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文档介绍
三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 圆锥曲线综合问题 文
第70课 圆锥曲线综合问题 1.(2019广州调研)设椭圆的右焦点为,直线:与轴交于点,若(其中为坐标原点). (1)求椭圆的方程; (2)设是椭圆上的任意一点,为圆:的任意一条直径(、为直径的两个端点),求的最大值. 本资料由《七彩1》www.7caiedu.cn 提供! 【解析】(1)由题设知,,, ∴,解得. ∴椭圆的方程为. (2)设圆:的圆心为, 则 从而求的最大值转化为求的最大值. ∵是椭圆上的任意一点,设, ∴,即. ∵点, ∴当时,取得最大值. ∴的最大值为. 2.(2019东城二模)已知椭圆的左焦点,长轴长与短轴长的比是. (1)求椭圆的方程; (2)过作两直线,交椭圆于,,,四点,若,求证:为定值. 【解析】(1)由已知得,解得 . 故所求椭圆方程为. 证明:(2)由(1)知, 当直线斜率不存在时,此时,. 当直线斜率存在时,设直线的方程为 :. 由 ,得 . 由于,设,则有 同理. 综上,为定值. 3.(2019汕头一模)如图,已知椭圆()的上顶点为,右焦点为,直线与圆:相切. (1)求椭圆的方程; (2)若不过点的动直线与椭圆相交于、两点,且, 求证:直线过定点,并求出该定点的坐标. 【解析】(1)∵圆: ∴圆, ∴圆的圆心为,半径为. ∴直线的方程为, 即, ∵直线与圆相切, ∴椭圆的方程为. (2)由,知, ∴直线与坐标轴不垂直,由, 可设直线的方程为, 则直线的方程为, 由,整理得:, 解得或, ∴的坐标为, 即. 将上式中的换成,得. ∴直线的方程为, 化简得直线的方程为, 因此直线过定点. 4.(2019广东高考)在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到的距离的最大值为. (1)求椭圆的方程; (2)在椭圆上,是否存在点使得直线:与圆:相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及相对应的的面积;若不存在,请说明理由. 【解答】(1)∵,∴,∴, 设是椭圆上任意一点,则, 当时,当时,有最大值, 当时,,不合题意, ∴椭圆的方程为. (2)在中,, 当且仅当时,有最大值, ∵当时,点到直线的距离为, ∴,即,① ∵点在椭圆上,∴,② 由①②解得,,此时点. 5.(2019韶关质检)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为,倾斜角为的直线过点. (1)求该椭圆的方程; (2)设椭圆的另一个焦点为,问抛物线上是否存在一点,使得与关于直线对称,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由. 【解析】(1)抛物线的焦点为, 准线方程为, ∵ 椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合, ∵椭圆截抛物线的准线所得弦长为, ∴抛物线的准线与椭圆的交点为,∴ , ② 由①、②解得或(舍去),从而. ∴椭圆的方程为. (2)∵ 倾斜角为的直线过点, ∴ 直线的方程为, 由(1)知椭圆的另一个焦点为, 设与关于直线对称, 则得 , 解得,即. 又满足,故点在抛物线上. ∴抛物线上存在一点,使得与关于直线对称. 6.(2019广州二模)已知对称中心为坐标原点的椭圆与抛物线:有一个相同的焦点,直线:与抛物线只有一个公共点. (1)求直线的方程; (2)若椭圆经过直线上的点,当椭圆的长轴长取得最小值时,求椭圆的方程及点的坐标. 【解析】(1)由,得. ∵直线与抛物线只有一个公共点, ∴,解得. ∴直线的方程为. (2)∵抛物线的焦点为, ∴椭圆的两个焦点为. 设点关于直线的对称点为, 则 解得 ∴点. ∴直线与直线:的交点为. 由椭圆的定义及平面几何知识得:椭圆的长轴长 其中当点与点重合时,上面不等式取等号. ∴当时,椭圆的长轴长取得最小值,其值为4. 此时椭圆的方程为, 点的坐标为. 查看更多