三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 圆锥曲线综合问题 文

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三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 圆锥曲线综合问题 文

第70课 圆锥曲线综合问题 ‎1.(2019广州调研)设椭圆的右焦点为,直线:与轴交于点,若(其中为坐标原点).‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设是椭圆上的任意一点,为圆:的任意一条直径(、为直径的两个端点),求的最大值.‎ 本资料由《七彩1》www.7caiedu.cn 提供!‎ ‎【解析】(1)由题设知,,, ‎ ‎∴,解得. ‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)设圆:的圆心为,‎ 则 ‎ 从而求的最大值转化为求的最大值. ‎ ‎∵是椭圆上的任意一点,设, ‎ ‎∴,即. ‎ ‎∵点,‎ ‎∴当时,取得最大值.‎ ‎∴的最大值为. ‎ ‎2.(2019东城二模)已知椭圆的左焦点,长轴长与短轴长的比是.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过作两直线,交椭圆于,,,四点,若,求证:为定值.‎ ‎【解析】(1)由已知得,解得 . ‎ ‎ 故所求椭圆方程为. ‎ 证明:(2)由(1)知,‎ 当直线斜率不存在时,此时,.‎ 当直线斜率存在时,设直线的方程为 :.‎ 由 ,得 . ‎ 由于,设,则有 同理. ‎ ‎ 综上,为定值. ‎ ‎3.(2019汕头一模)如图,已知椭圆()的上顶点为,右焦点为,直线与圆:相切.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若不过点的动直线与椭圆相交于、两点,且,‎ 求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ ‎【解析】(1)∵圆:‎ ‎∴圆,‎ ‎∴圆的圆心为,半径为. ‎ ‎∴直线的方程为,‎ 即, ‎ ‎∵直线与圆相切,‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)由,知,‎ ‎∴直线与坐标轴不垂直,由,‎ 可设直线的方程为, ‎ 则直线的方程为,‎ 由,整理得:,‎ 解得或,‎ ‎∴的坐标为,‎ 即. ‎ 将上式中的换成,得.‎ ‎∴直线的方程为, ‎ 化简得直线的方程为, ‎ 因此直线过定点. ‎ ‎4.(2019广东高考)在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到的距离的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)在椭圆上,是否存在点使得直线:与圆:相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及相对应的的面积;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】(1)∵,∴,∴,‎ 设是椭圆上任意一点,则,‎ 当时,当时,有最大值,‎ 当时,,不合题意,‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)在中,,‎ ‎ 当且仅当时,有最大值,‎ ‎ ∵当时,点到直线的距离为,‎ ‎ ∴,即,①‎ ‎∵点在椭圆上,∴,②‎ ‎ 由①②解得,,此时点.‎ ‎5.(2019韶关质检)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为,倾斜角为的直线过点.‎ ‎(1)求该椭圆的方程;‎ ‎(2)设椭圆的另一个焦点为,问抛物线上是否存在一点,使得与关于直线对称,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.‎ ‎【解析】(1)抛物线的焦点为,‎ 准线方程为, ‎ ‎ ∵ 椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,‎ ‎∵椭圆截抛物线的准线所得弦长为,‎ ‎ ∴抛物线的准线与椭圆的交点为,∴ , ② ‎ 由①、②解得或(舍去),从而.‎ ‎∴椭圆的方程为. ‎ ‎(2)∵ 倾斜角为的直线过点,‎ ‎∴ 直线的方程为, ‎ 由(1)知椭圆的另一个焦点为,‎ 设与关于直线对称, ‎ 则得 , 解得,即.‎ 又满足,故点在抛物线上. ‎ ‎∴抛物线上存在一点,使得与关于直线对称.‎ ‎6.(2019广州二模)已知对称中心为坐标原点的椭圆与抛物线:有一个相同的焦点,直线:与抛物线只有一个公共点.‎ ‎ (1)求直线的方程;‎ ‎(2)若椭圆经过直线上的点,当椭圆的长轴长取得最小值时,求椭圆的方程及点的坐标.‎ ‎【解析】(1)由,得. ‎ ‎∵直线与抛物线只有一个公共点,‎ ‎∴,解得. ‎ ‎∴直线的方程为. ‎ ‎ (2)∵抛物线的焦点为,‎ ‎∴椭圆的两个焦点为. ‎ 设点关于直线的对称点为,‎ 则 ‎ 解得 ∴点. ‎ ‎∴直线与直线:的交点为. ‎ 由椭圆的定义及平面几何知识得:椭圆的长轴长 其中当点与点重合时,上面不等式取等号.‎ ‎∴当时,椭圆的长轴长取得最小值,其值为4.‎ 此时椭圆的方程为,‎ 点的坐标为. ‎
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