2018-2019学年四川省成都外国语学校高二下学期3月月考试题 数学（文） Word版

2018-2019学年四川省成都外国语学校高二下学期3月月考试题 数学（文） Word版

成都外国语学校2018-2019学年度高二下期第一次月考 数学（文科）试卷 ‎(时间:120分钟 总分:150分 命题人：刘萧旭 审题人：罗德益)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合， ，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、下列导数式子正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设， 满足约束条件，则目标函数取最小值时的最优解是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为y‎=1.16x-30.75‎，以下结论中不正确的为（ ）‎ A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，‎ C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米 D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，‎ ‎6．已知， 则等于（ ） ‎ A．-2 B．0 C．2 D．4‎ ‎7. 设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则m//n的一个充分不必要条件是（ ）‎ A．m⊥α，n⊥β，α//β B．m//α，n//β，α//β ‎ C．m//α，n⊥β，α⊥β D．m⊥α，n⊥β，‎α⊥β ‎8. 若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积是‎9‎‎8‎π,则它的表面积是( )‎ A．‎2‎‎9‎π B．‎9π C．‎45‎‎4‎π D．‎‎54‎‎4‎π ‎10．已知定义域为R的奇函数y=f(x)‎的导函数为y=f'(x)‎，当x>0‎时， xf'(x)-f(x)<0‎，若a=f(e)‎e,b=f(ln2)‎ln2‎,c=‎f(-3)‎‎-3‎，则a,b,c的大小关系正确的是（ ）‎ A．a0‎a|x+‎1‎‎2‎|-‎15‎‎4‎,x≤0‎，函数g(x)=‎x‎3‎，若方程g(x)=xf(x)‎有4个不同实根，则实数a的取值范围为‎(‎　　‎‎)‎ A．‎(5,+∞)‎ B．‎(5,‎15‎‎2‎]‎ C．‎(-3,5)‎ D．‎‎(3,5)‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二．填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卷相应位置上.‎ ‎13．已知平面向量共线，则= .‎ ‎14．已知双曲线C:y‎2‎a‎2‎-x‎2‎b‎2‎=1‎的离心率为‎5‎‎2‎，则C的渐近线方程为 .‎ ‎15. 已知tanθ=2‎，则sinθ+cosθsinθ‎+sin‎2‎θ的值为 .‎ ‎16. —只蚂蚁在三边长分别为‎6‎，‎8‎，‎10‎的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过‎1‎的概率为 . ‎ 三、解答题：本大题6题，共70分．解答应在答题卷写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17. (本题满分10分) ‎ 命题p:‎关于x的不等式x‎2‎‎+a-1‎x+a‎2‎≤0‎的解集为‎∅‎；命题q:‎函数y=‎‎2a‎2‎-ax为增函数． ‎ ‎(1)若p是真命题, 求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题, 求实数a的取值范围．‎ ‎18．(本题满分12分)‎ ‎《‎汉字听写大会‎》‎不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试‎.‎现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组‎[160,164)‎，第2组‎[164,168)‎，‎…‎，第6组‎[180,184)‎，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．‎ ‎(1)‎若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；‎ ‎(2)‎试估计该市市民正确书写汉字的个数的中位数；‎ ‎(3)‎已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．‎ ‎19. (本题满分12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．‎ ‎(1)当a＝2时，求函数f(x)在[0,2]上的最值；‎ ‎(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．‎ ‎20. (本题满分12分)‎ 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥‎面ABC，∠BAC=‎120‎‎°‎，且AB=AC=AP=1，过A点作平面AMN，分别交PB,BC于M,N点.‎ ‎（1）若MN⊥AB,AN=BN,‎求证：M为PB的中点；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求点P到平面MNA的距离．‎ ‎21. (本题满分12分)‎ 已知点P(‎3‎,1)‎是椭圆E：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎上一点，F‎1‎、F‎2‎分别是椭圆的左右焦点，且PF‎1‎‎⋅PF‎2‎=0‎．‎ ‎(1)‎求曲线E的方程；‎ ‎(2)‎若直线l：y=kx+m(‎不与坐标轴重合‎)‎与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为k‎1‎、k‎2‎，对任意的斜率k，若存在实数λ，使得λ(k‎1‎+k‎2‎)+k=0‎，求实数λ的取值范围．‎ ‎22. (本题满分12分)已知函数f(x)=lnx+2x-ax‎2‎，a∈R.‎ ‎（1）若f(x)‎在x=1‎处取得极值，求a的值； ‎ ‎（2）设g(x)=f(x)+(a-4)x，试讨论函数g(x)‎的单调性；‎ ‎（3）当a=-2‎时，若存在正实数x‎1‎‎,‎x‎2‎满足f(x‎1‎)+f(x‎2‎)+3x‎1‎x‎2‎=x‎1‎+‎x‎2‎，求证：x‎1‎‎+x‎2‎>‎‎1‎‎2‎.‎ 高二下期第一次月考数学（文科）答案 CDCBD AACCD CB 13. 14．y=±2x 15. ‎23‎‎10‎ 16. ‎π‎48‎ ‎17. (1)关于x的不等式x‎2‎‎+a-1‎x+a‎2‎≤0‎的解集为‎∅‎，等价于x‎2‎‎+a-1‎x+a‎2‎>0‎恒成立，‎ 所以p为真命题时，Δ=a-1‎‎2‎-4a‎2‎<0‎，解得a>‎‎1‎‎3‎或a<-1‎.‎ ‎ (2) q为真命题时，‎2a‎2‎-a>1‎，解得a>1‎或a<-‎‎1‎‎2‎. “p∨q”是真命题，且“p∧q”是假命题，‎ 有两种情况：p为真命题，q为假命题时，‎1‎‎3‎‎0，‎ 因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．‎ 设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，则y<1＋1－＝，故a≥.‎ ‎20. ∵AN=BN,‎∴NQ⊥AB，∵MN⊥AB,‎ AB⊥‎面MNQ，‎ ‎∴AB⊥MQ,∵PA⊥面ABC,∴PA⊥AB,∴MQ//PA,‎ ‎∴MQ⊥AB，又MQ∥PA ‎∵Q为AB的中点，‎∴M为PB的中点 ‎（2）设点P到平面MNA的距离为h， ∵M为PB的中点，‎‎∴SΔPAM=‎1‎‎2‎SΔPAB=‎1‎‎4‎,‎ 又NQ⊥AB，NQ⊥PA，∴NQ⊥面PAB，∵‎∠ABC=30°‎ ∴NQ=‎‎3‎‎6‎ ‎ 又MN=NQ‎2‎+MQ‎2‎=‎‎3‎‎3‎，AN=‎‎3‎‎3‎，AM=‎2‎‎2‎，可得ΔNMA边AM上的高为‎30‎‎12‎，‎ ‎∴S‎∆NMA‎=‎1‎‎2‎×‎2‎‎2‎×‎30‎‎12‎=‎‎15‎‎24‎ 由VP-NMA‎=‎VN-PAM ∴h=‎‎5‎‎5‎ ‎21. ‎(1)‎设F‎1‎‎(-c,0)‎，F‎2‎‎(c,0)‎，PF‎1‎‎⋅PF‎2‎=(-c-‎3‎,-1)⋅(c-‎3‎,-1)=4-c‎2‎=0‎，‎c=2‎ 由‎3‎a‎2‎‎+‎1‎b‎2‎=1‎a‎2‎‎-b‎2‎=4‎‎⇒a‎2‎=6‎，b‎2‎‎=2‎，曲线E的方程为：‎x‎2‎‎6‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎ ‎(2)‎设M(x‎1‎,y‎1‎)‎，N(x‎2‎,y‎2‎)‎，x‎2‎‎6‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎y=kx+m‎⇒(1+3k‎2‎)x‎2‎+6kmx+3m‎2‎-6=0⇒‎x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎-6km‎1+3‎k‎2‎x‎1‎x‎2‎‎=‎‎3m‎2‎-6‎‎1+3‎k‎2‎‎△=12(2-m‎2‎+6k‎2‎)>0‎ ∴λ(k‎1‎+k‎2‎)+k=λ×(y‎1‎x‎1‎+y‎2‎x‎2‎)+k=λ×(kx‎1‎+mx‎1‎+kx‎2‎+mx‎2‎)+k=0‎ ∴λ×[2k+m(x‎1‎+x‎2‎)‎x‎1‎x‎2‎]+k=0‎，即‎-12kλ‎3m‎2‎-6‎‎+k=0‎，‎ ‎①‎当k=0‎时，λ∈R；‎②‎当k≠0‎时，λ=‎‎3m‎2‎-6‎‎12‎ ‎=‎m‎2‎‎-2‎‎4‎，由‎△=12(2-m‎2‎+6k‎2‎)>0‎对任意k恒成立，‎ 则m‎2‎‎<2+6k‎2‎⇒0≤m‎2‎<2⇒-‎1‎‎2‎≤λ<0‎ 综上λ∈[-‎1‎‎2‎,0)‎ ‎22.（1）因为f(x)=lnx+2x-ax‎2‎，所以f'(x)=‎1‎x+2-2ax，因为f(x)‎在x=1‎处取得极值，‎ 所以f'(1)=1+2-2a=0‎，解得a=‎‎3‎‎2‎． 验证：当a=‎‎3‎‎2‎时，f(x)‎在x=1‎处取得极大值． ‎ ‎（2）解：‎ g(x)=f(x)+(a-4)x ‎=lnx-ax‎2‎+(a-2)x ，所以g‎'‎‎(x)=‎1‎x-2ax+(a-2)=-‎(ax+1)(2x-1)‎x(x>0)‎．‎ ‎①若a≥0‎，则当x∈(0,‎1‎‎2‎)‎时，g‎'‎‎(x)>0‎，所以函数g(x)‎在‎(0,‎1‎‎2‎)‎上单调递增；‎ 当x∈(‎1‎‎2‎,+∞)‎时，g‎'‎‎(x)<0‎，‎∴‎函数g(x)‎在‎(‎1‎‎2‎,+∞)‎上单调递减． ‎ ‎②若a<0‎，g‎'‎‎(x)=-a(x+‎1‎a)(2x-1)‎x(x>0)‎，‎ 当a<-2‎时，易得函数g(x)‎在‎(0,-‎1‎a)‎和‎(‎1‎‎2‎,+∞)‎上单调递增，在‎(-‎1‎a,‎1‎‎2‎)‎上单调递减； ‎ 当a=-2‎时，g‎'‎‎(x)≥0‎恒成立，所以函数g(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递增；‎ 当‎-20)‎，则φ‎'‎‎(t)=1-‎1‎t=t-1‎t(t>0)‎，‎ 当t∈(0,1)‎时，φ‎'‎‎(t)<0‎，所以函数φ(t)=t-lnt(t>0)‎在‎(0,1)‎上单调递减；‎ 当t∈(1,+∞)‎时，φ‎'‎‎(t)>0‎，所以函数φ(t)=t-lnt(t>0)‎在‎(1,+∞)‎上单调递增．‎ 所以函数φ(t)=t-lnt(t>0)‎在t=1‎时，取得最小值，最小值为‎1‎． ‎ 所以‎2‎(x‎1‎+x‎2‎)‎‎2‎+(x‎1‎+x‎2‎)≥1‎，即‎2‎(x‎1‎+x‎2‎)‎‎2‎+(x‎1‎+x‎2‎)-1≥0‎，所以x‎1‎‎+x‎2‎≥‎‎1‎‎2‎或x‎1‎‎+x‎2‎≤-1‎．‎ 因为x‎1‎‎,‎x‎2‎为正实数，所以x‎1‎‎+x‎2‎≥‎‎1‎‎2‎． 当x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎1‎‎2‎时，x‎1‎x‎2‎‎=1‎，此时不存在x‎1‎‎,‎x‎2‎满足条件，‎ 所以x‎1‎‎+x‎2‎>‎‎1‎‎2‎．‎