数学理（A）卷·2017届广东省清远市清城区高三上学期期末考试（2017

数学理（A）卷·2017届广东省清远市清城区高三上学期期末考试（2017

广东省清远市清城区高三第一学期期末统考（A）卷 数学（理）试题 ‎(本卷满分150分，时间120分钟)‎ 一、 选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．若集合（ ）‎ A． B． C．{2，3} D．2，3‎ ‎2.已知复数 (为虚数单位). 则其共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 ‎3．已知倾斜角为的直线l与直线x－2y+2=0平行，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设，，那么“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）‎ A.10 B. 12 ‎ C. 100 D. 102【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎6.已知某几何体的三视图如图所示，‎ 则该几何体的表面积为（ ）‎ A. 40 B. 30 C. 36 D.42‎ ‎7．如图所示，点，是曲线上一点，向矩形内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知矩形，分别是、的中点，且，现沿将平面折起，使平面⊥平面，则三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知函数在区间（0、1）内任取两个实数、，且，若不等式 ‎ 恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎ 10．函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ） ‎ A．关于点对称 B．关于对称C．关于点对称 D．关于对称 ‎ ‎11．已知双曲线c：，以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N （异于原点O），若|MN|=，则双曲线C的离心率 是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，（b，c∈R），集合，若存在则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．或 C． D．或 一、 填空题（20分，每题5分）‎ ‎13.已知向量 满足且、则 与 的夹角为 。‎ ‎14.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎15.已知，删除数列中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列，则 ．‎ ‎16.已知函数及 ，若对于任意的，存在使得恒成立且，则称为“兄弟函数”已知函数, 是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数在区间上的最大值为 ‎ 二、 解答题（70分）‎ ‎ 17.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，过作平面平行于，交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若四边形是正方形，且，求二面角的余弦值．‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ （1） 求函数的单调区间：‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ （2） 是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图像在的图像的下方？若存在，请求出整数的最大值；若不存在，请说理由：（参考数据：）‎ ‎19．（本小题满分12分）某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：‎ 日销售量 ‎1‎ ‎1．5‎ ‎2‎ 天数 ‎10‎ ‎25‎ ‎15‎ 频率 若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．‎ （1） 求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1．5吨的概率；‎ ‎（2）已知每顿该商品的销售利润为2千元，表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的四条边与：共有6个交点，且这6个点恰好把圆周六等分.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与相切，且与椭圆相交于，两点，求的最大值.‎ ‎21.（12分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），‎ 曲线，以坐标原点为极点，轴的在半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线与曲线分别交于，两点，求.‎ ‎22．（10分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知函数．（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．‎ 数学（理）答案 一、1-12：CADBA CABCA CD 二、13. 14. 15、 16. 2 ‎ 三、‎ ‎17、（1）证明见解析；（2）‎ 解析：（1）‎ 证：连结，设与相交于点，‎ 连接，则为中点，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎∵平面平面平面，‎ ‎∴，∴为的中点，‎ 又∵是等边三角形，∴；‎ ‎（2）‎ 因为，所以，‎ 又，所以，又，所以平面，‎ 设的中点为的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．‎ 则，‎ 即，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，令，得，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，令，得，‎ ‎∴．‎ ‎18.解：（1）函数的定义域是，‎ ‎．‎ 当时，对任意恒成立，‎ 所以，函数在区间单调递增；‎ 当时，由得，由得，‎ 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎（2）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ ‎∵在上单调递增，，‎ 且的图象在上连续，‎ ‎∴存在，使得，即，则，‎ ‎∴当时，单调递减；‎ 当时，单调递增，‎ 则取到最小值，‎ ‎∴，即在区间内单调递增，‎ ‎，‎ ‎∴存在实数满足题意，且最大整数的值为1‎ ‎19.解：（1），，‎ 依题意，随机选取一天，销售量为1．5吨的概率，‎ 设5天中该种商品有天的销售量为1．5吨，而，‎ 所以．‎ ‎（2）的可能取值为4，5，6，7，8，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所以的分布列为：‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎0．04‎ ‎0．2‎ ‎0．37‎ ‎0．3‎ ‎0．09‎ 的数学期望（千元）．‎ ‎20.本小题主要考查圆的方程、椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，分类与整合思想等，满分12分.‎ 解法一：（Ⅰ）如图，依题意.‎ 因为，所以，得.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，‎ 代入，得，此时，‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 因为直线与相切，所以，即.‎ 由，消去，整理得，‎ ‎，‎ 由，得.‎ 设，，则，，‎ 所以，‎ 所以 ‎.‎ 当且仅当，即时，取得最大值.‎ 综上所述，的最大值为.‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为.‎ 代入，得，此时.‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 因为直线与相切，所以，即.‎ 由，消去，整理得，‎ ‎，‎ 由，得.‎ 设，，则，，‎ 所以，‎ 所以 令，因为，所以.‎ 于是.‎ 由，得，所以当，即，解得，‎ 故时，取得最大值.‎ 综上所述，的最大值为.‎ ‎21.选修4-4：坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，满分12分.‎ 解：（Ⅰ）由得，‎ 所以曲线的普通方程为.‎ 把，，代入，‎ 得，‎ 化简得，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）依题意可设.‎ 因为曲线的极坐标方程为，‎ 将代入曲线的极坐标方程得，‎ 解得.‎ 同理将代入曲线的极坐标方程得.‎ 所以.‎ ‎22．解：（Ⅰ）由得，∴，即，‎ ‎∴，∴．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，‎ 则，‎ ‎∴的最小值为4，故实数的取值范围是．‎