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文档介绍
2018-2019学年山东省济宁市第一中学高二10月阶段检测数学试题 解析版
绝密★启用前 山东省济宁市第一中学2018-2019学年高二10月阶段检测数学试题 评卷人 得分 一、单选题 1.若,则下列不等式成立的是( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵a>b>c,∴a﹣c>b﹣c>0,∴. 故选B. 2.等差数列的公差为,前项和为,当首项和变化时,是一个定值,则下列各数也为定值的是( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析:,所以是定值,是定值 考点:等差数列通项公式求和公式及性质 点评:本题用到的知识点,性质:若则,此性质在数列题目中应用广泛 3.已知数列中,=2,=1,若为等差数列,则等于( ). A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由为等差数列,结合求出数列的公差,再由等差数列的通项公式,求出,即可得到答案. 【详解】 由数列为等差数列,则公差, 所以,所以,故选C. 【点睛】 本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用,其中熟记等差数列的概念和通项公式的灵活应用是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 4.在等差数列等于( ). A. 13 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知的第2个等式减去第1个等式,利用等差数列的性质得到差为公差的3倍,且求出得值,然后再由所求得式子减去第2个等式,利用等差数列的性质,也得到其公差为,把的值代入即可求得答案. 【详解】 设等差数列的公差为, 由, 则,即, 又由, 所以,故选A. 【点睛】 本题主要考查了等差的性质的综合应用,是一道基础题,其中熟记等差数列的性质,通过两式相减求得得值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 5.若关于的不等式的解集是,则实数的值是( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 利用关于的不等式的解集,可得方程的两根为,利用韦达定理,即可求解. 【详解】 由题意,关于的不等式的解集为, 所以方程的两根为, 由韦达定理可得,解得,故选D. 【点睛】 本题主要考查了一元二次不等式的应用,其中解答中熟记一元二次不等式和一元二次方程,以及一元二次函数之间的关系的相互转化是解答的关键,着重考查了推理与计算能力. 6.各项都是实数的等比数列,前项和记为,若,则等于( ) A. 150 B. C. 150或 D. 400或 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等比数列的前项和的公式化简,分别得到关于的两个关系式,求得公比的值,然后利用等比数列的前项和公式代入的值,即可求解. 【详解】 根据等比数列的前项和的公式化简得: , 所以,得到, 即,解得(舍去),, 则,所以,故选A. 【点睛】 本题主要考查了等比数列的通项公式及前项和公式的应用,其中解答中熟练应用等比数列的通项公式和前项和公式,合理、准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 7.不等式 对于一切恒成立,那么的取值范围( ). A. (-∞,-3) B. (-1,3] C. (-∞,-3] D. (-3,3) 【答案】B 【解析】 【分析】 当时不等式即为,对一切恒成立,当时,利用二次函数的性质列出满足的条件,结合两种情况,即可得到答案. 【详解】 当时不等式即为,对一切恒成立, 当时,则须,解得,所以, 综上所述,实数的取值范围是,故选B. 【点睛】 本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解,其中解答中熟练应用一元二次函数的图象与性质,注意对二次项系数的分类讨论是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题. 8.数列前项的和为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 把数列分成一个等差数列和一个等比数列,然后根据等差数列和等比数列的前项和公式,即可求解. 【详解】 由题意,数列的通项公式为, 所以该数列的前项和为, 故选A. 【点睛】 本题主要考查了等差数列和等比数列的前项和公式的应用,其中把数列分为一个等差数列和一个等比数列,分别利用等差数列和等比数列的前项和公式求和是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力. 9.等差数列,的前项和分别为,,若,则=( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵ ,而 ∴ ,故选B. 10.已知为等差数列,若且它的前项和有最大值,那么当取得最小正值时( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析:由于前项和有最大值,所以,根据,有, , ,所以, ,结合选项可知,选C. 考点:等差数列的基本性质. 11.已知数列的前项和为=1-5+9-13+17-21+…+,则 的值是( ). A. 13 B. -76 C. 46 D. 76 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知可得,求得 ,即可得到答案. 【详解】 由题意, 所以 , 所以,故选B. 【点睛】 本题主要考查了数列的前项和的应用,其中解答中认真审题,主要数列前项和公式的合理运用是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 12.设等差数列的前项和为,若则等于( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 试题分析:所以公差 得所以解得,故选C. 考点:等差数列的性质及其前项和 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an与Sn的关系,考查学生的计算能力.属中档题 第II卷(非选择题) 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13.设是递增等差数列,前三项的和为,前三项的积为,则它的首项是_____. 【答案】 【解析】设等差数列的公差为 ∵前三项的积为48即 解得 ∵数列 是单调递增的等差数列, 故答案为2 14.如果数列的前n项和,则此数列的通项公式_______________. 【答案】2n-1 【解析】 【分析】 利用数列中和的关系,计算可得数列构成以为首项,2为公比的等比数列,进而计算可得结论. 【详解】 当时,, 整理得, 又由当时,,即, 所以数列构成首项为1,公比为2的等比数列, 所以数列的通项公式为. 【点睛】 本题主要考查了等比数列的通项公式的求解,其中解答中熟记数列中和的关系是解答本题的关键,平时注意解题方法的积累与总结,着重考查了推理与运算能力. 15.若关于的不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是____. 【答案】 【解析】试题分析:不等式变形为,不等式有解,所以 解不等式得实数的取值范围是 考点:三个二次关系 16.若数列满足(k为常数),则称为等比差数列,叫做公比差.已知是以2为公比差的等比差数列,其中,则________. 【答案】384 【解析】 【分析】 由题意,令,分别求出的值,即可得到答案. 【详解】 由数列满足,且, 令,得,所以, 又由,所以, 又由,所以. 【点睛】 本题主要考查了数列的递推公式的应用,其中解答中正确理解数列的递推关系式,分别代入求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 评卷人 得分 三、解答题 17.已知,都是正数,并且. 求证: 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 要证,只需要证明即可 【详解】 证明:(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3) = (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) ∵a, b都是正数,∴a + b, a2 + ab + b2 > 0 又∵a ¹ b,∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0 即:a5 + b5 > a2b3 + a3b2. 【点睛】 本题主要考查了不等式的证明,用综合法证明,属于基础题。 18.数列中, ,当时,其前项和满足. (1)求的表达式; (2)设= ,求数列的前项和. 【答案】(1);(2)。 【解析】 【分析】 (1)运用数列的递推公式,代入化简整理,再由等差数列的定义和通项公式,即可求解; (2)求得,运用数列的求和方法:裂项相消求和,结合不等式的性质,即可求解. 【详解】 (1) 得 , (2) . 【点睛】 本题主要考查了数列的递推公式的应用,以及数列的裂项法求和,其中解答中确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,易错点是在“错位”之后求和时,弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来,适当增大了难度,能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 19.已知函数. (1)当时,解关于的不等式; (2)若,解关于的不等式. 【答案】(1);(2)见解析 【解析】试题分析:(1),结合图像可得不等式解集(2),所以根据根的大小进行分类讨论:时,为; ,为;时,为 试题解析:(1)当时,不等式, 即,解得. 故原不等式的解集为. (2)因为不等式, 当时,有, 所以原不等式的解集为; 当时,有, 所以原不等式的解集为; 当时,原不等式的解集为 视频 20.某商店采用分期付款的方式促销一款价格为每台6000元的电脑.商店规定,购买时先支付货款的,剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款,且结算欠款的利息. (1)已知欠款的月利率为0.5%,到第一个月底,货主在第一次还款之前,他欠商店多少元? (2)假设货主每月还商店元,写出在第(=1,2,…,36)个月末还款后,货主对商店欠款数的表达式. 【答案】(1)4020元;(2)第i个月底还款后的欠款数为。 【解析】 【分析】 (1)因为购买电脑时,货主欠商店的货款计4000元,又按月利率0.5%,即可求得第一个月底的欠款额; (2)由题意,分别得到第 的欠款额,利用等比数列的求和公式,即可得到第个月的欠款的关系式. 【详解】 (1)因为购买电脑时,货主欠商店的货款,即6000×=4000(元), 又月利率为0.5%,到第一个月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元). (2)设第i个月底还款后的欠款数为yi, 则有y1=4000(1+0.5%)-a, y2=y1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a, y3=y2(1+0.5%)-a =4000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a, … yi=yi-1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)i-a(1+0.5%)i-1-a(1+0.5%)i-2-…-a, 由等比数列的求和公式,得 (i=1,2,…,36). 答: 到第一个月底的欠款数应为4020元,第i个月底还款后的欠款数为. 【点睛】 本题主要考查了等比数列的实际应用问题,同时考查了函数与方程思想,其中解答中认真审题,合理转化与化归,列出关系式是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力. 21.已知等比数列的公比为,与数列满足 () (1)证明数列为等差数列; (2)若,且数列的前3项和,求的通项, (3)在(2)的条件下,求. 【答案】(1)证明见解析;(2);(3)。 【解析】 【分析】 (1)证明:设的公比为 由,得到,利用等差数列的定义,可得到结论; (2) 由题意,根据等差的通项公式和前项和公式,列出方程组,求得,即可得到数列的通项公式; (3)由,求得数列的前8项均为正,从第9项开始为负,分类讨论即可求解. 【详解】 (1)证明:设的公比为 ∵ () ∴ () ∴(与无关的常数) ∴数列为等差数列,公差为. (2)解: ∵ 即,解得 ∴ (3)由得,可得 ∴的前8项均为正,从第9项开始为负 ①当时, …………9分 ②当时, 综上所述: . 【点睛】 本题主要考查了等差数列的判定与证明,以及等差数列的通项公式和前项和公式的应用,其中解答第三问时,根据数列的通项公式,得到前8项均为正,从第9项开始为负,分类讨论即可求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想和推理与运算能力. 22.已知数列满足 ,且,. ⑴求数列的前三项,,; ⑵数列为等差数列,求实数的值; ⑶求数列的前项和. 【答案】(1),,;(2);(3)。 【解析】 【分析】 (1)利用已知条件,直接求得的值,然后求出的值; (2)通过数列为等差数列,按照等差数列的定义,公差是常数,可求得的值; (3)利用(2),求出通项公式,然后通过乘公比错位相减法,即可求解数列的前项和. 【详解】 ⑴由 ,且得 ,得 同理,得, ⑵对于,且, ∵ 又数列为等差数列, ∴ 是与无关的常数, ∴ , 解得. ⑶由⑵知,等差数列的公差为1, ∴, 得. ∴ , 记, 则有, 两式相减,得 故. 【点睛】 点睛:本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”,此类题目是数列问题中的常见题型,对考生计算能力要求较高,解答中确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,易错点是在“错位”之后求和时,弄错等比数列的项数. 本题将数列与解析几何结合起来,适当增大了难度,能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.查看更多