的取值范围. 18.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),在以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2 sinθ. (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 的直角坐标为(1,0),圆 C 与直线 l 交于 A、B 两点,求|PA|+|PB|的值. 19.在△ABC 中,2cos2 cosB﹣sin(A﹣B)sinB+cos(A+C)=﹣ . (1)求 cosA 的值; (2)若 a=4 ,b=5,求 在 方向上的投影. 20.已知函数 . (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度,再将得到的图象横坐标变为原来的 2 倍 (纵坐标不变),得到 y=g(x)的图象;若函数 y=g(x)在区间 上的图象与 直线 y=a 有三个交点,求实数 a 的取值范围. 21.已知函数 f(x)=alnx+ +1. (Ⅰ)当 a=﹣ 时,求 f(x)在区间[ ,e]上的最值; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)当﹣1<a<0 时,有 f(x)>1+ ln(﹣a)恒成立,求 a 的取值范围. 22.已知函数 f(x)=lnx﹣ ,曲线 y=f(x)在点( ,f( ))处的切线平行于直 线 y=10x+1. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设直线 l 为函数 y=lnx 图象上任意一点 A(x0,y0)处的切线,在区间(1,+∞)上是 否存在 x0,使得直线 l 与曲线 y=ex 也相切?若存在,满足条件的 x0 有几个?   2016-2017 学年黑龙江省哈尔滨六中高三(上)8 月月考 数学试卷(理科) 参考答案与试题解析   一.选择题 1.已知集合 M={x| + =1},N={y| + =1},M∩N=(  ) A.∅ B.{(3,0),(2,0)} C.{t|﹣3≤t≤3} D.{3,2} 【考点】交集及其运算. 【分析】根据描述法表示集合,判断集合 M 与集合 N 的元素,再进行交集运算即可. 【解答】解:对集合 M,∵x2=9﹣ ≤9,∴M=[﹣3,3], 对集合 N,y=2﹣ ∈R,∴N=R. ∴M∩N=[﹣3,3]. 故选 C   2.若复数 z 满足(1+i)z=2﹣i,则在复平面内,z 的共轭复数的实部与虚部的积为(  ) A. B. C. D. 【考点】复数的基本概念. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与实部与虚部的定义即可得出. 【解答】解:(1+i)z=2﹣i,∴(1﹣i)(1+i)z=(2﹣i)(1﹣i),∴2z=1﹣3i,∴z= ﹣ i, = + i, 则在复平面内,z 的共轭复数的实部与虚部的积= = . 故选:A.   3.下列叙述中,正确的个数是(  ) ①命题 p:“∃x∈[2,+∞),x2﹣2≥0”的否定形式为¬p:“∀x∈(﹣∞,2),x2﹣2<0”; ②O 是△ABC 所在平面上一点,若 • = • = • ,则 O 是△ABC 的垂心; ③在△ABC 中,A<B 是 cos2A>cos2B 的充要条件; ④函数 y=sin(2x+ )sin( 2x)的最小正周期是 π. A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】求出命题p 的否定形式可判断①,由已知条件得到 OB⊥AC,同理可得 O 是△ABC 三条高线的交点可判断②,由二倍角公式和正弦定理可判断③,直接求出函数 y=sin(2x+ )sin( 2x)的最小正周期可判断④. 【解答】解:对于①,命题 p:“∃x∈[2,+∞),x2﹣2≥0”的否定形式为¬p:“∀x∈[2,+∞), x2﹣2<0”,故①错误; 对于②,由 • = • ,得到 ,又 ,得 ,可得 OB⊥AC,因此,点 O 在 AC 边上的高 BE 上,同理可得:O 点在 BC 边上的高 AF 和 AB 边上的高 CD 上,即点 O 是△ABC 三条高线的交点,因此,点 O 是△ABC 的垂心,故② 正确; 对于③,在△ABC 中,cos2A>cos2B⇔1﹣2sin2A>1﹣2sin2B⇔sin2A<sin2B⇔sinA<sinB⇔ a<b⇔A<B, ∴“A<B”是“cos2A>cos2B”的充要条件,故③正确; 对于④,y=sin(2x+ )sin( 2x)= ,∴T= = ,故④错 误. ∴正确的个数是:2. 故选:B.   4.已知函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A≠0)满足 f(x+a)=f(a﹣x),则 f(a+ )=(  ) A.A B.﹣A C.0 D.不确定 【考点】正弦函数的图象. 【分析】由题意求出函数的对称轴,函数的周期,利用正弦函数的基本性质即可求出f(a+ ) 的值. 【解答】解:函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A≠0)满足 f(x+a)=f(a﹣x), ∴函数关于 x=a 对称,x=a 时函数取得最值, ∴2a+φ=kπ+ ,k∈Z, ∴f(a+ )=Asin(2a+ +φ)=Acos(2a+φ)=Acos(kπ+ )=0. 故选:C.   5.已知函数 f(x)=cos(ωx+θ)(ω>0,0<θ<π)的最小正周期为 π,且 f(﹣x)+f(x) =0,若 tanα=2,则 f(α)等于(  ) A. B. C. D. 【考点】三角函数的周期性及其求法;余弦函数的奇偶性. 【分析】依题意,可求得 θ= ,f(x)=cos(2x+ )=﹣sin2x.tanα=2⇒f(α)=﹣sin2α= ,从而可得答案. 【解答】解:由 =π 得:ω=2, 又 f(﹣x)+f(x)=0, ∴f(x)=cos(2x+θ)为奇函数, ∴θ=kπ+ ,而 0<θ<π, ∴θ= , ∴f(x)=cos(2x+ )=﹣sin2x, ∵tanα=2, ∴f(α)=﹣sin2α= = = , 故选:B.   6.若向量 , 的夹角为 ,且 |=2,| |=1,则向量 与向量 +2 的夹角为(  ) A. B. C. D. 【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【分析】先计算 ,| |,再利用夹角公式 cosα= ,可得结 论. 【解答】解:设向量 与向量 的夹角等于 α ∵向量 , 的夹角为 ,且 , , ∴ = =4+2×2×1×cos =6,| |= = = ∴cosα= = = ∵α∈[0,π] ∴α= 故选 D.   7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a5=8,S3=6,则 a9=(  ) A.8 B.12 C.16 D.24 【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 【分析】由给出的等差数列的第5 项和前 3 项和代入通项公式及前 n 项和公式求等差数列的 首项和公差,然后直接运用通项公式求 a9. 【解答】解:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 则 ,解得:a1=0,d=2, 所以 a9=a1+8d=0+8×2=16. 故选 C.   8.已知 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,设 a=f (log47),b=f(log 3),c=f(21.6),则 a,b,c 的大小关系是(  ) A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】利用对数和指数幂的运算性质,结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关 键. 【解答】解:∵f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数, ∴b=f(log 3)=b=f(﹣log23)=f(log23), ∵log23=log49>log47,21.6>2, ∴log47<log49<21.6, ∵在(﹣∞,0]上是增函数, ∴在[0,+∞)上为减函数, 则 f(log47)>f(log49)>f(21.6), 即 c<b<a, 故选:B   9.在△ABC 中, • =7,| ﹣ |=6,则△ABC 面积的最大值为(  ) A.24 B.16 C.12 D.8 【考点】平面向量的综合题. 【分析】设 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,由 • =7,| ﹣ |=6,得 bccosA=7, a=6①,由余弦定理可得 b2+c2﹣2bccosA=36②,联立①②可得 b2+c2=50,由不等式可得 bc ≤25,即可求出△ABC 面积的最大值. 【解答】解:设 A、B、C 所对边分别为 a,b,c, 由 • =7,| ﹣ |=6,得 bccosA=7,a=6①, S△ABC= bcsinA= bc = bc = , 由余弦定理可得 b2+c2﹣2bccosA=36②, 由①②消掉 cosA 得 b2+c2=50,所以 b2+c2≥2bc, 所以 bc≤25,当且仅当 b=c=5 时取等号, 所以 S△ABC= ≤12, 故△ABC 的面积的最大值为 12, 故选:C.   10.定义在(0, )上的函数 f(x),其导函数是 f′(x),且恒有 f(x)<f′(x)•tanx 成 立,则(  ) A.f( )> f( ) B.f( ) f( )C. f( )>f( ) D. f( )<f( ) 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】把给出的等式变形得到 f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0,由此联想构造辅助函数 g(x) = ,由其导函数的符号得到其在(0, )上为增函数,则 g( )<g( ),整理 后即可得到答案. 【解答】解:因为 x∈(0, ),所以 sinx>0,cosx>0. 由 f(x)<f′(x)tanx,得 f(x)cosx<f′(x)sinx. 即 f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0. 令 g(x)= ,x∈(0, ),则 g′(x)= >0. 所以函数 g(x)= 在 x∈(0, )上为增函数, 则 g( )<g( ),即 < ,所以 < , 即 f( )<f( ). 故选 D.   11.函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对定义域内的任意 x,均有 f(f(x) ﹣lnx﹣x3)=2,则 f(e)=(  ) A.e3+1 B.e3+2 C.e3+e+1 D.e3+e+2 【考点】函数单调性的性质. 【分析】由题意得 f(x)﹣lnx﹣x3 是定值,令 f(x)﹣lnx﹣x3=t,得到 lnt+t3+t=2,求出 t 的值,从而求出 f(x)的表达式,求出 f(e)即可. 【解答】解:∵函数 f(x)对定义域内的任意 x,均有 f(f(x)﹣lnx﹣x3)=2, 则 f(x)﹣lnx﹣x3 是定值, 不妨令 f(x)﹣lnx﹣x3=t, 则 f(t)=lnt+t3+t=2,解得:t=1, ∴f(x)=lnx+x3+1, ∴f(e)=lne+e3+1=e3+2, 故选:B   12.已知 lna﹣ln3=lnc,bd=﹣3,则(a﹣b)2+(d﹣c)2 的最小值为(  ) A. B. C. D. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】lna﹣ln3=lnc,化为 ln =lnc,即 a=3c.bd=﹣3,令 y=3x,y= ,则(a﹣b)2+ (d﹣c)2 表示直线 y=f(x)=3x 上的点与曲线 y=g(x)= 上的点的最小距离的平方.利 用导数的几何意义求出切点,再利用点到直线的距离公式即可得出. 【解答】解:lna﹣ln3=lnc,化为 ln =lnc,即 a=3c.bd=﹣3, 令 y=3x,y= ,则(a﹣b)2+(d﹣c)2 表示直线 y=f(x)=3x 上的点与曲线 y=g(x)= 上的点的最小距离的平方. 设直线 y=f(x)=3x+m 与曲线 y=g(x)= 相切于点 P(x0,y0).不妨取(x0>0) g′(x)= ,∴ =3,解得 x0=1. 可得切点 P(1,﹣3),∴﹣3=3+m,解得 m=﹣6. ∴切点到直线 y=3x 的距离 d= = . ∴(a﹣b)2+(d﹣c)2 的最小值= = . 故选:B.   二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案写在答题卡上相应的位置 13.己知数列{an}的前 n 项和满足 Sn=2n+1﹣1,则 an=   . 【考点】等比数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 【分析】当 n=1 时,可求 a1=S1=3,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,验证 n=1 时是否符合,符合 则合并,否则分开写. 【解答】解:∵Sn=2n+1﹣1, 当 n=1 时,a1=S1=3, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2n+1﹣1)﹣(2n﹣1)=2n, 显然,n=1 时 a1=3≠2,不符合 n≥2 的关系式. ∴an= . 故答案为: .   14.如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M,点 P 是 MD 的中点.若| |=2, | |=1,且∠BAD=60°,则 • =   . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】通过图形,分别表示 ,然后进行向量数量积的运算即可. 【解答】解:由题意不难求得 , 则 = = = 故答案为: .   15.在△ABC 中,E 为 AC 上一点,且 =4 ,P 为 BE 上一点,且满足 =m +n (m >0,n>0),则 取最小值时,向量 =(m,n)的模为   . 【考点】基本不等式在最值问题中的应用;平面向量的基本定理及其意义. 【分析】根据平面向量基本定理求出 m,n 关系,进而确定 + 取最小值时 m,n 的值,代 入求 的模 【解答】解:∵ =4 , ∴ =m +n =m +4n 又∵P 为 BE 上一点, ∴不妨设 =λ (0<λ<1) ∴ = + = +λ = +λ( ﹣ ) =(1﹣λ) +λ ∴m +4n =(1﹣λ) +λ ∵ , 不共线 ∴m+4n=1﹣λ+λ=1 ∴ + =( + )×1=( + )×(m+4n)=5+4 + ≥5+2 =9(m>0,n>0) 当且仅当 = 即 m=2n 时等号成立 又∵m+4n=1 ∴m= ,n= ∴| |= = 故答案为   16.在△ABC 中,2sin2 = sinA,sin(B﹣C)=2cosBsinC,则 =   . 【考点】余弦定理的应用;正弦定理的应用. 【分析】利用 2sin2 = sinA,求出 A,由余弦定理,得 a2=b2+c2+bc ①,将 sin(B﹣C) =2cosBsinC 展开得 sinBcosC=3cosBsinC,所以将其角化边,即可得出结论. 【解答】解:∵2sin2 = sinA, ∴1﹣cosA= sinA, ∴sin(A+ )= , 又 0<A<π,所以 A= . 由余弦定理,得 a2=b2+c2+bc ①, 将 sin(B﹣C)=2cosBsinC 展开得 sinBcosC=3cosBsinC, 所以将其角化边,得 b• =3• •c,即 2b2﹣2c2=a2 ②, 将①代入②,得 b2﹣3c2﹣bc=0,左右两边同除以 c2,得 ﹣ ﹣3=0,③ 解③得 = , 所以 = . 故答案为: .   三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 17.已知函数 f(x)=|2x﹣a|+a. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)设函数 g(x)=|2x﹣1|,当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】(1)当 a=2 时,由已知得|2x﹣2|+2≤6,由此能求出不等式 f(x)≤6 的解集. (2)由 f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,得|x﹣ |+|x﹣ |≥ ,由此能求出 a 的取值范围. 【解答】解:(1)当 a=2 时,f(x)=|2x﹣2|+2, ∵f(x)≤6,∴|2x﹣2|+2≤6, |2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2, ∴﹣2≤x﹣1≤2, 解得﹣1≤x≤3, ∴不等式 f(x)≤6 的解集为{x|﹣1≤x≤3}. (2)∵g(x)=|2x﹣1|, ∴f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3, 2|x﹣ |+2|x﹣ |+a≥3, |x﹣ |+|x﹣ |≥ , 当 a≥3 时,成立, 当 a<3 时, |a﹣1|≥ >0, ∴(a﹣1)2≥(3﹣a)2, 解得 2≤a<3, ∴a 的取值范围是[2,+∞).   18.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),在以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2 sinθ. (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 的直角坐标为(1,0),圆 C 与直线 l 交于 A、B 两点,求|PA|+|PB|的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】(Ⅰ)把直线 l 的参数方程消去参数 t 可得,它的直角坐标方程;把圆 C 的极坐标 方程依据互化公式转化为直角坐标方程. (Ⅱ)把直线 l 方程与圆 C 的方程联立方程组,求得 A、B 两点的坐标,可得|PA|+|PB|的 值. 【解答】解:(Ⅰ)∵直线 l 的参数方程为 (t 为参数),消去参数 t 可得 3x+ y﹣3=0. 圆 C 的方程为 ρ=2 sinθ,即 ρ2=2 ρsinθ,即 x2+y2=2 y,即 x2+ =3. (Ⅱ)由 求得 ,或 , 故可得 A( , ﹣ )、B(﹣ , + ). ∵点 P(1,0),∴|PA|+|PB|= + =(2﹣ )+(2+ )=4.   19.在△ABC 中,2cos2 cosB﹣sin(A﹣B)sinB+cos(A+C)=﹣ . (1)求 cosA 的值; (2)若 a=4 ,b=5,求 在 方向上的投影. 【考点】两角和与差的余弦函数;向量数乘的运算及其几何意义;二倍角的正弦;二倍角的 余弦;余弦定理. 【分析】(Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出 A 的余弦值, 然后求 sinA 的值; (Ⅱ)利用 ,b=5,结合正弦定理,求出 B 的正弦函数,求出 B 的值,利用余弦定 理求出 c 的大小. 【解答】解:(Ⅰ)由 可得 , 可得 , 即 , 即 , (Ⅱ)由正弦定理, ,所以 = , 由题意可知 a>b,即 A>B,所以 B= , 由余弦定理可知 . 解得 c=1,c=﹣7(舍去). 向量 在 方向上的投影: =ccosB= .   20.已知函数 . (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度,再将得到的图象横坐标变为原来的 2 倍 (纵坐标不变),得到 y=g(x)的图象;若函数 y=g(x)在区间 上的图象与 直线 y=a 有三个交点,求实数 a 的取值范围. 【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】(1)利用三角函数的诱导公式以及倍角公式,辅助角公式进行化简,结合三角函数 的单调性进行求解即可. (2)根据三角函数的图象变换关系求出函数 g(x)的表达式,结合三角函数的性质进行求 解即可. 【解答】解:(1) , = cos2x+ sin2x+(sinx﹣cosx)(sinx+cosx), = cos2x+ sin2x+sin2x﹣cos2x, = cos2x+ sin2x﹣cos2x =sin(2x﹣ ) 所以 时函数单调递增; (2)g(x)=sin[2( x+ )﹣ ]=sin(x﹣ )=cosx. 根据图象知: .   21.已知函数 f(x)=alnx+ +1. (Ⅰ)当 a=﹣ 时,求 f(x)在区间[ ,e]上的最值; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)当﹣1<a<0 时,有 f(x)>1+ ln(﹣a)恒成立,求 a 的取值范围. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】(Ⅰ)求导 f(x)的定义域,求导函数,利用函数的最值在极值处与端点处取得, 即可求得 f(x)在区间[ ,e]上的最值; (Ⅱ)求导函数,分类讨论,利用导数的正负,可确定函数的单调性; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当﹣1<a<0 时,f(x)min=f( ),即原不等式等价于 f( )> 1+ ln(﹣a),由此可求 a 的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)当 a=﹣ 时, ,∴ . ∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴由 f′(x)=0 得 x=1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴f(x)在区间[ ,e]上的最值只可能在 f(1),f( ),f(e)取到, 而 f(1)= ,f( )= ,f(e)= , ∴f(x)max=f(e)= ,f(x)min=f(1) = .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (Ⅱ) ,x∈(0,+∞). ①当 a+1≤0,即 a≤﹣1 时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减; ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ②当 a≥0 时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增; ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ③当﹣1<a<0 时,由 f′(x)>0 得 ,∴ 或 (舍去) ∴f(x)在( ,+∞)单调递增,在(0, )上单调递减; ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 综上,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当﹣1<a<0 时,f(x)在( ,+∞)单调递增,在(0, )上单调递减;当 a≤ ﹣1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当﹣1<a<0 时,f(x)min=f( ) 即原不等式等价于 f( )>1+ ln(﹣a) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 即 aln + ﹣ +1>1+ ln(﹣a) 整理得 ln(a+1)>﹣1 ∴a> ﹣1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又∵﹣1<a<0,∴a 的取值范围为( ﹣1, 0).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣   22.已知函数 f(x)=lnx﹣ ,曲线 y=f(x)在点( ,f( ))处的切线平行于直 线 y=10x+1. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设直线 l 为函数 y=lnx 图象上任意一点 A(x0,y0)处的切线,在区间(1,+∞)上是 否存在 x0,使得直线 l 与曲线 y=ex 也相切?若存在,满足条件的 x0 有几个? 【考点】变化的快慢与变化率. 【分析】(1)求导函数,利用曲线 y=f(x)在点( ,f( ))处的切线平行于直线 y=10x+1,求出 a,再确定导数恒大于 0,从而可得求函数 f(x)的单调区间; (2)先求直线 l 为函数的图象上一点 A(x0,y0)处的切线方程,再设直线 l 与曲线 y=g (x)=ex 相切于点(x1, ),进而可得 lnx0= ,再证明在区间(1,+∞)上 x0 存 在且唯一即可. 【解答】解:(1)∵函数 f(x)=lnx﹣ , ∴f′(x)= + , ∵曲线 y=f(x)在点( ,f( ))处的切线平行于直线 y=10x+1, ∴f′( )=2+8a=10, ∴a=1 ∴f′(x)= ∵x>0 且 x≠1,∴f'(x)>0 ∴函数 φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+∞). (2)证明:∵y=lnx,∴切线 l 的方程为 y﹣lnx0= (x﹣x0) 即 y= x+lnx0﹣1,① 设直线 l 与曲线 y=g(x)相切于点(x1, ), ∵g'(x)=ex,∴ = , ∴x1=﹣lnx0. ∴直线 l 也为 y﹣ = (x+lnx0), 即 y= x+ + ,② 由①②得 lnx0﹣1= + , ∴lnx0= . 下证:在区间(1,+∞)上 x0 存在且唯一. 由(1)可知,f(x)=lnx﹣ 在区间(1,+∞)上递增. 又 f(e)=﹣ <0,f(e2)= >0, 结合零点存在性定理,说明方程 f(x)=0 必在区间(e,e2)上有唯一的根,这个根就是所 求的唯一 x0.   2016 年 11 月 7 日
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