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文档介绍
2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义:第七章7-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线. (2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号即可判断Ax+By+C>0表示的直线是Ax+By+C=0哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x,y组成的一次不等式 线性约束条件 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x,y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 【知识拓展】 1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界,特殊点定域: (1)直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线; (2)特殊点定域:若直线不过原点,特殊点常选原点;若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证. 2.利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域: 对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则有 (1)当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方; (2)当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方. 3.最优解和可行解的关系: 最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.( × ) (2)点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0同侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.( √ ) (3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示.( √ ) (4)线性目标函数的最优解是唯一的.( × ) (5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.( √ ) (6)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( × ) 1.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的是( ) A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3) 答案 C 解析 把各点的坐标代入可得(-1,3)不适合,故选C. 2.(教材改编)不等式组表示的平面区域是( ) 答案 C 解析 用特殊点代入,比如(0,0),容易判断为C. 3.(2016·北京)若x,y满足则2x+y的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 答案 C 解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z=2x+y,则y=-2x+z,作直线2x+y=0并平移,当直线过点A时,截距最大,即z取得最大值, 由得所以A点坐标为(1,2),可得2x+y的最大值为2×1+2=4. 4.(2017·杭州质检)设实数x,y满足不等式组若z=2x+y,则z的最大值等于________,z的最小值等于________. 答案 2 0 解析 作出可行域(图略),由y=-2x+z,知当z=2x+y经过点(1,0)时,zmax=2; 当z=2x+y经过点(0,0)时,zmin=0. 题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题 例1 (1)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的( ) (2)不等式组所表示的平面区域的面积等于( ) A. B. C. D. 答案 (1)C (2)C 解析 (1)(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇒ 或画出平面区域后,只有C符合题意. (2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分,A(0,),B(1,1),C(0,4),则△ABC的面积为×1×=.故选C. 命题点2 含参数的平面区域问题 例2 (1)(2015·重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( ) A.-3 B.1 C. D.3 (2)若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是_________________. 答案 (1)B (2) 解析 (1) 不等式组表示的平面区域如图,则图中A点纵坐标yA=1+m,B点纵坐标yB=, C点横坐标xC=-2m, ∴S△ABD=S△ACD-S△BCD=×(2+2m)×(1+m)-×(2+2m)×==, ∴m=1或m=-3,当m=-3时,不满足题意应舍去, ∴m=1. (2)不等式组表示的平面区域如图所示. 由于直线y=kx+过定点.因此只有直线过AB中点时,直线y=kx+能平分平面区域. 因为A(1,1),B(0,4),所以AB中点D. 当y=kx+过点时,=+, 所以k=. 思维升华 (1)求平面区域的面积: ①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域; ②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可. (2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解. (1)不等式组表示的平面区域为Ω,直线y=kx-1与区域Ω有公共点,则实数k 的取值范围为( ) A.(0,3] B.[-1,1] C.(-∞,3] D.[3,+∞) (2)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.-2 答案 (1)D (2)A 解析 (1)直线y=kx-1过定点M(0,-1),由图可知,当直线y=kx-1经过直线y=x+1与直线x+y=3的交点C(1,2)时,k最小,此时kCM==3,因此k≥3,即k∈[3,+∞).故选D. (2)由于x=1与x+y-4=0不可能垂直,所以只可能x+y-4=0与kx-y=0垂直或x=1与kx-y=0垂直. ①当x+y-4=0与kx-y=0垂直时,k=1,检验知三角形区域面积为1,即符合要求. ②当x=1与kx-y=0垂直时,k=0,检验不符合要求. 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值 例3 (1)(2016·全国丙卷)若x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为________. (2)已知实数x,y满足:z=|2x-2y-1|,则z的取值范围是( ) A.[,5] B.[0,5] C.[0,5) D.[,5) 答案 (1) (2)C 解析 (1)满足约束条件的可行域为以A(-2,-1),B(0,1),C为顶点的三角形内部及边界,则y=-x+z过点C时Z取得最大值. (2)由约束条件作可行域如图, 联立解得 ∴A(2,-1), 联立解得∴B(,). 令u=2x-2y-1,则y=x--,由图可知,当y=x--经过点A(2,-1)时,直线y=x--在y轴上的截距最小,u最大,最大值为2×2-2×(-1)-1=5;当y=x--经过点B(,)时,直线y=x--在y轴上的截距最大,u最小,最小值为2×-2×-1=-. ∴-≤u<5,∴z=|u|∈[0,5). 命题点2 求非线性目标函数的最值 例4 实数x,y满足 (1)若z=,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围; (2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围. 解 由作出可行域, 如图中阴影部分所示. (1)z=表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率, 因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在,即zmax不存在). 由得B(1,2), ∴kOB==2,即zmin=2, ∴z的取值范围是[2,+∞). (2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方. 因此x2+y2的最小值为OA2,最大为OB2. 由得A(0,1), ∴OA2=()2=1, ∴zmax=5,OB2=()2=5, ∴z的取值范围是[1,5]. 引申探究 1.若z=,求z的取值范围. 解 z=可以看作过点P(1,1)及(x,y)两点的直线的斜率. ∴z的取值范围是(-∞,0]. 2.若z=x2+y2-2x-2y+3.求z的最大值、最小值. 解 z=x2+y2-2x-2y+3 =(x-1)2+(y-1)2+1, 而(x-1)2+(y-1)2表示点P(1,1)与Q(x,y)的距离的平方PQ2,(PQ)=(0-1)2+(2-1)2=2, (PQ)=()2=, ∴zmax=2+1=3,zmin=+1=. 命题点3 求参数值或取值范围 例5 (1)(2015·山东)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a等于( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 (2)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=________. 答案 (1)B (2) 解析 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示. 易知A(2,0), 由得B(1,1). 由z=ax+y,得y=-ax+z. ∴当a=-2或a=-3时,z=ax+y在O(0,0)处取得最大值,最大值为zmax=0,不满足题意,排除C,D选项;当a=2或3时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值, ∴2a=4,∴a=2,排除A,故选B. (2)作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分). 易知直线z=2x+y过交点A时,z取最小值, 由得 ∴zmin=2-2a=1,解得a=. 思维升华 (1)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. (2)当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题,常见代数式的几何意义: ①表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,表示点(x,y)与点(a,b)的距离; ②表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. (3)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件. (1)(2016·临沂检测)若x,y满足约束条件则z=x-y的最小值是( ) A.-3 B.0 C. D.3 (2)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是________. 答案 (1)A (2)[1,] 解析 (1) 作出不等式组表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部). 平移直线z=x-y,易知当直线z=x-y经过点C(0,3)时,目标函数z=x-y取得最小值,即zmin=-3. (2)画可行域如图所示,设目标函数z=ax+y,即y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,则a>0,数形结合知,满足即可,解得1≤a≤.所以a的取值范围是[1,]. 题型三 线性规划的实际应用问题 例6 (2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元. 答案 216 000 解析 设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为 目标函数z=2 100x+900y. 作出可行域为图中的四边形, 包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,zmax=2 100× 60+900×100=216 000(元). 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤 (1)审题:仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,借助表格或图形理清变量之间的关系. (2)设元:设问题中起关键作用(或关联较多的)量为未知量x,y,并列出相应的不等式组和目标函数. (3)作图:准确作出可行域,平移找点(最优解). (4)求解:代入目标函数求解(最大值或最小值). (5)检验:根据结果,检验反馈. (2016·杭州质检)某校今年计划招聘女教师a名,男教师b名,若a,b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名,则x等于( ) A.10 B.12 C.13 D.16 答案 C 解析 如图所示,画出约束条件所表示的区域,即可行域,作直线l:b+a=0,平移直线l,再由a,b∈N,可知当a=6,b=7时,xmax=a+b=13. 7.含参数的线性规划问题 典例 (1)在直角坐标系xOy中,若不等式组表示一个三角形区域,则实数k的取值范围是________. (2)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=________. 错解展示 解析 (1) 如图,直线y=k(x-1)-1过点(1,-1), 作出直线y=2x,当k<-1或0查看更多
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