2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019 学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试 数学（文）试题 一、单选题 1．一支田径队有男运动员 560 人，女运动员 420 人，为了解运动员的健康情况，从 男运动员中任意抽取 16 人，从女生中任意抽取 12 人进行调查．这种抽样方法是（ ） A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法 【答案】D 【解析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样 【详解】 总体由男生和女生组成，比例为 560：420＝4：3，所抽取的比例也是 16：12＝4：3． 故选：D． 【点睛】 本小题主要考查抽样方法，当总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方 法进行抽样，属基本题． 2．已知 ，其中 是实数， 是虚数单位，则 的共轭复数为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ ，∴x=2,y=1，∴复数 2+i 的共轭复数为 ，故 选 D 3．命题“若 ， ，则 ”的逆否命题是 （ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 且 ， ，则 D．若 或 ， ，则 【答案】D 【解析】根据逆否命题的定义进行判断即可． 【详解】 根据逆否命题的定义可得命题的逆否命题为： 若 x≠0或 y≠0，x、y∈R，则 x2+y2≠0， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查逆否命题的判断，根据逆否命题的定义是解决本题的关键．比较基础． 4．当 时，比较 和 的大小并猜想 A． 时， B． 时， C． 时， D． 时， 【答案】D 【解析】 当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；当 时， ，即 ； 当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；当 时， ，可猜 想 时， ，故选 D. 【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同 性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归 纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察， 寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列 等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 5．在正方形 ABCD 内随机生成 n 个点，其中在正方形 ABCD 内切圆内的点共有 m 个，利用随机模拟的方法，估计圆周率 的近似值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】按照几何概型来计算圆周率，先表示出两个图形的面积，求出豆子落在圆中的 概率，根据比例得出圆周率的近似值． 【详解】 由题意知，本题可以按照几何概型来计算出圆周率， 设正方形的边长为 2，正方形的面积是 2×2＝4， 圆的面积是π×12＝π， ∴ ，∴ 故选：C． 【点睛】 本题考查了模拟方法估计概率的应用问题，是利用面积比表示概率． 6．已知命题 p： 0x  ， 4 4x x   ；命题 q： 0x R ， 02 1x   ．则下列判断正 确的是（ ） A． p是假命题 B．q是真命题 C． ( )p q  是真命题 D． ( )p q  是真命题 【答案】C 【解析】试题分析：由于命题 p： 0x  ， 4 42 4x x x x     ，故命题 p是真命题； 由于 x R ， 2 0x  ，可知命题 q是假命题， q 所以是真命题，故选 C． 【考点】 复合命题的真值的判定和运用． 7．直线 与圆 相交于 ， 两点，则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 直线 与圆 相交于 两点， 圆心到直线的距离 ，则 ，当 时， ，即充分 性成立，若 ，则 ，即 ，解得 或 ，即必要性不成立， 故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A. 8．从集合 中随机选取一个数记为 ，从集合 中随机选取一 个数记为 ，则直线 不经过第四象限的概率为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从集合 ， 中随机选取后组合成的数对有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种，要使直线 不经过第四象限，则需 ， ，共有 种满足， 所以所求概率 ． 9．执行如图 2 所示的程序框图，若输入 n的值为 6，则输出 s的值为（ ） A．105 B．16 C．15 D．1 【答案】C 【解析】试题分析：根据程序框图确定框图所要执行的运算，由输入的 依次进行运算 求 ，根据判断框中的条件判断运算是否执行，得到结果，故选 C． 【考点】程序框图． 10．设 F 为抛物线 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若 ，则 = （ ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【解析】先设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线方程求得焦点坐标和 准线方程，再依据 0，判断点 F是△ABC重心，进而可求 x1+x2+x3的值．最 后根据抛物线的定义求得答案． 【详解】 设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3） 抛物线焦点坐标 F（1，0），准线方程：x＝﹣1 ∵ ， ∴点 F是△ABC重心 则 x1+x2+x3＝3 y1+y2+y3＝0 而|FA|＝x1﹣（﹣1）＝x1+1 |FB|＝x2﹣（﹣1）＝x2+1 |FC|＝x3﹣（﹣1）＝x3+1 ∴|FA|+|FB|+|FC|＝x1+1+x2+1+x3+1＝（x1+x2+x3）+3＝3+3＝6 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了抛物线的简单性质．解本题的关键是判断出 F点为三角形的重心． 11．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手， 甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获 奖．”四位歌手的话只有两位是对的，则获奖的歌手是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解析】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、 乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符；若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话， 乙说真话，与题意不符；当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题 意相符. 故选 C. 点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分 别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可. 12．已知点 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线左 支上的任意一点，若 的最小值为 ，则双曲线的离心率为 A．2 B．5 C．3 D．2 或 5 【答案】B 【解析】首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用 的最小值为 9a，确定 m ＝a或 4a，此时 c＝2a或 5a，即可求出双曲线的离心率． 【详解】 设 ，根据双曲线定义： ， 所以 ， 因为 的最小值为 ， 所以（提示：根据“对勾函数”的特征） （不合题意舍去）或 ， 此时 ，所以双曲线的离心率为 5． 故选：B 【点睛】 本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心 率的方程，得到 a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)， 常见有两种方法：①求出 a,c，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c的 齐次式，转化为 a,c的齐次式，然后转化为关于 e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即 可得 e (e的取值范围)． 二、填空题 13．用反证法证明命题：“若 ， 且 ，则 和 中至少有一个 小于 2”时，应假设___． 【答案】假设 两者都大于或等于 2 【解析】由于“ ， 中至少有一个小于 ”的反面是: “ ， 都大 于或等于 ”,故用反证法证明命题: “若 且 ,则 ， 中至 少有一个小于 ”时,应假设 ， 都大于或等于 ,故答案为 和 都 大于或等于 . 14．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形 ABC 中的两边 AB，AC 互相垂直，则 三角形三边长之间满足关系： ．若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC，ACD， ADB 两两互相垂直，则三棱锥的三个侧面积 ， ， 与底面积 S 之间满足的关系 为__． 【答案】 【解析】斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于 三个直角面的面积的平方和，边对应着面． 【详解】 由边对应着面，边长对应着面积， 由类比可得 ， 故答案为 ． 【点睛】 本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理． 15．若关于 x 的不等式 对任意 恒成立，则实数 a 的取值 范围是 ___． 【答案】 或 【解析】利用绝对值三角不等式可得|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，于是解不等 式 a2﹣3a≥4即可求得答案． 【详解】 ∵|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4， 不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a，对任意实数 x恒成立， ∴a2﹣3a≥4，即（a﹣4）（a+1）≥0， 解得： 或 ， ∴实数 a的取值范围为 或 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，着重考查绝对值三角不等式|x+a|﹣|x+b|≤|a﹣b|的应用， 考查等价转化思想与恒成立问题，属于中档题． 16．已知 A 为椭圆 上的动点，MN 为圆 的一条直径，则 的最大值为_____． 【答案】15 【解析】由题意画出图形，得到椭圆上离圆心最远的点 A，在设出圆的直径两端点的坐 标，由平面向量数量积运算求得答案． 【详解】 作出椭圆和圆对应的图象如图， • 圆（x﹣1）2+y2＝1在椭圆内，椭圆上的所有点只有左顶点到圆心（1，0）距离最远， 由题意可设圆的直径的两个端点为 M（1+cosθ，sinθ），N（1﹣cosθ，﹣sinθ）， 又 A（﹣3，0）， ∴ （4+cosθ，sinθ）， （4﹣cosθ，﹣sinθ）， 则 • 16﹣cos2θ﹣sin2θ＝15． ∴AM•AN的最大值为 15． 故答案为：15． 【点睛】 本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想 方法，是中档题． 三、解答题 17．用综合法或分析法证明： （1）如果 ，则 ； （2） ． 【答案】(1)见证明；(2)见证明 【解析】（1）利用基本不等式，结合 y=lgx 在（0，+∞）上增函数即可证明； （2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成 立的充分条件显然成立为止． 【详解】 证明：（1）当 a，b＞0 时，有 ≥ ＞0， ∴lg ≥lg ， ∴lg ≥ lg （ab）= ． ∴lg ≥ ； （2）要证 + ＞2 +2， 只要证（ + ）2＞（2 +2）2， 即 2 ＞2 ，显然成立的， 所以，原不等式成立． 【点睛】 本题考查综合法或分析法，考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，掌握 这两种方法证明不等式是关键，属于中档题． 18．已知复数 ，试求：当实数 a 取什么值时，复数 z 为： （1）实数? （2）虚数? （3）纯虚数? 【答案】（1） （2） （3）不存在实数 a 【解析】（1）当 z为实数时，则有 a2﹣5a﹣6＝0，a2﹣1≠0，解出即可得出． （2）当 z为虚数时，则有 ，解出即可得出． （3）当 z为纯虚数时，则有 ．解出即可得出． 【详解】 （1） 当复数 z 为实数时， 所以 所以 ． 所以当 时，复数 z 为实数． （2） 当复数 z 为虚数时， 所以 所以 且 ． 所以当 时，复数 z 为虚数． （3） 当复数 为纯虚数时， 所以 所以不存在实数 a，使复数 z 为纯虚数． 【点睛】 本题考查了复数的运算法则及其有关知识、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题． 19．某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于 120 分为 优秀，120 分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的 列联表，且已知在甲、乙 两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 ． （1）请完成上面的列联表； （2）根据列联表的数据，是否有 99.9% 的把握认为“成绩与班级有关系”． 参考公式与临界值表： ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）根据题意填写列联表即可； （2）由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论． 【详解】 （1） （2） ，没有 99.9% 的把握认为成绩与班级有关． 【点睛】 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式 计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计 判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论 也可能犯错误.） 20．某公司经营一批进价为每件 4 百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单 价 x（百元）与日销售量 y（件）之间有如下关系： 相关公式： ， ． （1）求 y 关于 x 的回归直线方程； （2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润 最大? 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1）求求出回归系数，即可 y关于 x的回归直线方程； （2）销售价为 x时的利润为（x﹣4）（﹣2x+20.8）＝﹣2x2+28.8x﹣83.2，即可得出结论． 【详解】 （1） 因为 ， ，所以， ． 于是得到 y 关于 x 的回归直线方程 ． （2） 销售价为 x 时的利润为 . 当 时，日利润最大． 【点睛】 求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系； ②计算 的值；③计算回归系数 ；④写出回归直线方程为 ； 回 归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们 分析两个变量的变化趋势. 21．已知抛物线 ，直线 与 E 交于 A，B 两点，且 ， 其中 O 为原点． （1）求抛物线 E 的方程； （2）点 C 坐标为 (0,-2)，记直线 CA，CB 的斜率分别为 ， ，证明： 为 定值． 【答案】（1） ；（2）证明过程详见解析. 【解析】试题分析：本题考查抛物线的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的数量 积等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、综合分析和 解决问题的能力.第一问，将直线与抛物线方程联立，消去参数 ，得到关于 的方程，得 到两根之和两根之积，设出点 的坐标，代入到 中，化简表达式，再将上述 两根之和两根之积代入得出 的值，从而得到抛物线的标准方程；第二问，先利用点 的坐标得出直线 的斜率，再根据抛物线方程转化参数 ，得到 和 的关系式， 代入到所求证的式子中，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得出常数即 可. 试题解析：（Ⅰ）将 代入 ，得 ． 2 分 其中 设 ， ，则 ， ． 4 分 ． 由已知， ， ． 所以抛物线 的方程 ． 6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ． ，同理 ， 10 分 所以 ． 12 分 【考点】1.抛物线的标准方程；2.韦达定理；3.向量的数量积；4.直线的斜率公式. 22．（本小题满分 12 分）已知椭圆 : 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的半焦距为 c，原点 到经过两点  ,0c ，  0,b 的直线的距离为 1 2 c． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）如图，是圆 :    2 2 52 1 2 x y    的一条直径，若椭圆经过，两 点，求椭圆的方程． 【答案】（Ⅰ） 3 2 ；（Ⅱ） 2 2 1 12 3 x y   ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先写过点  ,0c ， 0,b 的直线方程，再计算原点到该直线 的距离，进而可得椭圆的离心率；（Ⅱ）先由（Ⅰ）知椭圆的方程，设的方程， 联立   2 2 2 2 1 4 4 y k x x y b        ，消去 y ，可得 1 2x x 和 1 2x x 的值，进而可得 k ，再利用 10  可得 2b 的值，进而可得椭圆的方程． 试题解析：（Ⅰ）过点  ,0c ，  0,b 的直线方程为 0bx cy bc+ - = ， 则原点到直线的距离 2 2 bc bcd ab c    ， 由 1 2 d c= ，得 2 22 2a b a c= = - ，解得离心率 3 2 c a = ． （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，椭圆的方程为 2 2 24 4x y b+ = ． (1) 依题意，圆心  2,1  是线段的中点，且 | AB | 10= ． 易知，不与 x轴垂直，设其直线方程为 ( 2) 1y k x= + + ，代入(1)得 2 2 2 2(1 4 ) 8 (2 1) 4(2 1) 4 0k x k k x k b+ + + + + - = 设 1 1 2 2( , y ),B( , y ),A x x 则 2 2 1 2 1 22 2 8 (2 1) 4(2 1) 4, . 1 4 1 4 k k k bx x x x k k + + - + = - = - + + 由 1 2 4x x+ = - ，得 2 8 (2 1) 4, 1 4 k k k + - = - + 解得 1 2 k = ． 从而 2 1 2 8 2x x b= - ． 于是   2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 5| AB | 1 | | 4 10( 2) 2 2 x x x x x x b            ． 由 | AB | 10= ，得 210( 2) 10b - = ，解得 2 3b = ． 故椭圆的方程为 2 2 1 12 3 x y + = ． 解法二：由（Ⅰ）知，椭圆的方程为 2 2 24 4x y b+ = ． (2) 依题意，点，关于圆心  2,1  对称，且 | AB | 10= ． 设 1 1 2 2( , y ),B( , y ),A x x 则 2 2 2 1 14 4x y b+ = ， 2 2 2 2 24 4x y b+ = ， 两式相减并结合 1 2 1 24, y 2,x x y+ = - + = 得 ( )1 2 1 2-4( ) 8 0x x y y- + - = ． 易知，不与 x轴垂直，则 1 2x x ，所以的斜率 1 2 1 2 1k . 2AB y y x x - = = - 因此直线方程为 1 ( 2) 1 2 y x= + + ，代入(2)得 2 24 8 2 0.x x b+ + - = 所以 1 2 4x x+ = - ， 2 1 2 8 2x x b= - ． 于是   2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 5| AB | 1 | | 4 10( 2) 2 2 x x x x x x b            ． 由 | AB | 10= ，得 210( 2) 10b - = ，解得 2 3b = ． 故椭圆的方程为 2 2 1 12 3 x y + = ． 【考点】1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的 方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置．