数学卷·2018届江苏省无锡市普通高中高三上学期期末考试(2018

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数学卷·2018届江苏省无锡市普通高中高三上学期期末考试(2018

无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷 数学 一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.)‎ ‎1.已知集合,,若,则实数 .‎ ‎2.若复数(,为虚数单位)是纯虚数,则实数 .‎ ‎3.某高中共有学生2800人,其中高一年级960人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为 .‎ ‎4.已知,直线,,则直线的概率为 .‎ ‎5.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的的值为 .‎ ‎6.直三棱柱中,已知,,,,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 .‎ ‎7.已知变量满足,目标函数的最小值为5,则的值为 .‎ ‎8.函数的图像向右平移个单位后,与函数的图像重合,则 .‎ ‎9.已知等比数列满足,且,,成等差数列,则的最大值为 .‎ ‎10.过圆内一点作两条相互垂直的弦和,且,则四边形的面积为 .‎ ‎11.已知双曲线与椭圆的焦点重合,离心率互为倒数,设分别为双曲线的左,右焦点,为右支上任意一点,则的最小值为 .‎ ‎12.在平行四边形中,,,,为的中点,为平面内一点,若,则 .‎ ‎13.已知函数,.若存在,使得,则实数的取值范围是 .‎ ‎14.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是 .‎ 二、解答题 (本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.如图,是菱形,平面,,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:平面.‎ ‎16.在中,角的对边分别为,,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求的周长.‎ ‎17.如图,点为某沿海城市的高速公路出入口,直线为海岸线,,,是以为圆心,半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线,其中为上异于的一点,与平行,设.‎ ‎(1)证明:观光专线的总长度随的增大而减小;‎ ‎(2)已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时,观光专线的修建总成本最低?请说明理由.‎ ‎18.已知椭圆的离心率为,分别为左,右焦点,分别为左,右顶点,原点到直线的距离为.设点在第一象限,且轴,连接交椭圆于点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若三角形的面积等于四边形的面积,求直线的方程;‎ ‎(3)求过点的圆方程(结果用表示).‎ ‎19.已知数列满足,,是数列的前项的和.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,,成等差数列,,18,成等比数列,求正整数的值;‎ ‎(3)是否存在,使得为数列中的项?若存在,求出所有满足条件的的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎20.已知函数,,其中.‎ ‎(1)求过点和函数的图像相切的直线方程;‎ ‎(2)若对任意,有恒成立,求的取值范围;‎ ‎(3)若存在唯一的整数,使得,求的取值范围.‎ 数学(加试题)‎ 说明:解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎21.选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵,若矩阵属于特征值的一个特征向量为,‎ 属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(是参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆的极坐标方程是,且直线与圆相交,求实数的取值范围.‎ ‎23.某公司有四辆汽车,其中车的车牌尾号为0,两辆车的车牌尾号为6,车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车.已知两辆汽车每天出车的概率为,两辆汽车每天出车的概率为,且四辆汽车是否出车是相互独立的.‎ 该公司所在地区汽车限行规定如下:‎ ‎(1)求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率;‎ ‎(2)设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求的分布列和数学期望.‎ ‎24.在四棱锥中,是等边三角形,底面是直角梯形,,,是线段的中点,底面,已知.‎ ‎(1)求二面角的正弦值;‎ ‎(2)试在平面上找一点,使得平面.‎ 试卷答案 一、填空题 ‎1.3 2.6 3.47 4. 5.21 6. 7.5 8. 9.1024 10.19 11.8 12.6 13. 14. ‎ 二、简答题(本大题共6小题,共90分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.解:(1)证明:因为平面,所以.‎ 因为是菱形,所以,‎ 因为 所以平面.‎ ‎(2)证明:设,取中点,连结,‎ 所以,且.‎ 因为,,所以且,‎ 从而四边形是平行四边形,.‎ 因为平面,平面,‎ 所以平面,即平面.‎ ‎16.解:(1)因为,‎ 所以 ‎.‎ 在中,因为,所以,‎ 因为,所以,‎ 所以.‎ ‎(2)根据正弦定理,所以,‎ 又,所以,.‎ ‎,.‎ 所以的周长为15.‎ ‎17.解:(1)由题意,,所以,‎ 又,‎ 所以观光专线的总长度 ‎,,‎ 因为当时,,‎ 所以在上单调递减,‎ 即观光专线的总长度随的增大而减小.‎ ‎(2)设翻新道路的单位成本为,‎ 则总成本,,‎ ‎,‎ 令,得,因为,所以,‎ 当时,,当时,.‎ 所以,当时,最小.‎ 答:当时,观光专线的修建总成本最低.‎ ‎18.解:(1)因为椭圆的离心率为,‎ 所以,,‎ 所以直线的方程为,‎ 又到直线的距离为,所以,‎ 所以,,‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)设,,‎ 直线的方程为,‎ 由,整理得,‎ 解得:,则点的坐标是,‎ 因为三角形的面积等于四边形的面积,所以三角形的面积等于三角形的面积,‎ ‎,‎ ‎,‎ 则,解得.‎ 所以直线的方程为.‎ ‎(3)因为,,,‎ 所以的垂直平分线,‎ 的垂直平分线为,‎ 所以过三点的圆的圆心为,‎ 则过三点的圆方程为,‎ 即所求圆方程为.‎ ‎19.解:(1)因为,,‎ 所以当时,,,‎ 当时,‎ 由和,‎ 两式相除可得,,即 所以,数列是首项为2,公差为1的等差数列.‎ 于是,.‎ ‎(2)因为,30,成等差数列,,18,成等比数列,‎ 所以,于是,或.‎ 当时,,解得,‎ 当时,,无正整数解,‎ 所以,.‎ ‎(3)假设存在满足条件的正整数,使得,‎ 则,‎ 平方并化简得,,‎ 则,‎ 所以,或,或,‎ 解得:,或,,,(舍去),‎ 综上所述,或14.‎ ‎20.(1)设切点为,,则切线斜率为,‎ 所以切线方程为,因为切线过,‎ 所以,‎ 化简得,解得.‎ 当时,切线方程为,‎ 当时,切线方程为.‎ ‎(2)由题意,对任意有恒成立,‎ ‎①当时,,‎ 令,则,令得,‎ ‎,故此时.‎ ‎②当时,恒成立,故此时.‎ ‎③当时,,‎ 令,‎ ‎,故此时.综上:.‎ ‎(3)因为,即,‎ 由(2)知,‎ 令,则 当,存在唯一的整数使得,‎ 等价于存在唯一的整数成立,‎ 因为最大,,,所以当时,至少有两个整数成立,‎ 所以.‎ 当,存在唯一的整数使得,‎ 等价于存在唯一的整数成立,‎ 因为最小,且,,所以当时,至少有两个整数成立,‎ 所以当时,没有整数成立,所有.‎ 综上:.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21.解:由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得,‎ ‎,即;‎ 得,‎ 由矩阵属于特征值的一个特征向量为,‎ 可得,即;‎ 得,‎ 解得.即,‎ ‎22.解:由,得,所以,‎ 即圆的方程为,‎ 又由,消,得,‎ 由直线与圆相交,‎ 所以,即.‎ ‎23.解:(1)记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件,‎ 则:该公司在星期四最多有一辆汽车出车 ‎.‎ ‎∴.‎ 答:该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.‎ ‎(2)由题意,的可能值为0,1,2,3,4‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎.‎ ‎.‎ 答:的数学期望为.‎ ‎24.解:(1)因为底面,过作,则,‎ 以为坐标原点,方向为轴的正半轴,‎ 方向为轴的正半轴,方向为轴的正半轴建立空间直角坐标系,‎ 则,,,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 设平面的法向量为,则,‎ ‎,解得,又平面的法向量为,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎(2)设点的坐标为,因为平面,‎ 所以,即,也即,,‎ 又,,,‎ 所以,‎ 所以得,,即,‎ ‎,,所以,‎ 所以点的坐标为.‎
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