2021版高考数学一轮复习核心素养测评十三利用导数研究函数的单调性新人教B版 0
核心素养测评十三 利用导数研究函数的单调性
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数y=f(x)=x3-x2+的图象大致是 ( )
【解析】选A.因为f(0)=,所以排除C;因为f′(x)=3x2-2x,令f′(x)>0,所以
x∈(-∞,0)或 x∈时f(x)单调递增,令f′(x)<0,所以x∈时f(x)单调递减,排除B,D.
2.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 ( )
A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex
C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x
【解析】选B.对于A,f(x)=sin 2x的单调递增区间是(k∈Z);对于B,f′(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)=xex在(0,+∞)上为增函数;对于C,f′(x)=3x2-1,令f′(x)>0,得x>或x<-,所以函数f(x)=x3-x在和上单调递增;对于D,f′(x)=-1+=-,令f′(x)>0,得0
0 C.a≤0 D.a<0
【解析】选A.因为f(x)==ax-,
所以f′(x)=a+.
因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,
所以f′(x)=a+≥0在(0,+∞)上恒成立且不恒为零,即a≥-在(0,+∞)上恒成立且不恒为零,所以a≥0.
【变式备选】
若函数f(x)=kex+x在(0,+∞)上单调递减,则k的范围为 ( )
A.k≥-1 B.k≤-1 C.k≥1 D.k≤1
【解析】选B.f′(x)=kex+1.
由题意得kex+1≤0在(0,+∞)上恒成立,
即k≤-,x∈(0,+∞).
当x∈(0,+∞)时,-∈(-1,0),
所以k≤-1.
5.(多选)(2020·济南模拟)定义在(0,+∞)上的函数f的导函数为f′,且
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f′-f5
B.若f=2,x>1,则f>x2+x+
C.f-2f<7
D.若f=2,0x2+x+
【解析】选CD.设函数g=,
则g′=
=,
因为f′-fg>g,整理得2f-3f<5,f-2f<7,故A错误,C正确.
当0g=,即>,即f>x2+x+.故D正确,从而B不正确.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf′(x)≥0的解集
为________.
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【解析】由f(x)图象特征可得,在和[2,+∞)上f′(x)≥0, 在上f′(x)<0,所以xf′(x)≥0等价于或解得0≤x≤或x≥2,所以xf′(x)≥0的解集为∪[2,+∞).
答案:∪[2,+∞)
【变式备选】
设函数y=f(x),x∈[a,b]其导函数的图象如图所示,则函数y=f(x)的单调递减区间是________.
【解析】因为函数y=f(x)的减区间是导函数小于零的区间,由题干图知函数y=f(x)的单调递减区间是(x2,x4).
答案:(x2,x4)
7.已知函数f(x)=ax+ln x,则当a<0时, f(x)的单调递增区间是________,单调递减区间是________.
【解析】由已知得f(x)的定义域为(0,+∞).
当a<0时,因为f ′(x)=a+=,
所以当x>-时,f ′(x)<0,当00,所以f(x)的单调递增区间为
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,单调递减区间为.
答案:
8.已知函数f=aex-ln x-1,设x=1是f的极值点,则a=________,f的单调增区间为________.
【解析】由题意可得:f′=aex-,因为x=1是f的极值点,
所以f′=ae-1=0⇒a=,
即f=ex-1-ln x-1⇒f′=ex-1-,
令f′>0,可得x>1,所以f的单调递增区间为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.
(1)求a,b的值.
(2)求函数f(x)的单调区间.
【解析】(1)因为函数f(x)的图象过点P(1,2),
所以f(1)=2.所以a+b=1.①
又函数图象在点P处的切线斜率为8,
所以f ′(1)=8.又f ′(x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=5.②
解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.
(2)由(1)得f ′(x)=3x2+8x-3,
令f ′(x)>0,可得x<-3或x>;
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令f ′(x)<0,可得-30得x>-1,
由f′(x)<0得x<-1,
所以f(x)在(-∞,-1)上递减,
在(-1,+∞)上递增.
②当-0得x-1,由f′(x)<0得ln(-a)0得x<-1或x>ln(-a),由f′(x)<0得-10).
由y′>0,可得1-3x2>0,即02时,F(x)<0,即f(x)0,即f(x)>x+4.
答案:(2,+∞)
【变式备选】
函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集
为__________.
【解析】由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F′(x)=f′(x)-2,因为f′(x)>2,所以F′(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增,而F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.
答案:(-1,+∞)
4.(10分)已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
(2)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求a的取值范围.
(3)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.
【解析】(1)因为f ′(x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,所以
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f ′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3].
(2)由题意得f ′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,所以a≥3x2在(-1,1)上恒成立.因为-10.因为f(x)=x3-ax-1,
所以f ′(x)=3x2-a.
由f ′(x)=0,得x=±,
因为f(x)在区间(-1,1)上单调递减,
所以=1,即a=3.
5.(10分)已知函数f(x)=x2+(a+1)x+2ln(x-1).
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线2x-y+1=0平行,求出这条切线的方程.
(2)讨论函数f(x)的单调区间.
【解析】 (1)f′(x)=ax+a+1+,
得切线斜率为k=f′(2)=3a+3,
据题设,k=2,所以a=-,故有f(2)=,
所以切线方程为y-f(2)=2(x-2),
即6x-3y-10=0.
(2)f′(x)=ax+a+1+
==(x>1).
当a=0时,f′(x)=,
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由于x>1,所以f′(x)=>0,可知函数f(x)在定义区间(1,+∞)上单调递增,
当a≠0时,f′(x)=.
若a>0,则<1,
可知当x>1时,有f′(x)>0,
函数f(x)在定义区间(1,+∞)上单调递增,
若a<0,则>1,
得当x∈时,f′(x)>0;
当x∈时,f′(x)<0.
所以,函数f(x)在区间上单调递增,
在区间上单调递减.
综上,当a≥0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为,递减区间为.
定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)+1>0,f(2)=,则不等式
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f(lg x)<+4的解集为 ( )
A.(10,100) B.(0,100)
C.(100,+∞) D.(1,100)
【解析】选D.令g(x)=f(x)-,
则g′(x)=f′(x)+>0,
g(x)在(0,+∞)上递增,
而g(2)=f(2)- =4,
故由f(lg x)<+4,得g(lg x)
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