2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十五合情推理与演绎推理理北师大版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十五合情推理与演绎推理理北师大版

核心素养测评三十五 合情推理与演绎推理 ‎(20分钟　40分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2020·钦州模拟)平面内,圆有如下性质:“圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦”,由此类比可以得到空间中,球有如下性质 (　　)‎ A.球心与弦(非直径)的中点连线垂直于弦 B.球心与该球小圆圆心的连线垂直于小圆 C.与球心距离相等的弦长相等　‎ D.与球心距离相等的小圆面积相等 ‎【解析】选B.圆心对应球心,弦对应小圆,弦中点对应小圆圆心,根据类比推理则有:球心与该球小圆圆心的连线垂直于小圆.‎ ‎2.设三角形ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知:若四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,四面体S-ABC的体积为V,则r等于 (　　)‎ A.　　　　 B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选C.设四面体的内切球的球心为O,则V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC,‎ 即V=S1r+S2r+S3r+S4r,‎ 所以r=.‎ ‎3.(2019·安庆模拟)某中学在高二下学期开设四门数学选修课,分别为《数学史选讲》《球面上的几何》《对称与群》《矩阵与变换》.现有甲、乙、丙、丁四位同学从这四门选修课程中选修一门,且这四位同学选修的课程互不相同,下面关于他们选课的一些信息:①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》,也不选《对称与群》:②乙同学不选《对称与群》,也不选《数学史选讲》:③如果甲同学不选《数学史选讲》,那么丁同学就不选《对称与群》.若这些信息都是正确的,则丙同学选修的课程是 (　　)‎ - 6 -‎ A.《数学史选讲》　 B.《球面上的几何》‎ C.《对称与群》　　 D.《矩阵与变换》‎ ‎【解析】选D.由信息①可得,甲、丙选择《矩阵与变换》和《数学史选讲》;由信息②可得,乙选择《矩阵与变换》或《球面上的几何》.第一种可能:当甲选择《矩阵与变换》时,则丙选择《数学史选讲》,乙选择《球面上的几何》,丁选择《对称与群》,与信息③矛盾,不合题意;‎ 第二种可能:当甲选择《数学史选讲》时,则丙选择《矩阵与变换》,乙选择《球面上的几何》,丁选择《对称与群》,符合题意.综上可得丙同学选修的课程是《矩阵与变换》.‎ ‎【变式备选】‎ 在一次数学单元测验中,甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下,甲:我没考满分;乙:丙考了满分;丙:丁考了满分;丁:我没考满分,其中只有一名考生说的是真话,则考得满分的考生是 (　　)‎ A.甲　 B.乙　　 C.丙　　 D.丁 ‎【解析】选A.若甲考满分,则甲、乙、丙说的都是假话,丁说的是真话,符合题意;‎ 若乙考满分,则乙、丙说的是假话,甲和丁说的是真话,不合题意;‎ 若丙考满分,则甲、乙、丁说的都是真话,丙说的是假话,不合题意;‎ 若丁考满分,则甲、丙说的真话,乙、丁说的假话,不合题意.综上,甲考满分.‎ ‎4.我国的刺绣有着悠久的历史,如图所示的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形,则f(n)的表达式为 (　　)‎ A.f(n)=2n-1　　　 B.f(n)=2n2‎ C.f(n)=2n2-2n D.f(n)=2n2-2n+1‎ ‎【解析】选D. 我们考虑f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,…,结合图形不难得到f(n)-f(n-1)=4(n-1),累加得f(n)-f(1)=2n(n-1)=2n2-2n,故f(n)=2n2-2n+1.‎ ‎5.(2020·泸州模拟)已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,….其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,以此类推,记此数列为{an},则a2 019= (　　)‎ A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.8‎ - 6 -‎ ‎【解析】选C.将所给的数列分组:第1组为20,第2组为20,21,第三组为:20,21,22,…,‎ 则数列的前n组共有项,由于=2 016,‎ 故数列的前63组共有2 016项,‎ 数列的第2 017项为20,数列的第2 018项为21,数列的第2 019项为22,所以a2 019=4.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.(2019·丰台模拟)已知数列{an}的通项an=2n-1,把{an}中的各项按照一定的顺序排列成如图所示的三角形数阵.‎ ‎　　 1‎ ‎　　3　5‎ ‎　7　9　11‎ ‎13　15　17　19‎ ‎　　 ……‎ ‎(1)数阵中第5行所有项的和为________________. ‎ ‎(2)2 019是数阵中第i行的第j列,则i+j=________________. ‎ ‎【解析】(1)21+23+25+27+29=125.‎ ‎(2)2n-1=2 019,n=1 010,1+2+3+…+44=990,‎ 故i=44+1=45,j=1 010-990=20,i+j=65.‎ 答案:(1)125　(2)65‎ ‎7.(2020·孝感模拟)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,则其四维测度W=________________. ‎ ‎【解析】二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,(πr2)′=2πr,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,′=4πr2,四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,因为(2πr4)′=8πr3,所以“超球”的四维测度W=2πr4.‎ 答案:2πr4‎ - 6 -‎ ‎8.(2020·佛山模拟)我国古代数学名著《九章算术》记载:“勾股各自乘,并之,为弦实”,用符号表示为a2+b2=c2(a,b,c∈N*),把a,b,c叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此类推,可猜测第5组勾股数的第二个数是________________.  ‎ ‎【解析】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11,第二、三个数为相邻的两个整数,‎ 可设为x,x+1,所以(x+1)2=112+x2,即x=60,‎ 所以第5组勾股数的三个数依次是11,60,61.‎ 答案:60‎ ‎(15分钟　25分)‎ ‎1.(5分)图①是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图②是第1代“勾股树”,重复图②的作法,得到图③为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为 (　　)‎ A.n　 B.n2 C.n-1　 D.n+1‎ ‎【解析】选D.最大的正方形面积为1,当n=1时,由勾股定理知正方形面积的和为2,依次类推,可得所有正方形面积的和为n+1.‎ ‎2.(5分)如图所示椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于 (　　)‎ A. B. C.-1 D.+1‎ ‎【解析】选A.设“黄金双曲线”方程为-=1(a>0,b>0),则B(0,b),F(-c,0),A(a,0).‎ - 6 -‎ 在“黄金双曲线”中因为⊥,所以·=0.‎ 又=(c,b),=(-a,b).‎ 所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac.‎ 在等号两边同除以a2,得e=(负值舍去).‎ ‎3.(5分)(2020·清华附中模拟)地铁某换乘站设有编号为A,B,C,D,E的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间如下:‎ 安全出口编号 A,B B,C C,D D,E A,E 疏散乘客时间(s)‎ ‎120‎ ‎220‎ ‎160‎ ‎140‎ ‎200‎ 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是(　　)‎ A.A B.B C.D D.E ‎【解析】选C.同时开放A、E两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为 ‎200 s,‎ 同时开放D、E两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为140 s,‎ 得到D疏散乘客比A快;‎ 同时开放A、E两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为200 s,‎ 同时开放A、B两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为120 s,‎ 得到B疏散乘客比E快;‎ 同时开放A、B两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为120 s,‎ 同时开放B、C两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为220 s,‎ 得到A疏散乘客比C快;‎ 同时开放B、C两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为220 s,‎ 同时开放C、D两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为160 s,‎ 得到D疏散乘客比B快.‎ 综上,疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D.‎ ‎4.(10分)(2019·龙岩模拟)已知函数f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1), ‎ ‎(1)若f(1)·g(2)+f(2)·g(1)=g(k),求实数k的值.‎ - 6 -‎ ‎(2)能否从(1)的结论中获得启示,猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想.‎ ‎【解析】(1)f(1)·g(2)+f(2)·g(1)=×+×=+==g(3),‎ 因为函数g(x)是单调函数,所以k=3.‎ ‎(2)由g(3)=g(1+2)=f(1)·g(2)+f(2)·g(1),‎ 猜想:g(x+y)=f(x)·g(y)+f(y)·g(x).‎ 证明:f(x)·g(y)+f(y)·g(x)=×+×=+==g(x+y),‎ 所以g(x+y)=f(x)·g(y)+f(y)·g(x).‎ - 6 -‎