高中数学选修2-2教案第二章 2

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高中数学选修2-2教案第二章 2

明目标、知重点 ‎1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.‎ ‎2.会计算函数在某点处的导数,理解导数的实际意义.‎ ‎3.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.‎ ‎1.函数f(x)在x=x0处的导数 函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x0点的导数,通常用符号f′(x0)表示,记作f′(x0)= = .‎ ‎2.曲线的切线 如图,曲线y=f(x)的一条割线AB,其中A(x0,f(x0)),B(x0+Δx,f(x0+Δx)).当Δx趋于零时,割线AB将绕点A转动最后趋于直线l,称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线.‎ ‎3.导数的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是曲线y=f(x)割线的斜率;函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)表示曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.‎ ‎[情境导学]‎ 如果一个函数是路程关于时间的函数,那么函数在某点处的导数就是瞬时速度,这是函数的实际意义,那么从函数的图像上来考察函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢?这就是本节我们要研究的主要内容.‎ 探究点一 函数在一点处的导数 思考1 导数和平均变化率有什么关系?‎ 答 导数就是平均变化率当Δx趋于0时的极限,‎ 记作f′(x0)= .‎ 思考2 导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用?‎ 答 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率,导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.‎ 思考3 导数在实际问题中有什么意义?‎ 答 导数可以刻画事物变化的快慢.‎ 例1 蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T(t)=+15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min),计算T′(2),并解释它的实际意义.‎ 解 T′(2)= ‎= ‎= =- (℃/min).‎ T′(2)=-(℃/min)表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以 ℃/min的速度下降.‎ 反思与感悟 解释导数的实际意义要结合题目中变化的事物,它反映事物变化的快慢.‎ 跟踪训练1 已知正方形的面积S是边长x的函数S=x2,计算S′(5)并说出S′(5)的意义.‎ 解 S′(5)= ‎= ‎= ‎= (10+Δx)=10.‎ S′(5)=10说明正方形的面积在边长为5时以10的速度增加.‎ 探究点二 导数的几何意义 思考1 如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么?‎ 答 当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置.这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.‎ 思考2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点?‎ 答 不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点,和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切.如图,曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线.‎ 思考3 求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程与求过某点(x0,y0)的曲线的切线方程有何不同?‎ 答 曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f′(x0),利用点斜式写出切线即可;而求过某点(x0,y0)的曲线f(x)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切线.‎ 小结 (1)导数的几何意义:曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k=f′(x0);(2)欲求曲线切线的斜率,先找切点P(x0,f(x0)).‎ 例2 已知曲线y=x2,‎ ‎(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;‎ ‎(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.‎ 解 (1)设切点为(x0,y0),‎ ‎∵y′|x=x0= ‎= =2x0,‎ ‎∴y′|x=1=2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即y=2x-1.‎ ‎(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为(x0,y0),‎ 由(1)知,y′|x=x0=2x0,‎ ‎∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0),‎ 由P(3,5)在所求直线上得 ‎5-y0=2x0(3-x0),①‎ 再由A(x0,y0)在曲线y=x2上得y0=x,②‎ 联立①,②得,x0=1或x0=5.‎ 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).‎ 当切点为(1,1)时,‎ 切线的斜率为k1=2x0=2,‎ 此时切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,‎ 当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,‎ 此时切线方程为y-25=10(x-5),‎ 即y=10x-25.‎ 综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为y=2x-1或y=10x-25.‎ 反思与感悟 (1)求曲线上某点处的切线方程,可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率,然后利用点斜式写出切线方程;(2)求曲线过某点的切线方程,要先求出切点坐标,再按(1)完成解答.‎ 跟踪训练2 已知曲线y=2x2-7,求:‎ ‎(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0?‎ ‎(2)曲线过点P(3,9)的切线方程.‎ 解 y′= ‎= ‎= (4x+2Δx)=4x.‎ ‎(1)设切点为(x0,y0),则4x0=4,x0=1,y0=-5,‎ ‎∴切点坐标为(1,-5).‎ 即曲线上点(1,-5)的切线平行于直线4x-y-2=0.‎ ‎(2)由于点P(3,9)不在曲线上.‎ 设所求切线的切点为A(x0,y0),则切线的斜率k=4x0,‎ 故所求的切线方程为y-y0=4x0(x-x0).‎ 将P(3,9)及y0=2x-7代入上式,‎ 得9-(2x-7)=4x0(3-x0).‎ 解得x0=2或x0=4,所以切点为(2,1)或(4,25).‎ 从而所求切线方程为8x-y-15=0和16x-y-39=0.‎ 跟踪训练3 若曲线y=x3+3ax在某点处的切线方程为y=3x+1,求a的值.‎ 解 ∵y=x3+3ax.‎ ‎∴y′= ‎= ‎=[3x2+3xΔx+(Δx)2+3a]=3x2+3a.‎ 设曲线与直线相切的切点为P(x0,y0),‎ 结合已知条件,得 解得 ‎∴a=1-.‎ ‎1.函数f(x)在x0处可导,则 (  )‎ A.与x0、h都有关 B.仅与x0有关,而与h无关 C.仅与h有关,而与x0无关 D.与x0、h均无关 答案 B ‎2.函数y=3x2在x=1处的导数为(  )‎ A.12 B.6 C.3 D.2‎ 答案 B 解析 f′(1)= ‎= ‎=6.‎ ‎3.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则(  )‎ A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1‎ C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1‎ 答案 A 解析 由题意,知k= =1,‎ ‎∴a=1.又(0,b)在切线上,∴b=1,故选A.‎ ‎4.设函数f(x)在x=x0处的导数为A,试求下列各式的值.‎ ‎(1) ;‎ ‎(2) .‎ 解 (1)原式= ‎=- =-f′(x0)=-A.‎ ‎(2)原式=‎ ‎=2 - ‎=2A-A=-A.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k= =f′(x0),物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.‎ ‎2.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知点不在切线上,则设出切点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然后求出切点.‎ 一、基础过关 ‎1.函数f(x)=x2-1在x=1处的导数是(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.以上都不对 答案 C 解析 f′(1)= ‎= (2+Δx)=2.‎ ‎2.设函数f(x)=ax3+2,且f′(-1)=3,则a等于(  )‎ A.-1 B. C. D.1‎ 答案 D 解析 f′(-1)= ‎=[3a-3a·Δx+a(Δx)2]=3a.‎ 令3a=3,∴a=1.‎ ‎3.设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,P点处的切线倾斜角为α,则α的取值范围为(  )‎ A.∪ B.∪ C. D. 答案 A 解析 设P(x0,y0),‎ ‎∵f′(x)= ‎=3x2-,‎ ‎∴切线的斜率k=3x-,∴tan α=3x-≥-,‎ ‎∴α∈∪.‎ ‎4.已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(0,16)且与曲线y=f(x)相切的切线方程为y=ax+16,则实数a的值是(  )‎ A.-3 B.3 C.6 D.9‎ 答案 D 解析 先设切点为M(x0,y0),则切点在曲线上,‎ 即y0=x-3x0,①‎ 求导数得到切线的斜率k=f′(x0)=3x-3,‎ 又切线l过A、M两点,所以k=,‎ 则3x-3=,②‎ 联立①、②可解得x0=-2,y0=-2,‎ 从而实数a的值为a=k==9.‎ ‎5.设f(x)为可导函数,且满足 =-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是(  )‎ A.1 B.-1‎ C. D.-2‎ 答案 B 解析 ∵ =-1,‎ ‎∴ =-1,∴f′(1)=-1.‎ ‎6.已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f′(1)= .‎ 答案 3‎ 解析 由在M点处的切线方程是y=x+2,‎ 得f(1)=×1+2=,‎ f′(1)=li =li =.‎ ‎∴f(1)+f′(1)=+=3.‎ ‎7.求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线.‎ 解 曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线斜率 k=y′|x=1= ‎= (3Δx+2)=2.‎ ‎∴过点P(-1,2)的直线的斜率为2,‎ 由点斜式得y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.‎ 所以所求直线方程为2x-y+4=0.‎ 二、能力提升 ‎8.已知A、B、C三点在曲线y=上,其横坐标依次为1、m、4(1
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