2018届二轮复习三角函数的图象与性质学案

2018届二轮复习三角函数的图象与性质学案

第1讲　三角函数的图象与性质 高考定位　三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.‎ 真 题 感 悟 ‎1.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)‎ A.4π B.2π C.π D. 解析　由题意T＝＝π.‎ 答案　C ‎2.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)‎ A.x＝－(k∈Z) B.x＝＋(k∈Z)‎ C.x＝－(k∈Z) D.x＝＋(k∈Z)‎ 解析　由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z).‎ 答案　B ‎3.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)‎ A.f(x)的一个周期为－2π ‎ B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C.f(x＋π)的一个零点为x＝ ‎ D.f(x)在单调递减 解析　函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误.‎ 答案　D ‎4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________.‎ 解析　f(x)＝sin2x＋cos x－，‎ f(x)＝1－cos2x＋cos x－，‎ 令cos x＝t且t∈[0，1]，‎ y＝－t2＋t＋＝－＋1，‎ 则当t＝时，f(x)取最大值1.‎ 答案　1‎ 考 点 整 合 ‎1.常用三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)‎ 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 递增区间 ‎[2kπ－π，2kπ]‎ 递减区间 ‎[2kπ，2kπ＋π]‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 ‎(kπ，0)‎ 对称轴 x＝kπ＋ x＝kπ 周期性 ‎2π ‎2π π ‎2.三角函数的常用结论 ‎(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；‎ 当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得.‎ ‎(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；‎ 当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.‎ ‎(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.‎ ‎3.三角函数的两种常见变换 热点一　三角函数的图象 命题角度1　三角函数的图象变换 ‎【例1－1】 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.‎ 解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x [来源:]‎ π Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数表达式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝5sin，根据图象平移变换，‎ 得g(x)＝5sin.‎ 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.‎ 令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，‎ 解得x＝＋－θ，k∈Z.‎ 由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，‎ 令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z.‎ 由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.‎ 探究提高　1.“五点法”作图 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得.‎ ‎2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.‎ 命题角度2　由函数的图象特征求解析式 ‎【例1－2】 (1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)‎ A.f(x)＝2sin B.f(x)＝2sin C.f(x)＝2sin D.f(x)＝2sin ‎(2)(2017·济南调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)‎ A.1 B. ‎ C. D. 解析　(1)由题意知A＝2，T＝4＝π，ω＝2，‎ 因为当x＝时取得最大值2，‎ 所以2＝2sin，‎ 所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z，‎ 因为|φ|<，得φ＝－.‎ 因此函数f(x)＝2sin.‎ ‎(2)观察图象可知，A＝1，T＝π，则ω＝2.‎ 又点是“五点法”中的始点，‎ ‎∴2×＋φ＝0，φ＝.‎ 则f(x)＝sin.‎ 函数图象的对称轴为x＝＝.‎ 又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，‎ 所以＝，则x1＋x2＝，‎ 因此f(x1＋x2)＝sin＝.‎ 答案　(1)B　(2)D 探究提高　已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·菏泽二模)偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形(E，F是函数与x轴的交点，点G在图象上)，则f(1)的值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D.2 ‎(2)(2017·贵阳调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示.‎ ‎①求函数f(x)的解析式；‎ ‎②将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 倍，再把所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值.‎ ‎(1)解析　依题设，＝|EF|＝4，T＝8，ω＝.‎ ‎∵函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，且0<φ<π.‎ ‎∴φ＝，‎ 在等腰直角△EGF中，易求A＝2.‎ 所以f(x)＝2sin＝2cosx，则f(1)＝.‎ 答案　C ‎(2)解　①设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可知 A＝1，＝－＝，‎ 即T＝π，所以π＝，解得ω＝2，‎ 故f(x)＝sin(2x＋φ).‎ 由0＝sin可得＋φ＝2kπ，k∈Z，‎ 则φ＝2kπ－，k∈Z，‎ 因为|φ|＜，所以φ＝－，‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.‎ ‎②根据条件得g(x)＝sin，‎ 当x∈时，4x＋∈，‎ 所以当x＝时，g(x)取得最小值，且g(x)min＝.‎ 热点二　三角函数的性质 命题角度1　三角函数性质 ‎【例2－1】 (2016·天津卷)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性.‎ 解　(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}，‎ f(x)＝4tan xcos xcos－ ‎＝4sin xcos－ ‎＝4sin x－ ‎＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 设A＝，B＝，易知A∩B＝.‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ 探究提高　1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.[来源: ]‎ ‎2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.‎ 命题角度2　三角函数性质的应用 ‎【例2－2】 (2017·哈尔滨质检)把函数f(x)＝2sin(x＋2φ)的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x＝对称，且f(0)0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间.‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值.‎ 解　(1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋(2sin2ωx－1)‎ ‎＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin.‎ 由最小正周期为π，得ω＝1，‎ 所以f(x)＝2sin，‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 整理得kπ－≤x≤kx＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象；‎ 所以g(x)＝2sin 2x＋1.‎ 令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，‎ 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可.‎ 所以b的最小值为4π＋＝.‎ 探究提高　1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解.‎ ‎2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为T＝.‎ ‎【训练3】　(2017·山东卷)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，已知f＝0.‎ ‎(1)求ω；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值.‎ 解　(1)因为f(x)＝sin＋sin，‎ 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ‎＝sin ωx－cos ωx＝ ‎＝sin.‎ 由题设知f＝0，‎ 所以－＝kπ，k∈Z，‎ 故ω＝6k＋2，k∈Z.‎ 又0＜ω＜3，所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 所以g(x)＝sin＝sin.‎ 因为x∈，所以x－∈，‎ 当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.‎ ‎[来源: ]‎ ‎1.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的图象求解析式 ‎(1)A＝，B＝.‎ ‎(2)由函数的周期T求ω，ω＝.‎ ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.‎ ‎2.运用整体换元法求解单调区间与对称性 类比y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解.‎ ‎(1)令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；‎ ‎(2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；‎ ‎(3)将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号.‎ ‎3.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的性质及应用的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(一角一函数)的形式；‎ 第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.‎ 一、选择题 ‎1.(2017·山东卷)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)‎ A. B. C.π D.2π 解析　∵y＝2＝2sin ，‎ ‎∴T＝＝π.‎ 答案　C ‎2.(2016·北京卷)将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则(　　)‎ A.t＝，s的最小值为[来源:学#科#网]‎ B.t＝，s的最小值为 C.t＝，s的最小值为 D.t＝，s的最小值为 解析　点P在函数y＝sin图象上，‎ 则t＝sin＝sin＝.‎ 又由题意得y＝sin＝sin 2x，‎ 故s＝＋kπ，k∈Z，所以s的最小值为.‎ 答案　A ‎3.(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ 解析　易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，因此D项正确.‎ 答案　D ‎4.(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)‎ A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝－ C.ω＝，φ＝－ D.ω＝，φ＝ 解析　∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为4＝3π，‎ ‎∴ω＝＝，‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ ‎∴2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ 又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.‎ 答案　A ‎5.(2017·茂名一模)如图，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)的图象的一个对称中心是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由题中函数图象可知A＝2，由于函数图象过点(0，)，则2sin φ＝，即sin φ＝.‎ 又|φ|<，所以φ＝.‎ 从而f(x)＝2sin.‎ 由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，‎ 取k＝0，得f(x)图象的一个对称中心.‎ 答案　B 二、填空题 ‎6.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________.‎ 解析　f(x)＝2cos x＋sin x＝sin(x＋θ)，其中tan θ＝2，‎ ‎∴f(x)的最大值为.‎ 答案　 ‎7.(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________.‎ 解析　在区间[0，3π]上分别作出y＝sin 2x和y＝cos x的简图如下：‎ 由图象可得两图象有7个交点.‎ 答案　7‎ ‎8.(2015·天津卷)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间 ‎(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________.‎ 解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，‎ 因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，‎ 所以f(ω)必为一个周期上的最大值有ω2＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎9.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.‎ ‎(1)解　f(x)＝cos－2sin xcos x ‎＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＝sin，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)证明　由(1)知f(x)＝sin .‎ ‎∵x∈，∴2x＋∈，‎ ‎∴当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－.‎ ‎∴f(x)≥－成立.‎ ‎10.(2016·山东卷)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值.‎ 解　(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2‎ ‎＝2sin2x－(1－2sin xcos x)‎ ‎＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＋－1‎ ‎＝2sin＋－1，‎ 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).‎ 所以，f(x)的单调递增区间是(k∈Z).‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，经过变换后，g(x)＝2sin x＋－1，‎ 所以g＝2sin ＋－1＝.‎ ‎11.(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.‎ ‎(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；‎ ‎(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值.‎ 解　(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin.‎ 当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.‎ ‎(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ，k∈Z，‎ ‎∴当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.‎ 又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.‎ ‎∴x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，‎ ‎∴cos(x1－x2)＝cos＝sin，‎ 又f(x2)＝sin＝，‎ 故cos(x1－x2)＝.‎