高三物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第3节圆周运动教师用书
第 3 节 圆周运动
考点一| 圆周运动的基本概念
1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．
v＝Δs
Δt
＝2πr
T
.
2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
ω＝Δθ
Δt
＝2π
T
.
3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
T＝2πr
v
，T＝1
f
.
4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．
an＝v2
r
＝rω2＝ωv＝4π2
T2 r.
5．相互关系：(1)v＝ωr＝2π
T
r＝2πrf.
(2)an＝v2
r
＝rω2＝ωv＝4π2
T2 r＝4π2f2r.
(2016·浙江 4 月学考)如图 431 为某中国运动员在短道速滑比赛中勇夺金牌
的精彩瞬间．假定此时他正沿圆弧形弯道匀速率滑行，则他( )
图 431
A．所受的合力为零，做匀速运动
B．所受的合力恒定，做匀加速运动
C．所受的合力恒定，做变加速运动
D．所受的合力变化，做变加速运动
D [运动员做匀速圆周运动，其加速度指向圆心，方向时刻变化，为变加速运动，合力
也指向圆心，方向时刻变化．D 正确．]
(2016·浙江 10 月学考)在“G20”峰会“最忆是杭州”的文艺演出中，芭蕾舞
演员保持如图 432 所示姿式原地旋转，此时手臂上 A、B 两点角速度大小分别为ωA、ωB，
线速度大小分别为 vA、vB，则( )
图 432
A．ωA<ωB B．ωA>ωB
C．vA
vB
D [该模型为同轴转动模型，可以得出角速度一样，因此半径大的点线速度大，所以 A、
B 两点角速度一样，线速度 A 处大于 B 处．故选 D.]
1．对公式 v＝ωr 的理解
(1)当 r 一定时，v 与ω成正比；
(2)当ω一定时，v 与 r 成正比；
(3)当 v 一定时，ω与 r 成反比．
2．常见的三种传动方式及特点
(1)皮带传动：如图 433 所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小
相等，即 vA＝vB.
图 433
(2)摩擦传动：如图 434 甲所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线
速度大小相等，即 vA＝vB.
图 434
(3)同轴传动：如图乙、丙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由 v
＝ωr 知 v 与 r 成正比．
1．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中不正确的是( )
A．相等的时间内通过的路程相等
B．相等的时间内通过的弧长相等
C．相等的时间内通过的位移相等
D．相等的时间内转过的角度相等
C [匀速圆周运动是指线速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过路程相等，
弧长相等，转过的角度也相等，故选项 A、B、D 正确；相等的时间内通过的位移方向不同，
由于位移是矢量，因此位移不相等，故选项 C 错误．]
2.皮带传动装置如图 435 所示，两轮的半径不相等，传动过程中皮带不打滑．关于两
轮边缘上的点，下列说法正确的是( )
图 435
【导学号：81370156】
A．周期相同
B．角速度相等
C．线速度大小相等
D．向心加速度相等
C [皮带不打滑时，皮带上各点的线速度大小相等，C 正确．]
3.如图 436 所示，当正方形薄板绕着过其中心 O 并与板垂直的转动轴转动时，板上 A、
B 两点( )
图 436
A．角速度之比ωA∶ωB＝ 2∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶ 2
C．线速度之比 vA∶vB＝ 2∶1
D．线速度之比 vA∶vB＝1∶ 2
D [板上 A、B 两点的角速度相等，角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，选项 A、B 错误；线速
度 v＝ωr，线速度之比 vA∶vB＝1∶ 2，选项 C 错误，D 正确．]
4．(加试要求)如图 437 是自行车传动装置的示意图，其中Ⅰ是半径为 r1 的大齿轮，
Ⅱ是半径为 r2 的小齿轮，Ⅲ是半径为 r3 的后轮，假设脚踏板的转速为 n r/s，则自行车前进
的速度为( )
图 437
A.πnr1r3
r2
B.πnr2r3
r1
C.2πnr2r3
r1
D.2πnr1r3
r2
D [因为要计算自行车前进的速度，即车轮Ⅲ边缘上的线速度的大小，根据题意知：轮
Ⅰ和轮Ⅱ边缘上的线速度的大小相等，据 v＝rω可知：r1ω1＝r2ω2，已知ω1＝ω，则轮Ⅱ
的角速度ω2＝r1
r2
ω，因为轮Ⅱ和轮Ⅲ共轴，所以转动的角速度相等即ω3＝ω2，根据 v＝rω
可知，v3＝r3ω3＝ωr1r3
r2
＝2πnr1r3
r2
.]
考点二| 圆周运动中的动力学分析
1．匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
(2)大小
F＝mv2
r
＝mω2r＝m4π2
T2 r＝mωv＝4π2mf2r.
(3)方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
(4)来源(加试要求)
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
2．离心现象的受力特点(只必考要求)
图 438
当 F＝mrω2 时，物体做匀速圆周运动；
当 F＝0 时，物体沿切线方向飞出；当 FFC D．FB>FC
B [在平直公路上行驶时，重力等于支持力，由牛顿第三定律知，压力等于支持力，所
以压力 FA＝mg；汽车到达 B 点时，有向下的加速度，汽车失重，故支持力小于重力，因而压
力小于重力；在 C 点时与在 B 点时相反，压力大于重力，所以 FC>FA>FB，故 B 正确．]
2．(2017·通化高三检测)如图 4310 所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体
一起运动，充当向心力的是( )
图 4310
A．重力 B．弹力
C．静摩擦力 D．滑动摩擦力
B [物体在竖直方向上受重力和静摩擦力作用，两力平衡，在水平方向上受弹力作用，
弹力充当向心力，B 正确．]
3．(2017·绍兴市调研)奥运会单杠比赛中有一个“单臂大回环”的动作，难度系数非
常大．假设运动员质量为 m，单臂抓杠杆身体下垂时，手掌到人体重心的距离为 l.如图 4311
所示，在运动员单臂回转从顶点倒立转至最低点过程中，可将人体视为质量集中于重心的质
点，且不考虑手掌与单杠间的摩擦力，重力加速度为 g，若运动员在最低点的速度为 2 gl，
则运动员的手臂拉力为自身重力的( )
【导学号：81370158】
图 4311
A．2 倍 B．3 倍
C．4 倍 D．5 倍
D [对运动员在最低点受力分析，由牛顿第二定律可得，F－mg＝mv2
l
，解得，F＝5mg，
D 项正确．]
4．(加试要求)在云南省某些地方到现在还要依靠滑铁索过江，若把这滑铁索过江简化
成如图 4312 所示的模型，铁索的两个固定点 A、B 在同一水平面内，A、B 间的距离为 L
＝80 m，铁索的最低点离 A、B 连线的垂直距离为 H＝8 m，若把铁索看做是圆弧，已知一质
量 m＝52 kg 的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点时的速度为 10 m/s，那么( )
图 4312
A．人在整个铁索上的运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得铁索的圆弧半径为 100 m
C．人在滑到最低点时，滑轮对铁索的压力为 570 N
D．人在滑到最低点时，滑轮对铁索的压力为 50 N
C [人借助滑轮下滑过程中，其速度是逐渐增大的，因此人在整个铁索上的运动不能看
成匀速圆周运动；设圆弧的半径为 r，由几何关系，有：(r－H)2＋
L
2 2＝r2，解得 r＝104 m；
人在滑到最低点时，根据牛顿第二定律得：FN－mg＝mv2
r
，解得 FN＝570 N，选项 C 正确．]
考点三| 竖直面内圆周运动的临界问题
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有
支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见类型
过最高点的
临界条件
由 mg＝m v2
r
得 v 临＝ gr 由小球恰能做圆周运动得 v 临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥ gr，FN＋mg
＝mv2
r
，绳、圆轨道对球产生弹力
FN
(2)不能过最高点时，v< gr，在到
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN 为支持力，
沿半径背离圆心
(2)当 0 gr时，FN＋mg＝mv2
r
，FN 指向圆
心并随 v 的增大而增大
(2016·浙江 4 月学考)如图 4313 所示，装置由一理想弹簧发射器及两个轨
道组成．其中轨道Ⅰ由光滑轨道 AB 与粗糙直轨道 BC 平滑连接，高度差分别是 h1＝0.20 m、
h2＝0.10 m，BC 水平距离 L＝1.00 m．轨道Ⅱ由 AE、螺旋圆形 EFG 和 GB 三段光滑轨道平滑
连接而成，且 A 点与 F 点等高．当弹簧压缩量为 d 时，恰能使质量 m＝0.05 kg 的滑块沿轨
道Ⅰ上升到 B 点；当弹簧压缩量为 2d 时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到 C 点．(已知弹簧弹性
势能与压缩量的平方成正比)
图 4313
当弹簧压缩量为 d 时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到 B 点？请通过计算说明理由.
【导学号：81370159】
【解析】 恰能通过圆环最高点，需满足的条件是 mg＝mv2
Rm
①
由弹簧压缩量为 d 时，恰好使滑块上升到 B 点得 EpA＝mgh1 ②
沿轨道Ⅱ运动时由 A 到 F 机械能守恒 EpA＝1
2
mv2 ③
①②③联立解得 v＝2 m/s，Rm＝0.4 m
当 R>Rm＝0.4 m 时，滑块会脱离螺旋轨道，不能上升到 B 点．
【答案】 见解析
1．(多选)(2016·台州市六校高二联考)如图 4314 所示甲、乙、丙、丁是游乐场中比
较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨
道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了
轨道上，四个图中轨道的半径都为 R，下列说法正确的是( )
图 4314
A．甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力
B．乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力
C．丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力
D．丁图中，轨道车过最高点的最小速度为 gR
BC [在甲图中，当速度比较小时，根据牛顿第二定律得，mg－FN＝mv2
R
，即座椅给人施
加向上的力，当速度比较大时，根据牛顿第二定律得，mg＋FN＝mv2
R
，即座椅给人施加向下的
力，故 A 错误；在乙图中，因为合力指向圆心，重力竖直向下，所以安全带一定给人向上的
力，故 B 正确；在丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，合力方向向上，重力
竖直向下，则座椅给人的作用力一定竖直向上，故 C 正确；在丁图中，由于轨道车有安全锁，
可知轨道车在最高点的最小速度为零，故 D 错误．]
2．(2017·东阳模拟)一轻杆一端固定质量为 m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球在
竖直面内做半径为 R 的圆周运动，如图 4315 所示，则下列说法正确的是( )
图 4315
【导学号：81370160】
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是 gR
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
A [轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高
点的速度 v＝ gR时，杆所受的弹力等于零，A 正确，B 错误；若 v< gR，则杆在最高点对小
球的弹力竖直向上，mg－F＝mv2
R
，随 v 增大，F 减小，若 v> gR，则杆在最高点对小球的弹
力竖直向下，mg＋F＝mv2
R
，随 v 增大，F 增大，故 C、D 均错误．]
3．长度为 1 m 的轻杆 OA 的 A 端有一质量为 2 kg 的小球，以 O 点为圆心，在竖直平面
内做圆周运动，如图 4316 所示，小球通过最高点时的速度为 3 m/s，g 取 10 m/s2，则此
时小球将( )
图 4316
A．受到 18 N 的拉力
B．受到 38 N 的支持力
C．受到 2 N 的拉力
D．受到 2 N 的支持力
D [设此时轻杆拉力大小为 F，根据向心力公式有 F＋mg＝mv2
r
，代入数值可得 F＝－2 N，
表示受到 2 N 的支持力，选项 D 正确．]
4.如图 4317 所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半
径为 R，小球半径为 r，则下列说法正确的是( )
图 4317
【导学号：81370161】
A．小球通过最高点时的最小速度 vmin＝ g R＋r
B．小球通过最高点时的最小速度 vmin＝ gR
C．小球在水平线 ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线 ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
C [小球沿光滑圆形管道上升，到达最高点的速度可以为零，A、B 选项均错误；小球在水
平线 ab 以下的管道中运动时，由于重力的方向竖直向下，向心力方向斜向上，必须受外侧
管壁指向圆心的作用力，C 正确；小球在水平线 ab 以上的管道中运动时，由于重力有指向
圆心的分量，若速度较小，小球可不受外侧管壁的作用力，D 错误．]
