专题25+数学思想方法及其应用(押题专练)-2019年高考理数二轮复习精品资料

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文档介绍

专题25+数学思想方法及其应用(押题专练)-2019年高考理数二轮复习精品资料

‎1.已知函数f(x)=x3+x2+x(0f(x3)恒成立,求实数a的取值范围.‎ 解 因为f′(x)=x2+x+=(x+a-2),所以令f′(x)=0,‎ 解得x1=,x2=2-a.‎ 由00,得x<,或x>2-a;‎ 令f′(x)<0,得-,‎ 由对任意x1,x2,x3∈[1,2],都有f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立,得2f(x)min>f(x)max(x∈[1,2]).‎ 所以当0-,‎ 结合0a,‎ 结合1,即a>2时,函数y=-(t-)2++a-在t∈[0,1]上单调递增,‎ ‎∴t=1时,函数有最大值ymax=a+a-=1,‎ 解得a=<2(舍去);‎ 当0≤≤1,即0≤a≤2时,‎ t=函数有最大值,‎ ymax=+a-=1,‎ 解得a=或a=-4(舍去);‎ 当<0,即a<0时,‎ 函数y=-(t-)2++a-在t∈[0,1]上单调递减,‎ ‎∴t=0时,函数有最大值ymax=a-=1,‎ 解得a=>0(舍去),‎ 综上所述,存在实数a=使得函数有最大值.‎ ‎3.已知a∈R,函数f(x)=x+,h(x)=,解关于x的方程log4=log2h(a-x)-log2h(4-x).‎ 解:原方程可化为log4 ‎=log2-log2,‎ 即log4(x-1)=log2-log2=log2,‎ ‎①当10,‎ 此时x==3±,‎ ‎∵10,所以an-2与an-1-2同号.‎ 又a1-2=1>0,所以an-2>0(n≥2),即an>2.‎ ‎(2)证明:由题设,=,‎ 由(1)知,an>2,所以<,因此<,‎ 即|an-2|<|an-1-2|(n≥2).‎ ‎(3)证明:由(2)知,|an-2|<|an-1-2|,‎ 因此|an-2|<|a1-2|= (n≥2).‎ 因此|a1-2|+|a2-2|+…+|an-2|<1+++…+==<.‎ ‎5.已知椭圆G:+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.‎ ‎(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;‎ ‎(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.‎ 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减得3(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0.‎ 由题意,知x1≠x2,‎ 所以kAB==-.‎ 因为N(1,3)是弦AB的中点,‎ 所以x1+x2=2,y1+y2=6,‎ 所以kAB=-1.‎ 所以弦AB所在直线的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.‎ 又N(1,3)在椭圆内,‎ 所以λ>3×12+32=12.‎ 所以λ的取值范围是(12,+∞).‎ ‎(2)因为弦CD垂直平分弦AB,所以弦CD所在直线的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0,‎ 将其代入椭圆的方程,‎ 整理得4x2+4x+4-λ=0.①‎ 设C(x3,y3),D(x4,y4),弦CD的中点为M(x0,y0),‎ 则x3,x4是方程①的两个根.‎ 所以x3+x4=-1,x0=(x3+x4)=-, y0=x0+2=,即M.‎ 所以点M到直线AB的距离d==.所以以弦CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程为2+2=.‎ ‎6、如果方程cos2x-sinx+a=0在(0,]上有解,求a的取值范围.‎ 解 方法一 设f(x)=-cos2x+sinx(x∈(0,]).‎ 显然当且仅当a属于f(x)的值域时,a=f(x)有解.‎ 因为f(x)=-(1-sin2x)+sinx ‎=(sinx+)2-,‎ 且由x∈(0,]知sinx∈(0,1].‎ 易求得f(x)的值域为(-1,1].‎ 故a的取值范围是(-1,1].‎ 方法二 令t=sinx,由x∈(0,],可得t∈(0,1].‎ 将方程变为t2+t-1-a=0.‎ 依题意,该方程在(0,1]上有解.‎ 设f(t)=t2+t-1-a.‎ 其图象是开口向上的抛物线,对称轴t=-,‎ 如图所示.‎ 因此f(t)=0在(0,1]上有解等价于 即所以-10)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.‎ ‎(1)若=6,求k的值;‎ ‎(2)求四边形AEBF面积的最大值.‎ 解 (1)依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x10),即当k=时,上式取等号.‎ 所以S的最大值为2.‎ 即四边形AEBF面积的最大值为2.‎ ‎10.在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c.已知c=2,C=.‎ ‎(1)若△ABC的面积等于,求a,b;‎ ‎(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.‎ 解 (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4,‎ 又因为△ABC的面积等于,‎ 所以absinC=,得ab=4.‎ 联立方程组解得a=2,b=2.‎ ‎11.已知数列{an}是等差数列,a1=1,a2+a3+…+a10=144.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an;‎ ‎(2)设数列{bn}的通项bn=,记Sn是数列{bn}的前n项和,若n≥3时,有Sn≥m恒成立,求m的最大值.‎ 解 (1)∵{an}是等差数列,‎ a1=1,a2+a3+…+a10=144,‎ ‎∴S10=145,∴S10=,‎ ‎∴a10=28,∴公差d=3.‎ ‎∴an=3n-2(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)知bn== ‎=,‎ ‎∴Sn=b1+b2+…+bn=,‎ ‎∴Sn=.‎ ‎∵Sn+1-Sn=-=>0,‎ ‎∴数列{Sn}是递增数列.‎ 当n≥3时,(Sn)min=S3=,‎ 依题意,得m≤,∴m的最大值为.‎ ‎12.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)当△AMN的面积为时,求k的值.‎ 解 (1)由题意得解得b=.‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.‎ 设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 则x1+x2=,‎ x1x2=.‎ 所以MN= ‎= ‎=.‎ 又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离 d=,‎ 所以△AMN的面积为 S=MN·d=.‎ 由=,解得k=±1.‎ 所以,k的值为1或-1.‎ ‎13.设关于θ的方程cosθ+sinθ+a=0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.‎ ‎(1)求实数a的取值范围;‎ ‎(2)求α+β的值.‎ 解 (1)原方程可化为sin (θ+)=-,作出函数y=sin (x+)(x∈(0,2π))的图象.‎ 由图知,方程在(0,2π)内有相异实根α,β的充要条件 是 即-2<a<-或-<a<2.‎ ‎14.设有函数f(x)=a+和g(x)=x+1,已知x∈[-4,0]时恒有f(x)≤g(x),求实数a的取值范围.‎ 解 f(x)≤g(x),‎ 即a+≤x+1,‎ 变形得≤x+1-a,‎ 令y1=,①‎ y2=x+1-a.②‎ ‎①变形得(x+2)2+y2=4(y≥0),‎ 即表示以(-2,0)为圆心,2为半径的圆的上半圆;②表示斜率为,纵截距为1-a的平行直线系.‎ 设与圆相切的直线为AT,AT的直线方程为 y=x+b(b>0),‎ 则圆心(-2,0)到AT的距离为d=,‎ 由=2,得b=6或-(舍去).‎ 由图可知,当1-a≥6即a≤-5时,f(x)≤g(x).‎ ‎15. 已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.‎ 解 (1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),‎ 当a<0时,对x∈R,有f′(x)>0,‎ ‎∴当a<0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);‎ 当a>0时,由f′(x)>0,解得x<-或x>,‎ 由f′(x)<0,解得-0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-),(,+∞);单调减区间为(-,).‎ ‎(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,‎ ‎∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.‎ ‎∴f(x)=x3-3x-1,‎ f′(x)=3x2-3,‎ 由f′(x)=0,‎ 解得x1=-1,x2=1.‎ 由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.‎ 因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,‎ 结合如图所示f(x)的图象可知:‎ m的取值范围是(-3,1).‎ ‎16.已知实数x,y满足则的最大值为________.‎ 答案 2‎ 解析 画出不等式组 对应的平面区域Ω为图中的四边形ABCD,=表示的平面区域Ω上的点P(x,y)与原点的连线的斜率,显然OA的斜率最大.‎ ‎17.已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点,C是圆心,求四边形PACB面积的最小值.‎ 解 ‎ 从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC的面积SRt△PAC=PA·AC=PA越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小值,‎ 此时PC==3,‎ 从而PA==2.‎ 所以(S四边形PACB)min=2××PA×AC=2.‎ ‎18.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎ (2)以M为圆心,MB为半径作圆M,当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.‎ 解 (1)抛物线y2=2px的准线为x=-,‎ 由题意得4+=5,所以p=2,‎ 所以抛物线的方程为y2=4x.‎ ‎(2)由题意知,圆M的圆心为点(0,2),半径为2.‎ 当m=4时,直线AK的方程为x=4,‎ 此时,直线AK与圆M相离;‎ 当m≠4时,由(1)知A(4,4),‎ 则直线AK的方程为y=(x-m),‎ 即4x-(4-m)y-4m=0,‎ 圆心M(0,2)到直线AK的距离 d=,‎ 令d>2,解得m>1.‎ 所以,当m>1时,直线AK与圆M相离;‎ 当m=1时,直线AK与圆M相切;‎ 当m<1时,直线AK与圆M相交.‎ ‎19.设关于x的函数y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a),试确定满足f(a)=的a的值,并求此时函数的最大值.‎ 解 令cosx=t,t∈[-1,1],‎ 则y=2t2-2at-(2a+1)‎ ‎=2(t-)2--2a-1,‎ 关于t的二次函数的对称轴是t=,‎ 当<-1,即a<-2时,‎ 函数y在t∈[-1,1]上是单调递增,‎ 所以f(a)=f(-1)=1≠;‎ 当>1,即a>2时,‎ 函数y在t∈[-1,1]上是单调递减,‎ 所以f(a)=f(1)=-4a+1=,‎ 解得a=,这与a>2矛盾;‎ 当-1≤≤1,即-2≤a≤2时,‎ f(a)=--2a-1=,‎ 即a2+4a+3=0,解得a=-1或a=-3,‎ 因为-2≤a≤2,所以a=-1.‎ 所以y=2t2+2t+1,t∈[-1,1],所以当t=1时,‎ 函数取得最大值ymax=2+2+1=5.‎ ‎20.已知a是实数,函数f(x)=(x-a).‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.‎ ‎①写出g(a)的表达式;‎ ‎②求a的取值范围,使得-6≤g(a)≤-2.‎ 解 (1)函数的定义域为[0,+∞),‎ f′(x)=+=(x>0).‎ 若a≤0,则f′(x)>0,f(x)有单调递增区间[0,+∞).‎ 若a>0,令f′(x)=0,得x=,‎ 当0时,f′(x)>0.‎ f(x)有单调递减区间[0,],有单调递增区间(,+∞).‎ ‎②令-6≤g(a)≤-2.若a≤0,无解.‎ 若0PF2,∴PF1=4,PF2=2,‎ ‎∴=2.综上知,=或2.‎ ‎23.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]上有最大值2,求a的值.‎ 解 函数f(x)=-x2+2ax+1-a ‎=-(x-a)2+a2-a+1,‎ 对称轴方程为x=a.‎ ‎(1)当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a,‎ ‎∴1-a=2,∴a=-1.‎ ‎(2)当0≤a≤1时,f(x)max=f(a)=a2-a+1,‎ ‎∴a2-a+1=2,∴a2-a-1=0,‎ ‎∴a=(舍).‎ ‎(3)当a>1时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2.‎ 综上可知,a=-1或a=2.‎ ‎24.设集合A={x∈R|x2+4x=0},B={x∈R|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若B⊆A,求实数a的值.‎ 解 ∵A={0,-4},B⊆A,于是可分为以下几种情况.‎ ‎(1)当A=B时,B={0,-4},‎ ‎∴由根与系数的关系,得解得a=1.‎ ‎(2)当BA时,又可分为两种情况.‎ ‎①当B≠∅时,即B={0}或B={-4},‎ 当x=0时,有a=±1;‎ 当x=-4时,有a=7或a=1.‎ 又由Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,‎ 解得a=-1,此时B={0}满足条件;‎ ‎②当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,‎ 解得a<-1.‎ 综合(1)(2)知,所求实数a的取值为a≤-1或a=1.‎ ‎25.f(x)=x3-x,x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤.‎ 证明 ∵f′(x)=x2-1,当x∈[-1,1]时,f′(x)≤0,‎ ‎∴f(x)在[-1,1]上递减.‎ 故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=,‎ 最小值为f(1)=-,‎ 即f(x)在[-1,1]上的值域为[-,].‎ 所以x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)|≤,|f(x2)|≤,‎ 即有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤+=.‎ 即|f(x1)-f(x2)|≤.‎ ‎26.已知函数f(x)=elnx,g(x)=f(x)-(x+1).(e=2.718……)‎ ‎(1)求函数g(x)的极大值;‎ ‎(2)求证:1+++…+>ln(n+1)(n∈N*).‎ ‎(1)解 ∵g(x)=f(x)-(x+1)=lnx-(x+1),‎ ‎∴g′(x)=-1(x>0).‎ 令g′(x)>0,解得01.‎ ‎∴函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,‎ ‎∴g(x)极大值=g(1)=-2.‎ ‎(2)证明 由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,‎ ‎∴g(x)≤g(1)=-2,即lnx-(x+1)≤-2⇒lnx≤x-1(当且仅当x=1时等号成立),‎ 令t=x-1,得t≥ln(t+1),t>-1,‎ 取t=(n∈N*)时,‎ 则>ln=ln,‎ ‎∴1>ln2,>ln,>ln,…,>ln,‎ 叠加得1+++…+>ln(2···…·)=ln(n+1).‎ 即1+++…+>ln(n+1).‎ ‎27.已知集合A={x∈R|x2-4mx+2m+6=0},B={x∈R|x<0},若A∩B≠∅,求实数m的取值范围.‎ 解 设全集U={m|Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0},‎ 即U={m|m≤-1或m≥}.‎ 若方程x2-4mx+2m+6=0的两根x1,x2均为非负,‎ 则 所以,使A∩B≠∅的实数m的取值范围为{m|≤-1}.‎ ‎28.已知数列{an}的前n项和Sn满足an=1-2Sn.‎ ‎(1)求证:数列{an}为等比数列;‎ ‎(2)设函数f(x)=logx,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),求Tn=+++…+.‎ 解:(1)证明:∵数列{an}的前n项和Sn满足an=1-2Sn.∴a1=1-2a1,解得a1=.‎ n≥2时,an-1=1-2Sn-1,可得an-an-1=-2an.‎ ‎∴an=an-1.‎ ‎∴数列{an}是首项和公比均为的等比数列.‎ ‎(2)由(1)可知an=n,则f(an)=logan=n.‎ ‎∴bn=1+2+…+n=.‎ ‎∴=2.‎ ‎∴Tn=+++…+ ‎=2 ‎=2=.‎ ‎29.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=AB=2,AA1=1,E为D1C1的中点,如图所示.‎ ‎ (1)在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线(不必说明理由);‎ ‎(2)证明:BD1∥平面B1EC;‎ ‎(3)求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值.‎ 解:(1)连接BC1交B1C于M,连接ME,则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线,如图所示.‎ ‎ (2)证明:在长方体ABCDA1B1C1D1中,DA,DC,DD1两两垂直,于是以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.‎ 因为AD=AB=2,AA1=1,所以D(0,0,0),A(2,0,0),D1(0,0,1),B(2,2,0),B1(2,2,1),C(0,2,0),E(0,1,1).‎ 所以=(-2,-2,1),=(2,0,1),=(0,-1,1),‎ 设平面B1EC的法向量为m=(x,y,z),‎ 则即不妨令x=-1,‎ 得到平面B1EC的一个法向量为m=(-1,2,2),‎ 而·m=2-4+2=0,所以⊥m.‎ 又因为BD1⊄平面B1EC,‎ 所以∥平面B1EC.所以BD1∥平面B1EC.‎ ‎(3)由(2)知=(0,-2,0),=(-2,-2,1),‎ 设平面ABD1的法向量为n=(x1,y1,z1),‎ 则即不妨令x1=1,‎ 得到平面ABD1的一个法向量为n=(1,0,2),‎ 因为cos〈m,n〉===,‎ 所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎30.某单位共有10名员工,他们某年的收入如下表:‎ 员工编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 年薪(万元)‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6.5‎ ‎7.5‎ ‎8‎ ‎8.5‎ ‎9‎ ‎51‎ ‎(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数;‎ ‎(2)从该单位中任选2人,此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ,求ξ的分布列和期望;‎ ‎(3)已知员工年薪收入与工作年限呈正相关关系,某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元,5.5万元,6万元,8.5万元,预测该员工第五年的年薪为多少?‎ 附:线性回归方程=x+中系数计算公式分别为:‎ =,=-,其中,为样本均值.‎ 解:(1)所求年薪的平均值为(4+4.5+6+5+6.5+7.5+8+8.5+9+51)=11万元,中位数为=7万元.‎ ‎(2)10名员工中年薪高于7万的有5人,低于或等于7万的有5人,ξ的可能取值为0,1,2.‎ P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 数学期望为E(ξ)=0×+1×+2×=1.‎ ‎(3)设xi,yi(i=1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪,则=2.5,=6,(xi-)2=2.25+0.25+0.25+2.25=5,‎ (xi-)(yi-)=-(1.5)×(-2)+(-0.5)×(-0.5)+0.5×0+1.5×2.5=7,‎ ===1.4,‎ =-=6-1.4×2.5=2.5,‎ 则线性回归方程为y=1.4x+2.5.当x=5时,y=1.4×5+2.5=9.5,‎ 即预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元.‎ ‎31.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+=4cos C,b=1.‎ ‎(1)若A=90°,求△ABC的面积;‎ ‎(2)若△ABC的面积为,求a,C.‎ 解:(1)∵b=1,∴a+=4cos C=4×=,‎ ‎∴2c2=a2+1.‎ 又A=90°,∴a2=b2+c2=c2+1,‎ ‎∴2c2=a2+1=c2+2,∴c=,a=,‎ ‎∴S△ABC=bcsin A=bc=×1×=.‎ ‎(2)∵S△ABC=absin C=asin C=,∴sin C=,‎ ‎∵a+=4cos C,sin C=,‎ ‎∴2+2=1,化简得(a2-7)2=0,‎ ‎∴a=,‎ 又∵a+=4cos C,∴cos C=.‎ 由余弦定理得c2=a2+b2-2ab·cos C ‎=7+1-2××1×=4,从而c=2.‎ ‎32.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.‎ ‎(1)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);‎ ‎(2)求η的分布列及数学期望E(η).‎ 解:(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”,‎ 可得表示事件“购买该商品的3位顾客中,无人采用1期付款”.‎ 又P()=(1-0.4)3=0.216,‎ 故P(A)=1-P()=1-0.216=0.784.‎ ‎(2)η的可能取值为200,250,300.‎ P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,‎ P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,‎ P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.2.‎ 所以η的分布列为 η ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ P ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).‎ ‎33.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马PABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.‎ ‎ (1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由.‎ ‎(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.‎ 解:(1)证明:如图,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设PD=DC=1,BC=λ(λ>0),则D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0),=(λ,1,-1),因为点E是棱PC的中点,‎ 所以E,=,‎ 于是·=0,所以PB⊥DE.‎ 又已知EF⊥PB,而DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.‎ 因为=(0,1,-1),所以·=0,所以DE⊥PC,‎ 而PB∩PC=P,所以DE⊥平面PBC.‎ 由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,‎ 可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,‎ 即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.‎ ‎(2)由PD⊥平面ABCD,‎ 所以=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.‎ 由(1)知,PB⊥平面DEF,‎ 所以=(-λ,-1,1)是平面DEF的一个法向量.‎ 若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,‎ 则cos===,‎ 结合λ>0,解得λ=,所以==.‎ 故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.‎ ‎34.已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,a6=64,且a4,a5的等差中项为3a3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解:(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),‎ 由题意,得 解得 所以an=2n.‎ ‎35.如图,在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AC与BD相交于点E,PA⊥平面ABCD,PA=4,AD=2,AB=2,BC=6.‎ ‎ (1)求证:BD⊥平面PAC;‎ ‎(2)求二面角APCD的余弦值.‎ 解:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,‎ ‎∴BD⊥PA.‎ 又tan∠ABD==,tan∠BAC==.‎ ‎∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,‎ ‎∴∠AEB=90°,即BD⊥AC.‎ 又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.‎ ‎(2)以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,‎ 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,6,0),D(0,2,0),P(0,0,4),=(-2,-4,0),=(0,2,-4),=(-2,2,0),‎ 设平面PCD的法向量为n=(x,y,1),‎ 则即 解得∴n=.‎ 由(1)知平面PAC的一个法向量为m==(-2,2,0),‎ ‎∴cos〈m,n〉==,‎ 由图知,二面角APCD为锐角,‎ ‎∴二面角APCD的余弦值为.‎ ‎ ‎
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