2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二（实验班）下学期期末结业考试数学（文）试题 Word版

2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二（实验班）下学期期末结业考试数学（文）试题 Word版

衡阳八中2018年上期高二年级实验班结业考试试卷 文科数学（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高二年级实验班结业考试试卷，分两卷。其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色‎0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.设集合， ，则（ ）‎ A. {－1} B.{0,1,2,3} C. {1,2,3} D. {0,1,2}‎ ‎2.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎3.等差数列的前项和为，，且，则的公差（ ）‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎4.要想得到函数的图象，只需将的图像( )‎ A.向左平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向右平移个单位 ‎5.若正方形的边长为1，则在正方形内任取一点，该点到点的距离小于1的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（　）‎ A．（1，2] B．[2，+∞） C．（1，] D．[，+∞）‎ ‎8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到一种名为 “刍甍”的五面体，如图所示，四边形是矩形，棱，，，和都是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.函数的部分图象大致为（ ）‎ ‎10.公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出的值为24，则判断框中填入的条件可以为（ ）‎ ‎(参考数据：)‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.若存在(x,y)满足，且使得等式3x+a(2y-4ex)(lny-lnx)=0成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是( )‎ A. (－∞,0)∪[，+∞) B. [，+∞) C. (－∞,0) D. (0,]‎ ‎12.已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．[15，+∞） B． C．[1，+∞） D．[6，+∞）‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量，.若，则 ．‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，点P在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为，则椭圆的离心率为　 ．‎ ‎15.长方体的8个顶点都在球的表面上，为的中点，，，且四边形为正方形，则球的直径为 . ‎ ‎16.若函数，且在实数上有三个不同的零点，则实数__________． ‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知数列的首项为，且 . ‎ ‎（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图，正三棱柱中，为的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若点为四边形内部及其边界上的点，且三棱锥的体积为三棱柱体积的，试在图中画出点的轨迹，并说明理由.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3‎ ‎）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：‎ 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 ‎[0,0.1)‎ ‎[0.1,0.2)‎ ‎[0.2,0.3)‎ ‎[0.3,0.4)‎ ‎[0.4,0.5)‎ ‎[0.5,0.6)‎ ‎[0.6,0.7)‎ 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎26‎ ‎5‎ 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 ‎[0,0.1)‎ ‎[0.1,0.2)‎ ‎[0.2,0.3)‎ ‎[0.3,0.4)‎ ‎[0.4,0.5)‎ ‎[0.5,0.6)‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎5‎ ‎⑴在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：‎ ‎⑵估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于‎0.35m3‎的概率；‎ ‎⑶估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 在直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若斜率存在，纵截距为的直线与椭圆相交于两点，若直线的斜率均存在，求证：直线的斜率依次成等差数列．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；若存在极值点，求实数的取值范围.‎ 选考题 请考生从22、23题中任选一题作答，共10分 ‎22.（选修4-4.坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）.在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线 ： .‎ ‎（1）当 时，求 与 的交点的极坐标；‎ ‎（2）直线 与曲线 交于 ， 两点，且两点对应的参数 ， 互为相反数，求 的值.‎ ‎23.（选修4-5.不等式选讲）‎ 已知函数，其中为实数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ 衡阳八中2018年上期高二年级实验班结业考试文科数学参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A B A A A C D C B A ‎13.2‎ ‎14.﹣1‎ ‎15.4或 ‎16.‎ ‎17.‎ ‎.（Ⅰ）‎ ‎∵（2分）‎ 则数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，（4分）‎ ‎，即.（6分）‎ ‎（Ⅱ）‎ 由（Ⅰ）知，，.（7分）‎ ‎，（8分）‎ ‎，（9分）‎ ‎，（11分）‎ 则.（12分）‎ ‎18.‎ 解法一：（1）证明：取的中点，连接，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴所以．‎ ‎∵为正三角形，为的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，所以 正方形中，∵，∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，故，‎ 又∵，平面，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，∴．（6分）‎ ‎（Ⅱ）取中点，连接，则线段为点的运动轨迹．（8分）‎ 理由如下 ‎:‎ ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴到平面的距离为．‎ 所以．（12分）‎ 解法二：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，‎ 正三棱柱中，平面平面，‎ 平面平面，平面，‎ 因为为正三角形，为的中点，‎ 所以，从而平面，所以．‎ 正方形中，因为，所以，‎ 又因为，‎ 所以，故，‎ 又因为，平面，所以平面，‎ 又因为平面，所以．（6分）‎ ‎（2）取中点，连接，则线段为点的运动轨迹．（8分）‎ 理由如下．‎ 设三棱锥的高为，‎ 依题意 故．‎ 因为分别为中点，故，又因为平面，平面，‎ 所以平面，所以到平面的距离为．（12分）‎ ‎19.‎ ‎（1）‎ ‎（3分）‎ ‎（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于‎0.35m3‎的频率为 ‎0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，‎ 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于‎0.35m3‎的概率的估计值为0.48．（6分）‎ ‎（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 ‎．（8分）‎ 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 ‎．（10分）‎ 估计使用节水龙头后，一年可节省水．（12分）‎ ‎20.‎ ‎（1）由知 …………………4分 ‎（2）设，代入知 ‎ ‎ 设，则， ………………7分 ‎ ‎ ‎∴直线的斜率依次成等差数列。 ………………12分 ‎21.‎ ‎（Ⅰ）依题意，，所以，‎ 因为与直线：垂直，得，解得．（5分） ‎ ‎（Ⅱ）因为．‎ 当时，在上恒成立，所以的单调递增区间为，无递减区间；（7分）‎ 当时，由，，解得；（8分）‎ 由，，解得；‎ 由，，解得；‎ 此时的单调递增区间为，的单调递减区间为．‎ 综上所述，当时，的单调递增区间为，无递减区间；‎ 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为．（9分） ‎ 若存在极值点，由函数的单调性知，且；‎ 由，解得．（11分）‎ 所以所求实数的取值范围为．（12分） ‎ ‎22.‎ 解法一：（Ⅰ）由，可得，‎ 所以，即，‎ 当时，直线的参数方程（为参数），化为直角坐标方程为，‎ 联立解得交点为或，‎ 化为极坐标为，（5分）‎ ‎（2）由已知直线恒过定点，又，由参数方程的几何意义知是线段的中 点，曲线是以为圆心，半径的圆，且，‎ 由垂径定理知：．（10分）‎ 解法二：（1）依题意可知，直线的极坐标方程为，‎ 当时，联立 解得交点，‎ 当时，经检验满足两方程，‎ 当时，无交点；‎ 综上，曲线与直线的点极坐标为，．（5分）‎ ‎（2）把直线的参数方程代入曲线，得，‎ 可知，，‎ 所以．（10分）‎ ‎23.‎ ‎（1）时，，‎ 故，即不等式的解集是；（5分）‎ ‎（2）时，，‎ 当时，，显然满足条件，此时为任意值；‎ 当时，；‎ 当时，可得或，求得；‎ 综上，.（10分）‎