人教大纲版高考数学题库考点20 圆锥曲线的综合问题

人教大纲版高考数学题库考点20 圆锥曲线的综合问题

‎ ‎ 考点20 圆锥曲线的综合问题 ‎1.（2010·上海高考文科·Ｔ１3）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，，分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线上的点，若（，），则，满足的一个等式是 ．‎ ‎【命题立意】本题考查双曲线性质与向量的有关知识，属中档题．‎ ‎【思路点拨】先设出双曲线的方程，再由渐近线的方向向量及焦点坐标求出实半轴长和虚半轴长，得到双 曲线方程.由向量相等，建立P点横纵坐标与a,b的关系，将P点坐标代入双曲线方程就能找到a，b满足的等式．‎ ‎【规范解答】可设双曲线方程为，因为，分别是两条渐近线的方向向量，所以 ①.‎ 又由已知可得双曲线中c=，所以②.‎ 由①②可得所以双曲线方程为.设P（x，y），则，‎ 所以代入双曲线方程,得.‎ ‎【答案】‎ ‎2.（2010·上海高考理科·Ｔ１3）如图所示，直线x=2‎ 与双曲线：的渐近线交于,两点，‎ 记，任取双曲线上的点P，‎ 若，则a，b满足的 一个等式是 .‎ ‎【命题立意】本题考查双曲线的性质与向量的有关知识．‎ ‎【思路点拨】先求出双曲线的渐近线方程，再确定,的坐标，由向量相等，建立P点横纵坐标与a,b 的关系，将P点坐标代入双曲线方程就能找到a，b满足的等式．‎ ‎【规范解答】易得，‎ 所以.‎ 设,则，所以，‎ 即代入双曲线方程,得.‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】求双曲线的渐近线时，可令即可解出渐近线方程．‎ ‎3.（2010·江西高考文科·Ｔ２１）已知抛物线：经过椭圆：‎ 的两个焦点.‎ ‎(1) 求椭圆的离心率.‎ ‎(2) 设，又为与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线上，求和的方程.‎ ‎【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识，考查三角形的重心性质，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.‎ ‎【思路点拨】（1）将焦点坐标直接代入即可得.（2）利用对称特点先求两个交点M，N的坐标，然后将求出的重心坐标代入方程求出字母系数即可.‎ ‎【规范解答】（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点， ‎ 所以，即.由得椭圆的离心率.‎ ‎（2）由（1）可知，椭圆的方程为 . ‎ 与抛物线的方程联立消去x得：.‎ 解得：或（舍去）.所以 ，‎ 即，所以的重心坐标为.‎ 因为重心在上，所以，得.所以.‎ 所以抛物线的方程为，椭圆的方程为.‎ ‎4.（2010·江西高考理科·Ｔ２１）设椭圆，抛物线．‎ ‎（1）若经过的两个焦点，求的离心率.‎ ‎（2）设，又M，N为与不在轴上的两个交点，若的垂心为，且的重心在上，求椭圆和抛物线的方程．‎ ‎【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力，体现了函数与方程思想及数形结合思想.‎ ‎【思路点拨】（1）将焦点坐标直接代入即可得.（2）利用对称特点先求两个交点M，N的坐标，然后将求出的重心坐标代入方程求出字母系数即可.‎ ‎【规范解答】（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，，‎ 可得.由，有，‎ 所以椭圆的离心率．‎ ‎（2）由题设可知M，N关于轴对称，设x1＞0，‎ 则由 的垂心为B，有，‎ 所以 ①. ‎ 由于点在上，故有 ②.‎ 由①②得或（舍去），所以故 所以的重心为.因重心在上，可得 所以.‎ 又因为在上，所以得 所以椭圆的方程为 抛物线的方程为 ‎5.（2010·四川高考理科·Ｔ20）已知定点，定直线，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的2倍.设点的轨迹为，过点的直线交于B,C两点，直线AB,AC分别交于点M,N.‎ ‎（1）求的方程.‎ ‎（2）试判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由.‎ ‎【命题立意】本题主要考查轨迹方程、直线方程、直线和双曲线交点问题、圆的性质等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及推理运算能力.‎ ‎【思路点拨】（1）可直接设点，利用已知条件求轨迹方程，属送分题.‎ ‎（2）结合图形，要判断以线段为直径的圆是否过点，一从长度判断：点到的中点的距离是否是线段长度的一半，这个计算量更大些；二从位置关系判断：若在以为直径的圆上，则为直角， 即FM⊥FN,因平面坐标系内点的坐标易求，从而转化为向量的坐标运算，即判断是否成立.‎ ‎【规范解答】（1）设，则由题意知，‎ 整理可得. ∴的方程为.‎ ‎（2）①当直线与轴不垂直时，设的方程为，‎ 由消去得（3-k2）.‎ 由题意知，且.‎ 设，，则，.‎ ‎∴.‎ ‎∵x1x2≠-1，∴直线 的方程为, 因此点的坐标为,‎ ‎.同理可得.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴,即以线段为直径的圆过点.‎ ‎ ②当直线与轴垂直时，其方程为，则不妨令,‎ 的方程为，因此点的坐标为，.同理可得.‎ ‎∴.∴,即以线段为直径的圆过点.‎ 综上，以线段为直径的圆过点.‎ ‎【方法技巧】利用方程组求解直线和圆锥曲线的交点问题是通用方法，判断垂直的问题可借助向量的数量积解决.注重数形结合的思想，很多几何性质从图形可直观体现出来.‎ ‎6.（2010·上海高考理科·Ｔ23）已知椭圆的方程为，点P的坐标为（-a，b）.‎ ‎（1）若直角坐标平面上的点M，A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标.‎ ‎（2）设直线交椭圆于，两点，交直线于点.若，证明：为的中点.‎ ‎（3）对于椭圆上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点，满足,写出求作点，的步骤，并求出使，存在的θ的取值范围.‎ ‎【命题立意】本题综合性较强，其涉及椭圆的方程及性质、直线与椭圆的位置关系、椭圆的参数方程、向量的应用等有关知识．‎ ‎【规范解答】（1）由题知，，.‎ 设，则.由，‎ 得解得所以点M的坐标为．‎ ‎（2）设，，‎ 则，.两式相减整理得，‎ 所以.又因为，‎ 所以.‎ 设CD的中点为，则点N在直线上.又点N坐标满足方程，所以点N在直线 上，即N为直线与的交点，由题设与交于点E,所以点E与点N重合，即E为CD的中点．‎ ‎(3)由，且点在椭圆上，‎ 由向量的几何性质可知四边形为平行 四边形.作法：设椭圆的中心为O，‎ ‎①取中点为F；‎ ‎②作直线OF交椭圆于点N；‎ ‎③过N作椭圆的切线t；‎ ‎④过F作直线t的平行线，‎ 则这条线与椭圆的两个交点就是所求的点．‎ 要使这样的点存在，只需线段PQ的中点F在椭圆内部，易得.‎ 由，解得，所以.‎ 又0＜θ＜π，所以．‎ θ的取值范围为．‎ ‎【方法技巧】（1）直线与椭圆相交的问题中，设出弦端点的坐标，代入椭圆方程作差整理后，可以得到直线的斜率与弦中点坐标的关系；（2）“直线与椭圆有两个交点”等价于“弦中点在椭圆内部”，可以将弦中点的坐标代入椭圆方程，将方程中的“=”改为“<”，其作用等价于联立方程后的判别式大于0.‎ ‎7.（2010·湖北高考理科·Ｔ19）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差是1.‎ ‎(1)求曲线C的方程.‎ ‎(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有 ? 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【命题立意】本题主要考查如何求曲线方程、抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等，同时考查考生的推理和运算求解能力．‎ ‎【思路点拨】(1)按求曲线方程的步骤求对应的曲线方程.‎ ‎ (2)假设存在符合条件的m，设A(x1,y1),B(x2,y2),由 ‎=,再利用根与系数的关系找出m的值或范围.‎ ‎【规范解答】(1)设是曲线C上的任意一点，则由题意一定满足：‎ ‎，化简得：.‎ ‎(2)设过点的直线与曲线C的交点为，,直线的方程为，由，得，.于是 ‎ ‎，①.‎ 又，,‎ ‎= ②，又，于是不等式②等价于+ ③.‎ 把①代入，则不等式③等价于 ④.因对任意实数t，的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于，即.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有，且m的取值范围是.‎ ‎【方法技巧】1.直线和圆锥曲线的交点个数问题求解时可以将直线和圆锥曲线的方程联立，转化为方程根的个数问题（有些题目也可借用数形结合），其中一定要注意对的符号加以验证，必要时还须注意根的范围.‎ ‎2.形如的不等式一般都要借用数量积先进行转化，然后借用根与系数的关系进行处理.‎