高中数学必修4同步练习：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

高中数学必修4同步练习：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

必修四 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、选择题 ‎1、已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在变动时，a的范围是(　　)‎ A．(0,1) B. C.∪(1，) D．(1，)‎ ‎2、已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎3、已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝(　　)‎ A. B. C．5 D．25‎ ‎4、已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎5、已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，‎2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎6、平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)‎ A. B．‎2‎ C．4 D．12‎ ‎7、已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若‎2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)‎ A．1 B. C．2 D．4‎ 二、填空题 ‎8、若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.‎ ‎9、已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．‎ ‎10、若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．‎ ‎11、若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________.‎ ‎12、已知a＝(3，)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________.‎ 三、解答题 ‎13、已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，‎ ‎(1)求证：AB⊥AD；‎ ‎(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．‎ ‎14、已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.‎ ‎(1)求a的坐标；‎ ‎(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C ‎[已知＝(1,1)，即A(1,1)如图所示，当点B位于B1和B2时，a与b夹角为，即∠AOB1＝∠AOB2＝，此时，∠B1Ox＝－＝，∠B2Ox＝＋＝，故B1，B2(1，)，又a与b夹角不为零，故a≠1，由图易知a的范围是∪(1，)．]‎ ‎2、A　[由a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，‎ 知λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．‎ 又(λa＋b)·(a－2b)＝0，‎ ‎∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－.]‎ ‎3、C　[∵|a＋b|＝5，‎ ‎∴|a＋b|2＝a2＋‎2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5)2，‎ ‎∴|b|＝5.]‎ ‎4、D　[设c＝(x，y)，‎ 由(c＋a)∥b有－3(x＋1)－2(y＋2)＝0，①‎ 由c⊥(a＋b)有3x－y＝0，②‎ 联立①②有x＝－，y＝－，则c＝(－，－)，‎ 故选D.]‎ ‎5、C　[∵a＝(4,3)，∴‎2a＝(8,6)．又‎2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16.‎ 又|a|＝5，|b|＝13，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝.]‎ ‎6、B　[a＝(2,0)，|b|＝1，‎ ‎∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.‎ ‎∴|a＋2b|＝＝2.]‎ ‎7、C　[由(‎2a－b)·b＝0，则‎2a·b－|b|2＝0，‎ ‎∴2(n2－1)－(1＋n2)＝0，n2＝3.‎ ‎∴|a|＝＝2.故选C.]‎ 二、填空题 ‎8、－2‎ 解析　建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A(0,3)，B(－，0)，M(0,2)，‎ ‎∴＝(0,1)，＝(－，－2)．∴·＝－2.‎ ‎9、∪(2，＋∞)‎ 解析　由题意cos α＝＝，‎ ‎∵90°<α<180°，∴－10，‎ ‎∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.‎ ‎14、解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，‎ ‎∴λ＝2，∴a＝(2,4)．‎ ‎(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，‎ a·b＝1×2＋2×4＝10，‎ ‎∴a(b·c)＝‎0a＝0，‎ ‎(a·b)c＝10×(2，－1)＝(20，－10)．‎