2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．（5分）已知直线l经过点A（﹣2，0）与点B（﹣5，3），则该直线的倾斜角为（　　）‎ A．150° B．135° C．60° D．45°‎ ‎2．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为（　　）‎ A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．‎ ‎3．（5分）关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：‎ ‎①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；‎ ‎②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；‎ ‎③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；‎ ‎④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；‎ 其中真命题的序号是（　　）‎ A．①② B．③④ C．①④ D．②③‎ ‎4．（5分）已知直线l过点P（，1），圆C：x2+y2=4，则直线l与圆C的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相交和相切 D．相离 ‎5．（5分）过点P（﹣2，2）且垂直于直线2x﹣y+1=0的直线方程为（　　）‎ A．2x+y+2=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣2=0 D．x﹣2y+7=0‎ ‎6．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（　　）‎ A．10cm3 B．20cm3　 C．30cm3 D．40cm3‎ ‎7．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）‎ A． B． C．2π D．4π ‎8．（5分）光线从点A（﹣2，）射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C（1，2），则光线BC所在直线的倾斜角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的各个棱长都相等，E，F分别是棱AB，CD的中点，则EF与BC所成的角是（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎10．（5分）点M（3，﹣1）是圆x2+y2﹣4x+y﹣2=0内一点，过点M最长的弦所在的直线方程为（　　）‎ A．x+3y=0 B．2x+3y﹣3=0 C．x+2y﹣1=0 D．x+2y﹣1=0‎ ‎11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2=17内部的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0与圆x2+y2+2x﹣13=0相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为　 　．‎ ‎14．（5分）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则sin（2）=　 　．‎ ‎15．（5分）已知x，y满足则目标函数z=2x+y的最大值为　 　．‎ ‎16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，则l被圆C截得的最短弦长为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题6小题，第17小题10分，第18-22小题，每小题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）等比数列{an}中，a1=2，a4=16．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，试求数列{bn}的前项和Sn．‎ ‎18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．‎ ‎（1）求证：BC1∥平面CA1D；‎ ‎（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B．‎ ‎19．（12分）已知直线m：2x﹣y﹣3=0与直线n：x+y﹣3=0的交点为P．‎ ‎（1）若直线l过点P，且点A（1，3）和点B（3，2）到直线l的距离相等，求直线l的方程；‎ ‎（2）若直线l1过点P且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l1的方程．‎ ‎20．（12分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为2，求直线l的方程．‎ ‎21．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表：‎ 零件的个数x（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y（小时）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）求出y关于x的线性回归方程=x+；‎ ‎（2）试预测加工10个零件需要多少小时？‎ ‎（参考公式：==；=﹣；）‎ ‎22．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥‎ 平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE，AC与BD交于点G．‎ ‎（1）求证：AE⊥平面BCE；‎ ‎（2）求证：AE∥平面BFD；‎ ‎（3）求三棱锥C﹣BFG的体积．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．（5分）已知直线l经过点A（﹣2，0）与点B（﹣5，3），则该直线的倾斜角为（　　）‎ A．150° B．135° C．60° D．45°‎ ‎【分析】利用斜率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设该直线的倾斜角为θ，则tanθ==﹣1，‎ ‎∴θ=135°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了直线的斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为（　　）‎ A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．‎ ‎【分析】由两直线平行的充要条件，列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，可得，得：m=1，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查两直线的位置关系．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：‎ ‎①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；‎ ‎②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；‎ ‎③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；‎ ‎④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；‎ 其中真命题的序号是（　　）‎ A．①② B．③④ C．①④ D．②③‎ ‎【分析】根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案．‎ ‎【解答】解：若m∥α，n∥β且α∥β，则m，n可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；‎ 若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m，n一定垂直，故②正确；‎ 若m⊥α，n∥β且α∥β，则m，n一定垂直，故③正确；‎ 若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m，n可能相交、平行也可能异面，故④错误 故选D．‎ ‎【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知直线l过点P（，1），圆C：x2+y2=4，则直线l与圆C的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相交和相切 D．相离 ‎【分析】根据直线l过点P（，1），而点P在圆C：x2+y2=4上，可得直线和圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：∵直线l过点P（，1），而点P在圆C：x2+y2=4上，‎ 故直线l和圆相交或相切，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查点与圆、直线和圆的位置关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）过点P（﹣2，2）且垂直于直线2x﹣y+1=0的直线方程为（　　）‎ A．2x+y+2=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣2=0 D．x﹣2y+7=0‎ ‎【分析】先求出要求直线的斜率，再用点斜式求出要求直线的方程．‎ ‎【解答】解：由于直线2x﹣y+1=0的斜率为2，故要求直线的斜率为﹣，‎ 利用点斜式求得过点P（﹣2，2）且垂直于直线2x﹣y+1=0的直线的方程为 y﹣2=﹣（x+2），‎ 即 x+2y﹣2=0．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（　　）‎ A．10cm3 B．20cm3　 C．30cm3 D．40cm3‎ ‎【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．‎ ‎【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：‎ 棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，‎ ‎∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）‎ A． B． C．2π D．4π ‎【分析】画出图形，正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积即可．‎ ‎【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，‎ 记为O，PO=AO=R，PO1=1，OO1=R﹣1，或OO1=1﹣R（此时O在PO1的延长线上），‎ 在Rt△AO1O中，R2=1+（R﹣1）2得R=1，∴球的表面积S=4πR2=4π．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）光线从点A（﹣2，）射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C（1，2），则光线BC所在直线的倾斜角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】求出点A关于x轴的对称点为A′（﹣2，﹣），A′在直线BC上，由此得出BC的斜率，从而求出倾斜角．‎ ‎【解答】解：点A关于x轴的对称点为A′（﹣2，﹣），‎ A′在直线BC上，‎ ‎∴直线BC的斜率是 kBC===；‎ ‎∴直线BC的倾斜角是．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了轴对称问题，也考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的各个棱长都相等，E，F分别是棱AB，CD的中点，则EF与BC所成的角是（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【分析】由题意画出图形，取AC中点G，连接EG，GF，则∠GEF为EF与BC所成的角，设三棱锥A﹣BCD的各个棱长都是2，然后求解直角三角形得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 三棱锥A﹣BCD的各个棱长都相等，设为2，‎ 取AC中点G，连接EG，GF，则∠GEF为EF与BC所成的角，‎ 且EG=GF=1，BF=，‎ 正四面体A﹣BCD的高为，‎ 过E作EH⊥BF于H，则EH=，‎ ‎∴，‎ ‎∴△EGF是以∠EGF为直角的等腰直角三角形，则∠GEF=45°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力和思维能力，考查计算能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）点M（3，﹣1）是圆x2+y2﹣4x+y﹣2=0内一点，过点M最长的弦所在的直线方程为（　　）‎ A．x+3y=0 B．2x+3y﹣3=0 C．x+2y﹣1=0 D．x+2y﹣1=0‎ ‎【分析】由M为已知圆内一点，可知过M最长的弦为过M点的直径，故过点M最长的弦所在的直线方程为点M和圆心确定的直线方程，所以把圆的方程化为标准，找出圆心坐标，设出所求直线的方程，把M和求出的圆心坐标代入即可确定出直线的方程．‎ ‎【解答】解：把圆的方程x2+y2﹣4x+y﹣2=0化为标准方程得：‎ ‎（x﹣2）2+（y+）2=6.25，‎ 所以圆心坐标为（2，﹣），又M（3，0），‎ 根据题意可知：过点M最长的弦为圆的直径，‎ 则所求直线为过圆心和M的直线，设为y=kx+b，‎ ‎∴‎ 解得：k=﹣，b=1，‎ 则过点M最长的弦所在的直线方程是y=﹣x+1，即x+2y﹣1=0．‎ 故选：C ‎【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会将圆的方程化为标准方程，会利用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出所求直线为过圆心和M的直线是本题的突破点．属于基础题，‎ ‎　‎ ‎11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为BB1与平面ACD1所成角，‎ 直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．‎ ‎【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，‎ 则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，‎ 直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面 ACD1的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2=17内部的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】连续掷两次骰子，以先后得到的点数结果有36种，构成的点的坐标有36个，把这些点列举出来，检验是否满足x2+y2＜17，满足这个条件的点就在圆的内部，数出个数，根据古典概型个数得到结果．‎ ‎【解答】解：这是一个古典概型 由分步计数原理知：连续掷两次骰子，构成的点的坐标有6×6=36个，‎ 而满足x2+y2＜17的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）‎ 共有8个，‎ ‎∴P==，‎ 故选C．‎ ‎【点评】将数形结合的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏．比如，列举点的坐标时，我们把横标从小变大挨个列举．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0与圆x2+y2+2x﹣13=0相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为　x﹣2y+6=0　．‎ ‎【分析】直接利用圆系方程求解直线方程即可．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0与圆x2+y2+2x﹣13=0相交于P，Q两点，‎ 由圆系方程可知：直线PQ的方程为：x2+y2+4x﹣4y﹣1﹣（x2+y2+2x﹣13）=0‎ 即：x﹣2y+6=0．‎ 故答案为：x﹣2y+6=0．‎ ‎【点评】本题考查圆系方程的应用，直线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则sin（2）=　　．‎ ‎【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得sinα和cosα，进而由二倍角公式可得sin2α和cos2α，代入两角差的正弦公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：∵sinα﹣cosα=，sin2α+cos2α=1，‎ 又∵α∈（0，π），∴sinα≥0，‎ 解方程组可得，‎ ‎∴sin2α=2sinαcosα=，‎ cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，‎ ‎∴sin（2）=sin2α﹣cos2α=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知x，y满足则目标函数z=2x+y的最大值为　7.5　．‎ ‎【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．‎ ‎【解答】解：作出约束条件则的可行域如图，‎ 目标函数z=2x+y在的交点M（3.5，0.5）处取最大值为z=2×3.5+0.5=7.5．‎ 故答案为：7.5‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，则l被圆C截得的最短弦长为　4　．‎ ‎【分析】由于直线过定点M（3，1），点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，CM垂直于直线l，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0 即（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，过定点M（3，1），‎ 由于点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，CM垂直于直线l，CM==‎ l被圆C截得的最短弦长为2=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，直线过定点问题，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题6小题，第17小题10分，第18-22小题，每小题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）等比数列{an}中，a1=2，a4=16．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，试求数列{bn}的前项和Sn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设{an}的公比为q，由等比数列的通项公式，可得公比q，即可得到所求通项公式；‎ ‎（Ⅱ）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和首项，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设{an}的公比为q，‎ 由a1=2，a4=16得：‎ ‎16=2q3，解得q=2，‎ 又a1=2，‎ 所以an=a1qn﹣1=2•2n﹣1=2n；‎ ‎（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，‎ 则b4=8，b16=32，‎ 设{bn}的公差为d，‎ 则有 ，解得b1=d=2，‎ 则数列{bn}的前n项和Sn=2n+n（n﹣1）•2=n2+n．‎ ‎【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．‎ ‎（1）求证：BC1∥平面CA1D；‎ ‎（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B．‎ ‎【分析】（1）连接AC1，交A1C于点O，连接DO，先利用三角形中位线定理证明BC1∥DO，从而利用线面平行的判定定理证明所证结论；‎ ‎（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可．‎ ‎【解答】证明：如图，（1）连接AC1，交A1C于点O，连接DO 在△ABC1中，点D是AB的中点，点O是A1C的中点 ‎∴BC1∥DO，BC1⊈平面CA1D，DO⊆平面CA1D ‎∴BC1∥平面CA1D…（6分）‎ ‎（2）∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB ‎∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB ‎∴CD⊥平面AA1B1B，又CD⊂平面CA1D ‎∴平面CA1D⊥平面AA1B1B…（12分）‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系，线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性 ‎　‎ ‎19．（12分）已知直线m：2x﹣y﹣3=0与直线n：x+y﹣3=0的交点为P．‎ ‎（1）若直线l过点P，且点A（1，3）和点B（3，2）到直线l的距离相等，求直线l的方程；‎ ‎（2）若直线l1过点P且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l1的方程．‎ ‎【分析】（1）由直线m，n联立可得交点，由直线l与A，B的距离相等可知，l∥AB或l过AB的中点．‎ ‎（2）方法一：由题可知，直线l1的斜率k存在，且k＜0．则直线l1的方程为y=k（x﹣2）+1=kx﹣2k+1．分别求出直线的截距，即可得出．‎ 方法二：由题可知，直线l1的横、纵截距a、b存在，且a＞0、b＞0，则，又l1过点（2，1），△ABO的面积为4，可得，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由的交点为（2，1），‎ 由直线l与A，B的距离相等可知，l∥AB或l过AB的中点，‎ ‎∴由l∥AB得l的方程为，即x+2y﹣4=0，‎ 由l过AB的中点得l的方程为x=2，‎ 故x+2y﹣4=0或x=2为所求．‎ ‎（2）方法一：由题可知，直线l1的斜率k存在，且k＜0．‎ 则直线l1的方程为y=k（x﹣2）+1=kx﹣2k+1．‎ 令x=0，得y=1﹣2k＞0，‎ 令y=0，得，‎ ‎∴，解得，‎ 故l1的方程为．‎ 方法二：由题可知，直线l1的横、纵截距a、b存在，且a＞0、b＞0，则，又l1过点（2，1），△ABO的面积为4，‎ ‎∴，解得，故l1方程为，即．‎ ‎【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、直线的截距式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为2，求直线l的方程．‎ ‎【分析】（1）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有=，求出圆心及半径，可得圆C的方程；‎ ‎（2）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为2，分斜率是否存在两种情况，可得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设圆C的圆心坐标为（a，a），‎ 依题意，有=，…（2分）‎ 即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，…（4分）‎ 所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，‎ 所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4…（6分）．‎ ‎（2）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，‎ 所以直线x=2符合题意…（8分）‎ 设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，‎ 则=1，解得k=﹣，‎ 所以直线l的方程为y+2=﹣（x﹣2），即4x+3y﹣2=0…（10分）‎ 综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0…（12分）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是圆的方程，直线与圆的位置关系，难度中档．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表：‎ 零件的个数x（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y（小时）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）求出y关于x的线性回归方程=x+；‎ ‎（2）试预测加工10个零件需要多少小时？‎ ‎（参考公式：==；=﹣；）‎ ‎【分析】（1）由表中数据，计算平均数和回归系数，写出回归直线方程即可；‎ ‎（2）将x=10代入回归直线方程，计算对应的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）由表中数据得：==3.5，‎ ‎==3.5，‎ xiyi=52.5，‎ ‎=54，‎ ‎∴==0.7，‎ ‎∴=﹣=1.05，‎ ‎∴线性回归方程是=0.7x+1.05；‎ ‎（2）将x=10代入回归直线方程，‎ 得=0.7×10+1.05=8.05，‎ ‎∴预测加工10个零件需要8.05小时．‎ ‎【点评】本题考查了线性回归方程的计算与应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE，AC与BD交于点G．‎ ‎（1）求证：AE⊥平面BCE；‎ ‎（2）求证：AE∥平面BFD；‎ ‎（3）求三棱锥C﹣BFG的体积．‎ ‎【分析】（1）推导出AE⊥BC，AE⊥BF，由此能证明AE⊥平面BCE．‎ ‎（2）推导出CE⊥BF，FG∥AE，由此能证明AE∥平面BFD．‎ ‎（3）由VCBFG=VGBCF，能求出三棱锥C﹣BFG的体积．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，‎ ‎∴BC⊥平面ABE，‎ 又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC，‎ 又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF，‎ ‎∵BC∩BF=B，且BC，BF平面BCE，‎ ‎∴AE⊥平面BCE．…（4分）‎ ‎（2）∵矩形ABCD中，AC与BD交于点G．‎ ‎∴依题意可知点G是AC的中点．‎ 由BF⊥平面ACE，知CE⊥BF 而BC=BE，∴点F是EC中点．‎ ‎∴在△AEC中，FG∥AE 又∵FG⊂平面BFD，AE⊄平面BFD ‎∴AE∥平面BFD…（8分）‎ 解：（3）∵AE∥FG且AE⊥平面BCE ‎∴FG⊥平面BCE，即FG⊥平面BCF ‎∵点G是AC中点，F是CE中点，‎ ‎∴FG=AE=1‎ 又知RtBCE中，CE==‎ BF=CF=CE=‎ 所以SBCF==1‎ 所以VCBFG=VGBCF=SBCFFG=…（12分）‎ ‎【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ 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