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文档介绍
2010高考全国卷1理科数学试题及答案word版
绝密★启封并使用完毕前 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷Ⅰ） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至6页。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题。 （1）设复数z满足=i，则|z|= （A）1 （B） （C） （D）2 （2） （A） （B） （C） （D） （3）设命题P：nN，>，则P为 （A）nN, > （B） nN, ≤ （C）nN, ≤ （D） nN, = （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 （5）已知M（x0，y0）是双曲线C： 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是 （A） （-，）（B）（-，）（C）（，） （D）（，） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）设D为ABC所在平面内一点，则 （A） (B) （C） (D) (8)函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为 (A) (B) (C) (D) （9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10） 的展开式中，的系数为 （A）10 （B）20 （C）30 （D）60 (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r= （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 （13）若函数为偶函数，则a= （14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。 （15）若x,y满足约束条件则的最大值为 . （16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0， （Ⅰ）求{an}的通项公式， （Ⅱ）设 ,求数列}的前n项和。 （18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）证明：平面AEC⊥平面AFC （2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 （19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 （x1-）2 （w1-）2 （x1-）(y-) （w1-）(y-) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中w1 =1, ， = （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为： （20）（本小题满分12分） 在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y=ks+a(a>0)交与M,N两点， （Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程； （Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当K变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。 （21）（本小题满分12分） 已知函数f（x）= (Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线； （Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 （22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB是☉O的直径，AC是☉C的Q切线，BC交☉O于E (1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线； (2)若OA=CE，求∠ACB的大小. （23 ）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中。直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I） 求，的极坐标方程； （II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为, , 求的面积 （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 2014年普通高等学校招生全国统一考试 全国课标1理科数学 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1. 已知集合A={|}，B={|－2≤＜2＝，则= .[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2） 2. = . . . . 3. 设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是 .是偶函数 .||是奇函数 .||是奇函数 .||是奇函数 4. 已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 . .3 . . 5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 . . . . 6. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为 7. 执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的= . . . . 8. 设，，且，则 . . . . 9. 不等式组的解集记为.有下面四个命题： ：，：, ：，：. 其中真命题是 .， .， .， .， 10. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则= . . .3 .2 11. 已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为 .（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1） 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 . . .6 .4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。 13. 的展开式中的系数为 .(用数字填写答案) 14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 . 15. 已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 . 16. 已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由. 18. （本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差. （i）利用该正态分布，求； （ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求. 附：≈12.2. 若～，则=0.6826，=0.9544. 19. （本小题满分12分）如图三棱锥中，侧面为菱形，. （Ⅰ） 证明：； （Ⅱ）若，，AB=Bc，求二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程. 21.（本小题满分12分）设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：. 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE （Ⅰ）证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形. 23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）. （Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程； （Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值. 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若，且. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由. 参考答案 一、选择题 1—5 ADCAD 6—10 CDCBB 11. C 12. B 二、填空题 13. -20 14. A 15. 16. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分) 解： （Ⅰ）由题设， 两式相减得，而， （Ⅱ），而，解得 ，又 令，解得。此时 是首项为1，公差为2的等差数列。 即存在l=4，使得为等差数列。 18.（本小题满分12分） 解： （Ⅰ） （Ⅱ） 19. （本小题满分12分） 解： 20.（本小题满分12分） 21.（本小题满分12分） 22.（本小题满分10分） （1）证明：由题设得，A，B，C，D四点共圆，所以， 又， 所以 23.（本小题满分10分） 24. （本小题满分10分） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分． 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 球的面积公式 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数（是虚数单位）的虚部是 (B ) A． B． C． D． 2.已知是实数集，，则( D) A． B． C. D． 3.现有个数，其平均数是，且这个数的平方和是，那么这个数组的标准差是(B) A． B． C． D． 4.设为等比数列的前项和，，则( A) A． B． C． D．15 5.已知函数，若存在，使得恒成立，则的值是(D) A． B． C． D． 6.已知、表示直线，表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 ( B ) （1） （2） （3）则∥ （4） A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（2）、（3） D．（2）、（4） 7.已知平面上不共线的四点，若等于(B) A． B． C． D． 8.已知三角形的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是(D) A． B． C． D． 9.函数的零点所在的区间是(B) A． B． C． D． 10.过直线上一点引圆的切线，则切线长的最小值为(C) A． B． C． D． 11.已知函数.若都是区间内的数，则使成立的概率是 (C) A． B． C． D． 12.已知双曲线的标准方程为，为其右焦点，是实轴的两端点，设 为双曲线上不同于的任意一点，直线与直线分别交于两点,若,则的值为(B) A． B． C． D． 双曲线 x^2/9-y^2/16=1, 右焦点F(5.0)，A1(-3,0)，A2(3,0) 设P(x,y) M (a,m),N(a,n) ∵P,A1,M三点共线， ∴m/(a+3)=y/(x+3) ∴m=y(a+3)/(x+3) ∵P,A2,N三点共线， ∴n/(a-3)=y/(x-3) ∴n=y(a-3)/(x-3) ∵x^2/9-y^2/16=1 ∴(x^2-9)/9=y^2/16 ∴y^2/(x^2-9)=16/9 FM向量=(a-5,y(a+3)/(x+3)) FN向量=(a-5,y(a-3)/(x-3)) FM向量*FN向量 =(a-5)^2+y^2(a^2-9)/(x^2-9) =(a-5)^2+16(a^2-9)/9 ∵FM向量*FN向量=0 ∴(a-5)^2+16(a^2-9)/9=0 25a^2-90a+81=0 ∴a=9/5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项： 1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案． 2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 否 开始 输出 结束 是 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________. 14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_ _________. 第14题图 1 1 1 如图。F,H是上下底的中心，O是FH中点。则： AB＝2 AE＝√3, AF＝2√3/3 OF＝1/2 OA＝√﹙AF²+OF²﹚＝√﹙19/12﹚ 球的表面积＝4π﹙19/12﹚＝19π/3≈19.89675﹙面积单位﹚ 向左转|向右转 15.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008 年地震能量的 倍． 16.给出下列命题： ①已知都是正数，且，则； ②已知是的导函数，若，则一定成立； ③命题“，使得”的否定是真命题； ④“”是“”的充要条件. 其中正确命题的序号是 ①③ .(把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知向量共线，且有函数． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）在中，角,的对边分别是，且满足，求函数的取值范围. 解：（Ⅰ）∵与共线 ∴ …………3分 ∴，即 …………………………………………4分 …………………………………………6分 （Ⅱ）已知 由正弦定理得： ∴，∴在中 ∠ …………………………………………8分 ∵∠ ∴, …………………………………………10分 ∴, ∴函数的取值范围为 …………………………………………12 18．（本小题满分12分） 已知等差数列的前项和为，公差成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和. 解：（Ⅰ）依题意得 …………………………………………2分 解得， …………………………………………4分 ．……………………………6分 (Ⅱ)， …………………………………………7分 ……………………9分 ∴ …………………………………………12分 19.（本小题满分12分） A B C D E F 已知四棱锥，其中，，，∥，为的中点. （Ⅰ）求证：∥面； （Ⅱ）求证：面； （III）求四棱锥的体积. 解：（Ⅰ）取AC中点G,连结FG、BG， ∵F,G分别是AD,AC的中点 A B C D E F G ∴FG∥CD,且FG=DC=1 ． ∵BE∥CD ∴FG与BE平行且相等 ∴EF∥BG． ……………………………2分 ∴∥面 ……………………………4分 （Ⅱ）∵△ABC为等边三角形 ∴BG⊥AC 又∵DC⊥面ABC,BG面ABC ∴DC⊥BG ∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC， ∴BG⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF∥BG ∴EF⊥面ADC ∵EF面ADE，∴面ADE⊥面ADC ． …………………………………………8分 （Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和E－ADC ． ．………………………12分 另法：取的中点为，连结，则，又平面, ∴ , ∴平面，∴为的高，． 20.（本小题满分12分） 在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度与腐蚀时间之间对应的一组数据： 时间（秒） 5 10 15 20 30 40 深度（微米） 6 10 10 13 16 17 现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验． （Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率； （Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得关于的线性回归方程，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠． 解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A包含的基本事件有10种． …………………………………………3分 所以．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是． ………………………6分 (Ⅱ) 当时， ……………………………………9分 当时， 所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 21.（本小题满分12分） 已知函数在点的切线方程为. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）设，求证：在上恒成立. 解：（Ⅰ）将代入切线方程得 ∴，化简得． …………………………………………2分 ． …………………………………………4分 解得： ∴ ． …………………………………………6分 （Ⅱ）由已知得在上恒成立 化简得 即在上恒成立 ． …………………………………………8分 设， ∵ ∴，即． …………………………………………10分 ∴在上单调递增， ∴在上恒成立 ． …………………………………………12分 22.（本小题满分14分） 实轴长为的椭圆的中心在原点，其焦点在轴上.抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，两曲线在第一象限内相交于点,且，△的面积为. （Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程； B x y A F1 F2 C o （Ⅱ）过点作直线分别与抛物线和椭圆交于,若,求直线的斜率. 解（1）设椭圆方程为， 由题意知 …………………………………………2分 解得，∴． ∴椭圆的方程为 …………………………………………4分 ∵，∴,代入椭圆的方程得， 将点A坐标代入得抛物线方程为． …………………………………………6分 （2）设直线的方程为， 由 得， 化简得 …………………………………………8分 联立直线与抛物线的方程， 得 ∴① …………………………………………10分 联立直线与椭圆的方程 得 ∴② …………………………………………12分 ∴ 整理得： ∴ ，所以直线的斜率为 ． …………………………………………14分 2012高考理科数学全国卷1试题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、 选择题 （1）复数 （A） （B） （C） （D） （2）已知集合，，，则 （A）或 （B）或 （C）或 （D）或 （3）椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为 （A） （B） （C） （D） （4）已知正四棱柱中 ，，，为的中点，则直线与平面的距离为 （A） （B） （C） （D） （5）已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为 （A） （B） （C） （D） （6）中，边的高为，若，，，，，则 （A） （B） （C） （D） （7）已知为第二象限角，，则 （A） （B） （C） （D） （8）已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则 （A） （B） （C） （D） （9）已知，，，则 （A） （B） （C） （D） （10）已知函数的图像与恰有两个公共点，则 （A）或 （B）或 （C）或 （D）或 （11）将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A）种 （B）种 （C）种 （D）种 （12）正方形的边长为，点在边上，点在边上，。动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为 （A） （B） （C） （D） 2012年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ） 第Ⅱ卷 注意事项： 1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。 3.第Ⅱ卷共10小题，共90分。 二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若满足约束条件，则的最小值为__________。 （14）当函数取得最大值时，___________。 （15）若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。 （16）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为____________。 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） 的内角、、的对边分别为、、，已知，，求。 （18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，。 （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小。 （19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在平前，一方连续发球次后，对方再连续发球次，依次轮换。每次发球，胜方得分，负方得分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。 （Ⅰ）求开始第次发球时，甲、乙的比分为比的概率； （Ⅱ）表示开始第次发球时乙的得分，求的期望。 （20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 设函数，。 （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设，求的取值范围。 （21）（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效） 已知抛物线与圆有一个公共点，且在点处两曲线的切线为同一直线. （Ⅰ）求； （Ⅱ）设、是异于且与及都相切的两条直线，、的交点为，求到的距离。 （22）（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效） 函数，定义数列如下：，是过两点、的直线与轴交点的横坐标。 （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求数列的通项公式。 2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)复数的共轭复数是 （A） （B） （C） （D） （2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是 （A） (B) （C） (D) （3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 （A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A） （B） （C） （D） （5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则= （A） （B） （C） （D） （6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为 （7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 （A） （B） （C）2 （D）3 （8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40 （9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 （A） （B）4 （C） （D）6 （10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 其中的真命题是 （A） （B） （C） （D） （11）设函数的最小正周期为，且，则 （A）在单调递减 （B）在单调递减 （C）在单调递增 （D）在单调递增 (12)函数的图像与函数的图像所有焦点的横坐标之和等于 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题---第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13）若变量满足约束条件则的最小值为 。 （14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为。过的直线 交于两点，且的周长为16，那么的方程为 。 （15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。 （16）在中，，则的最大值为 。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 等比数列的各项均为正数，且 求数列的通项公式. 设 求数列的前项和. (18)(本小题满分12分) 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 （19）（本小题满分12分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： （Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） （20）（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。 （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。 （21）（本小题满分12分） 已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知 的长为，，的长是关于的方程的两个根。 （Ⅰ）证明：，，，四点共圆； （Ⅱ）若，且，求，，，所在圆的半径。 (23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为 （为参数） M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2 (Ⅰ)求C2的方程 (Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求. (24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数,其中。 （Ⅰ）当时，求不等式的解集 （Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值。 2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案 一、选择题 （1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题 （13）-6 （14） （15） （16） 三、解答题 （17）解： （Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。有条件可知a>0,故。 由得，所以。故数列{an}的通项式为an=。 （Ⅱ ） 故 所以数列的前n项和为 (18)解： （Ⅰ ）因为, 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故PABD （Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则 ,,,。 设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则 即 因此可取n= 设平面PBC的法向量为m，则 可取m=（0，-1，） 故二面角A-PB-C的余弦值为 （19）解 （Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。 由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42 （Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间 的频率分别为0.04，,054,0.42，因此 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X的分布列为 X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20）解： (Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知（+）• =0,即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0. 所以曲线C的方程式为y=x-2. (Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x 因此直线的方程为，即。 则O点到的距离.又，所以 当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2. （21）解： （Ⅰ） 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 。 考虑函数，则。 (i)设，由知，当时，。而，故 当时，，可得； 当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+. （ii）设0查看更多