数学文卷·2017届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）（2017

数学文卷·2017届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）（2017

‎ 北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）‎ 数学 （文科） ‎ 本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)‎ ‎（1）如果，，那么集合 A.空集 B. ‎ C. D.‎ ‎（2）某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为 A.200 B.100 C.80 D.75‎ ‎（3）如果，，，那么三个数的大小关系是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎（4）如果过原点的直线 与圆 切于第二象限，那么直线的方程是 ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎（5）设函数若，则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D.∪‎ ‎（6） “”是 “”的 ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎（7）如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有 A. ‎ ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎（8）如果函数在定义域内存在区间，使在上的值域是，那么称为“倍增函数”．若函数为“倍增函数”，则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 开始 结束 ‎ ‎ 是 输出 否 二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎（9）如果是纯虚数，那么实数 ．‎ ‎（10）如果执行如图所示的程序框图，那么输出的___． ‎ ‎（11）如果直线l：与双曲线的一条渐近线平 ‎ 行，那么= __ ． ‎ ‎（12）“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如下图所示 编码方式1‎ 编码方式2‎ 码元0‎ 码元1‎ 信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是____；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是____.‎ ‎（13）已知中，，且，那么_______，____ ． ‎ ‎（14）已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回. 若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠_________公里.‎ 三、解答题(共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 已知点在函数的图象上.‎ ‎(Ⅰ) 求的值和最小正周期；‎ ‎(Ⅱ) 求函数在上的单调减区间.‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 已知数列是等差数列，前项和为，若．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若成等比数列，求的值．‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，且，,‎ A B C D P O 平面.‎ ‎（I）为棱的中点，求证：平面；‎ ‎（II）求证：平面平面；‎ ‎(III) 若，,求四棱锥的体积.‎ ‎（18）（本小题13分）‎ 某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图：‎ 组号 分组 频数 ‎1‎ ‎[0.5,1）‎ ‎20‎ ‎2‎ ‎[1,1.5）‎ ‎40‎ ‎3‎ ‎[1.5,2）‎ ‎80‎ ‎4‎ ‎[2,2.5）‎ ‎120‎ ‎5‎ ‎[2.5,3）‎ ‎60‎ ‎6‎ ‎[3,3.5）‎ ‎40‎ ‎7‎ ‎[3.5,4）‎ ‎20‎ ‎8‎ ‎[4,4.5）‎ ‎20‎ ‎（Ⅰ）求a,b的值；‎ ‎（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率；‎ ‎（Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”.假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如右图所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由.‎ ‎（19）（本小题13分）‎ 已知椭圆的左右两个焦点为，且，椭圆上一动点满足．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；‎ A B C D O F1‎ x y F2‎ E ‎（Ⅱ）如图，过点作直线与椭圆交于点，过点作直线，且与椭圆交于点，与交于点，试求四边形面积的最大值.‎ ‎（20）（本小题14分）‎ 设函数，．‎ ‎(Ⅰ)若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；‎ ‎(Ⅱ)已知函数，若在区间内有零点，求的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)设有两个极值点，，试讨论过两点，的直线能否过点，若能，求的值；若不能，说明理由．‎ 北京市东城区2016-2017学年第二学期高三综合练习（一）‎ 数学（文科）参考答案 ‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）D （2）C （3）A （4）B ‎ ‎（5）B （6）A （7）D （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10） ‎ ‎（11） （12），‎ ‎（13）， （14） ‎ 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎（15）（共13分）‎ 解:(Ⅰ) 点 在函数的图象上，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎------------------6分 ‎(Ⅱ)由,‎ ‎ 得 ,‎ 函数的单调减区间为 ‎ 函数在上的单调减区间为 ‎ ‎------------------ 13分 ‎（16）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）等差数列中，,‎ ‎.‎ ‎.‎ 数列的通项公式为.‎ ‎------------------6分 ‎（Ⅱ）数列是等差数列, ,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎，．‎ 成等比数列，‎ ‎．‎ ‎.‎ 即，‎ 解得.‎ ‎------------------13分 ‎（17）（共14分）‎ 解：（I） 因为是平行四边形对角线交点，所以为中点 ‎ 又为棱中点，所以 ‎ 因为平面，平面， ‎ 所以平面 ……………………5分 ‎（II） 因为，‎ 所以 ‎ 又，，‎ 所以 因为，‎ 所以 ……………………10分 ‎（III）因为是平行四边形对角线交点，所以为中点 ‎ 又，，可求得 因为，所以 ‎ ‎ ‎ 所以 ……………………14分 ‎（18）（共13分）‎ 解答：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表可知，‎ ‎；‎ ‎ ……………………4分 ‎（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，那么 ‎ ……………………8分 ‎（Ⅲ）因为该小区居民月用水量低于这一标准的比例为35%，‎ 所以由图可知,‎ 小区人均月用水量低于立方米，则称为“节水小区”. ……………………10分 由图可知，三个月后的该小区人均月用水量为 所以三个月后该小区达到了“节水小区”标准. ……………………13分 ‎（19）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由已知， ，解得.‎ 所以椭圆 的标准方程为 ，离心率 . ……………………4分 ‎（Ⅱ）由题意可知，由此可求得 ‎ 所以点轨迹为以原点为圆心，半径为的圆，显然点在椭圆的内部 ‎ 所以 当直线一条为椭圆的长轴，一条与轴垂直时，例如为长轴，时 ‎ 把代入椭圆方程，可求得，由此，又 ‎ 所以此时 当直线的斜率都存在时，‎ 设直线，设 联立消去 可得 ‎ 所以 . ‎ 同理，由可求得 综上，四边形面积的最大值为，此时直线一条为椭圆的长轴，一条与轴垂直.‎ ‎ ……………………13分 ‎（20）（共14分）‎ 解析：(Ⅰ) 由求得 ‎ ，代入 ‎ 令得，‎ 时，，单调递增；‎ 时，，单调递减．‎ ‎ ……………………4分 ‎(Ⅱ) 由 求得 时，当时，恒成立，单调递增，又 ‎ 此时在区间内没有零点；‎ 当时，当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减． 又 ‎ 此时欲使在区间内有零点，必有．‎ ‎ 无解 当时，当时，恒成立，单调递减 ‎ 此时欲使在区间内有零点，必有．‎ ‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎ ……………………9分 ‎(Ⅲ)不能．原因如下：‎ 设有两个极值点，，则导函数有两个不同的零点 ‎，且，为方程的两根 ‎ 同理 由此可知过两点，的直线方程为 若直线过点，则 前面已经讨论过若有两个极值点，则，显然不合题意．‎ 综上，过两点，的直线不能过点．‎ ‎ ……………………14分