2020-2021学年北师大版数学必修4课时作业：第三章　三角恒等变形 单元质量评估2

2020-2021学年北师大版数学必修4课时作业：第三章　三角恒等变形 单元质量评估2

第三章单元质量评估(二) 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．已知α为锐角，且 cosα＝ 1 10 ，则 tanα的值是( B ) A．－3 B．3 C．－ 1 3 D．1 3 解析：因为α为锐角，且 cosα＝ 1 10 ，所以 sinα＝ 3 10 ，从而 tanα ＝3，故选 B. 2．已知 sinα＝2 3 ，则 cos(π－2α)＝( B ) A．－ 5 3 B．－ 1 9 C．1 9 D． 5 3 解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2×(2 3 )2－1＝－ 1 9 . 故选 B. 3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是( D ) A．sin(α＋β)>sinα＋sinβ B．sin(α＋β)>cosα＋cosβ C．cos(α＋β)0，所 以 cos(A＋B)>0，因为 A、B是△ABC的内角，所以 0C>π 2 ，所以△ABC为钝角三角形，故选 C. 5．函数 y＝sin 3x＋π 3 cos x－π 6 ＋cos 3x＋π 3 cos x＋π 3 图像的一条 对称轴是直线( D ) A．x＝π 6 B．x＝π 4 C．x＝－ π 6 D．x＝－ π 2 解析： y＝ sin 3x＋π 3 cos x－π 6 ＋ cos 3x＋π 3 sin π 2 － x＋π 3 ＝ sin 3x＋π 3 cos x－π 6 －cos 3x＋π 3 ·sin x－π 6 ＝sin 2x＋π 2 ＝cos2x.其对称 轴方程由下式确定：2x＝kπ，k∈Z，即 x＝kπ 2 ，k∈Z.令 k＝－1，得 x ＝－ π 2 .故选 D. 6．已知 sin(α－β)＝3 5 ，cos(α＋β)＝－ 3 5 ，且α－β∈(π 2 ，π)，α＋β ∈(π 2 ，π)，则 cos2β的值为( C ) A．1 B．－1 C.24 25 D．－ 4 5 解析：∵sin(α－β)＝3 5 ，α－β∈(π 2 ，π)，∴cos(α－β)＝－ 4 5 ，∵cos(α ＋β)＝－ 3 5 ，α＋β∈(π 2 ，π)，∴sin(α＋β)＝4 5 ，∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α －β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝(－3 5 )×(－4 5 )＋4 5 × 3 5 ＝ 24 25 .故选 C. 7.2cos10° cos20° －tan20°＝( C ) A．1 B． 3－1 2 C． 3 D． 3 2 解 析 ： 原 式 ＝ 2cos10°－sin20° cos20° ＝ 2cos30°－20°－sin20° cos20° ＝ 2 3 2 cos20°＋1 2 sin20°－sin20° cos20° ＝ 3cos20° cos20° ＝ 3.故选 C. 8．在△ABC 中，已知AB→＝(cos18°，cos72°)，BC→＝(2cos63°， 2cos27°)，则 cosB等于( A ) A．－ 2 2 B. 2 2 C．－ 1 2 D．1 2 解析：因为BA→＝(－cos18°，－cos72°)，BC→＝(2cos63°，2cos27°)， 所以|BA→ |＝ －cos18°2＋－cos72°2＝ cos218°＋sin218°＝1， |BC→ |＝ 2cos63°2＋2cos27°2＝ 4sin227°＋4cos227°＝2，BA→ ·BC→ ＝－2cos18°cos63°－2cos72°cos27°＝－2(sin27°cos18°＋cos27°sin18°) ＝－2sin45°＝－ 2，所以 cosB＝ BA→ ·BC→ |BA→ ||BC→ | ＝－ 2 2 .故选 A. 9．已知 cos(x－π 6 )＝－ 3 3 ，则 cosx＋cos(x－π 3 )＝( C ) A．－ 2 3 3 B．±2 3 3 C．－1 D．±1 解析：∵cos(x－π 6 )＝－ 3 3 ，即 3 2 cosx＋1 2 sinx＝－ 3 3 ，∴cosx＋ cos(x－π 3 )＝cosx＋1 2 cosx＋ 3 2 sinx＝3 2 cosx＋ 3 2 sinx＝ 3( 3 2 cosx＋1 2 sinx) ＝ 3×(－ 3 3 )＝－1.故选 C. 10．已知向量 a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，若 a 与 b 的夹角为 60°，则直线 xcosα－ysinα＋1 2 ＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2 ＝ 1 2 的位置关系是( D ) A．相交 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离 解析：cos a，b ＝ a·b |a|·|b| ＝ 6cosαcosβ＋6sinαsinβ 2×3 ＝cos(α－β)＝1 2 . 又圆心到直线的距离 d＝ |cosαcosβ＋sinαsinβ＋1 2| cos2α＋sin2α ＝1> 2 2 .所以直 线与圆相离，故选 D. 二、填空题(本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分，请把答案 填写在题中横线上) 11．已知角α的终边经过点 P(2,1)，则 tan(π 4 －2α)的值为－ 1 7 . 解析：因为角α的终边经过点 P(2,1)，所以 tanα＝1 2 ，所以 tan2α ＝ 2tanα 1－tan2α ＝ 2×1 2 1－1 2 2 ＝ 4 3 . 所以 tan(π 4 －2α)＝ tanπ 4 －tan2α 1＋tanπ 4 tan2α ＝ 1－4 3 1＋4 3 ＝－ 1 7 . 12．已知角α，β∈ 0，π 2 ，且 tan(α＋β)＝－3，sinβ＝2sin(2α＋β)， 则α＝π 4 . 解析：由 sinβ＝2sin(2α＋β)得，sin(α＋β－α)＝2sin(α＋β＋α)即 sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝2sin(α＋β)cosα＋2cos(α＋β)sinα，所以 －sin(α＋β)cosα＝3cos(α＋β)sinα.又 tan(α＋β)＝－3，所以 tanα＝－ 1 3 tan(α＋β)＝－ 1 3 ×(－3)＝1，又α∈ 0，π 2 ，所以α＝π 4 . 13．若 f(x)＝2tanx－ 2sin2x 2 －1 sinx 2 ·cosx 2 ，则 f π 12 ＝8. 解析：∵f(x)＝2tanx－ 2sin2x 2 －1 sinx 2 ·cosx 2 ＝2tanx－ －cosx 1 2 sinx ＝2tanx＋ 2 tanx ＝ 2 sinx cosx ＋ cosx sinx ＝2sin 2x＋cos2x sinx·cosx ＝2· 1 1 2 sin2x ＝ 4 sin2x ，∴f π 12 ＝ 4 sinπ 6 ＝8. 14．已知α，β均为锐角，且 cos(α＋β)＝sin(α－β)，则 tanα＝1. 解析：由 cos(α＋β)＝ sin(α－β)，可得 cosαcosβ－ sinαsinβ＝ sinαcosβ－cosαsinβ，整理，得 cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)． ∵β为锐角，∴cosβ＋sinβ≠0，∴cosα＝sinα，又α为锐角，∴tanα ＝1. 15．在平面直角坐标系 xOy中，已知任意角θ以坐标原点 O为顶 点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过 P(x0，y0)，且|OP|＝r(r>0)， 定义：sosθ＝y0＋x0 r ，称“sosθ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函 数”y＝sosx，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为[－ 2， 2]； ②该函数的图像关于原点对称； ③该函数的图像关于直线 x＝3π 4 对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为 2π； ⑤该函数的单调递增区间为[2kπ－3π 4 ，2kπ＋π 4 ]，k∈Z. 其中正确的是①④⑤(填上所有正确性质的序号)． 解析：由“正余弦函数”的定义可知，y＝sosx＝sinx＋cosx＝ 2sin(x＋π 4 )，由三角函数的性质可得①④⑤正确． 三、解答题(本大题共 6小题，共 75分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 16．(本小题 12分)(1)已知 sinα＋cosα＝4 5 ，0<α<π，求 sinα－cosα； (2)已知 tanα＝2，求 2sinα－cosα sinα＋3cosα . 解：(1)∵sinα＋cosα＝4 5 ，∴(sinα＋cosα)2＝16 25 ，则 2sinαcosα＝－ 9 25 ，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝34 25 . 又 0<α<π，且 2sinαcosα＝－ 9 25 ，∴ π 2 <α<π，∴sinα－cosα＝ 34 5 . (2)2sinα－cosα sinα＋3cosα ＝ 2tanα－1 tanα＋3 ＝ 2×2－1 2＋3 ＝ 3 5 . 17．(本小题 12分)已知 sin(π－θ)＝4 5 π 2 <θ<π . (1)求 tan θ－π 4 的值； (2)求 cos 2θ－π 3 的值． 解：(1)因为 sin(π－θ)＝4 5 ，所以 sinθ＝4 5 ，θ∈ π 2 ，π ，所以 cosθ ＝－ 3 5 ，所以 tanθ＝－ 4 3 ，所以 tan θ－π 4 ＝ tanθ－1 1＋tanθ ＝7. (2)cos2θ＝1－2sin2θ＝－ 7 25 ， sin2θ＝2sinθcosθ＝－ 24 25 ，所以 cos 2θ－π 3 ＝ 1 2 cos2θ＋ 3 2 sin2θ＝－ 7＋24 3 50 . 18．(本小题 12分)已知函数 f(x)＝2cos2x 2 ，g(x)＝ sinx 2 ＋cosx 2 2. (1)求证：f π 2 －x ＝g(x)； (2)求函数 h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使 h(x)取 到最小值时 x的值． 解：(1)证明：f(x)＝2cos2x 2 ＝1＋cosx，g(x)＝ sinx 2 ＋cosx 2 2＝1＋ 2sinx 2 cosx 2 ＝1＋sinx， 因为 f π 2 －x ＝1＋cos π 2 －x ＝1＋sinx，所以 f π 2 －x ＝g(x)，命题 得证． (2)函数 h(x)＝ f(x)－g(x)＝cosx－ sinx＝ 2 2 2 cosx－ 2 2 sinx ＝ 2cos x＋π 4 .因为 x∈[0，π]，所以 π 4 ≤x＋π 4 ≤ 5π 4 ， 当 π 4 ≤x＋π 4 ≤π，即 0≤x≤3π 4 时，h(x)递减；当π≤x＋π 4 ≤ 5π 4 ，即 3π 4 ≤x≤π时，h(x)递增． 所以函数 h(x)在 x∈[0，π]上的单调递减区间为 0，3π 4 ，单调递 增区间为 3π 4 ，π ，根据函数 h(x)的单调性，可知当 x＝3π 4 时函数 h(x) 取到最小值． 19．(本小题 12分)已知 a＝( 3sinωx,1)，b＝(cosωx,0)，其中ω>0， 又函数 f(x)＝b·(a－b)＋k 是以 π 2 为最小正周期的周期函数，当 x∈ 0，π 4 时，函数 f(x)的最小值为－2. (1)求 f(x)的解析式； (2)写出函数 f(x)的单调递增区间． 解：(1)∵a－b＝( 3sinωx－cosωx,1)， ∴ f(x) ＝ b·(a － b) ＋ k ＝ cosωx( 3 sinωx － cosωx) ＋ k ＝ 3cosωxsinωx－cos2ωx＋k＝ 3 2 sin2ωx－1＋cos2ωx 2 ＋k ＝sin 2ωx－π 6 － 1 2 ＋k. ∵T＝2π 2ω ＝ π ω ＝ π 2 ，∴ω＝2.∴f(x)＝sin 4x－π 6 － 1 2 ＋k，∵0≤x≤π 4 ， ∴－ π 6 ≤4x－π 6 ≤ 5π 6 ， ∴sin 4x－π 6 ∈ － 1 2 ，1 .∴f(x)min＝－1＋k＝－2，∴k＝－1.∴f(x) ＝sin 4x－π 6 － 3 2 . (2)f(x)的单调递增区间由下列不等式确定，2kπ－π 2 ≤4x－π 6 ≤2kπ ＋ π 2 ，k∈Z.∴kπ 2 － π 12 ≤x≤kπ 2 ＋ π 6 ，k∈Z. ∴函数 f(x)的单调递增区间为 kπ 2 － π 12 ， kπ 2 ＋ π 6 ，k∈Z. 20．(本小题 13分)已知函数 f(x)＝2sinxcosx＋cos2x(x∈R)． (1)当 x取什么值时，函数 f(x)取得最大值，并求其最大值； (2)若θ为锐角，且 f(θ＋π 8 )＝ 2 3 ，求 tanθ的值． 解： (1)f(x)＝2sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝ 2( 2 2 sin2x＋ 2 2 cos2x)＝ 2sin(2x＋π 4 )． ∴当 2x＋π 4 ＝2kπ＋π 2 (k∈Z)，即 x＝kπ＋π 8 (k∈Z)时，函数 f(x)取得 最大值，最大值为 2. (2)法 1：∵f(θ＋π 8 )＝ 2 3 ，∴ 2sin(2θ＋π 2 )＝ 2 3 .故 cos2θ＝1 3 .∵θ为 锐角，即 0<θ<π 2 ，∴0<2θ<π. ∴sin2θ＝ 1－cos22θ＝2 2 3 ，∴tan2θ＝sin2θ cos2θ ＝2 2，即 2tanθ 1－tan2θ ＝ 2 2， 整理得 2tan2θ＋tanθ－ 2＝0，即( 2tanθ－1)(tanθ＋ 2)＝0.解得 tanθ＝ 2 2 或 tanθ＝－ 2(不合题意，舍去)，∴tanθ＝ 2 2 . 法 2：∵f(θ＋π 8 )＝ 2 3 ，∴ 2sin(2θ＋π 2 )＝ 2 3 .∴cos2θ＝1 3 .∴2cos2θ －1＝1 3 . ∵θ为锐角，即 0<θ<π 2 ，∴cosθ＝ 6 3 .∴sinθ＝ 1－cos2θ＝ 3 3 .∴tanθ ＝ sinθ cosθ ＝ 2 2 . 法 3：∵f(θ＋π 8 )＝ 2 3 ，∴ 2sin(2θ＋π 2 )＝ 2 3 .故 cos2θ＝1 3 .∵θ为锐 角，即 0<θ<π 2 ，∴0<2θ<π. ∴sin2θ＝ 1－cos22θ＝2 2 3 .∴tanθ＝sinθ cosθ ＝ 2sinθcosθ 2cos2θ ＝ sin2θ 1＋cos2θ ＝ 2 2 . 21．(本小题 14分)已知向量 a＝(sinθ，－2)与 b＝(1，cosθ)互相 垂直，其中θ∈(0，π 2 )． (1)求 sinθ和 cosθ的值； (2)若 sin(θ－φ)＝ 10 10 ，0<φ<π 2 ，求 cosφ的值． 解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即 sinθ＝2cosθ. 法 1：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即 cos2θ＝1 5 ，∴ sin2θ＝4 5 .又θ∈(0，π 2 )，∴sinθ＝2 5 5 ，cosθ＝ 5 5 . 法 2：由 sinθ＝2cosθ可得 tanθ＝2，又 1 cos2θ ＝ cos2θ＋sin2θ cos2θ ＝1＋ tan2θ＝5，所以 cos2θ＝1 5 ，sin2θ＝1－cos2θ＝4 5 . 又θ∈(0，π 2 )，所以 sinθ＝2 5 5 ，cosθ＝ 5 5 . (2)法 1：sin(θ－φ)＝sinθcosφ－cosθsinφ＝ 10 10 ，将 sinθ＝2 5 5 ，cosθ ＝ 5 5 代入上式整理得 2cosφ－sinφ＝ 2 2 ， 结合 sin2φ＋cos2φ＝1,0<φ<π 2 ，可得 cosφ＝ 2 2 . 法 2：由 0<θ<π 2 ，0<φ<π 2 可得－ π 2 <θ－φ<π 2 ，∴ cos(θ－φ)＝ 1－sin2θ－φ＝ 1－ 10 10 2＝3 10 10 ， cosφ＝ cos[θ－ (θ－ φ)] ＝ cosθcos(θ－ φ) ＋ sinθsin(θ－ φ) ＝ 5 5 × 3 10 10 ＋ 2 5 5 × 10 10 ＝ 2 2 ，即 cosφ＝ 2 2 .