2018届二轮复习利用导数研究生活中的优化问题学案（全国通用）

2018届二轮复习利用导数研究生活中的优化问题学案（全国通用）

专题6 利用导数研究生活中的优化问题 利用导数研究生活中的优化问题 ‎★★★‎ ‎○○○○‎ ‎1．生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．‎ ‎2．利用导数解决生活中优化问题的基本思路 利用导数解决生活中的优化问题的步骤 ‎(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；‎ ‎(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；‎ ‎(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；‎ ‎(4)回归实际问题作答．‎ ‎[典例]　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ ‎[解]　(1)因为x＝5时，y＝11，‎ 所以＋10＝11，a＝2.‎ 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(3,4)‎ ‎4‎ ‎(4,6)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎  极大值  由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．‎ 所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.‎ 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ ‎1．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为且以每秒等速率缩短，而长度以每秒等速率增长.已知神针的底面半径只能从缩到为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时金箍棒的底面半径为__________ ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设原来神针的长度为，t秒时神针体积为则，其中。所以.因为当底面半径为时其体积最大，所以，解得，此时，解得，所以，其中， ，当时， ，当时， ，从而在(0,2)单调递增，在(2,8)单调递减， ，所以当时， 有最小值，此时金箍棒的底面半径为.‎ ‎2．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为‎60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为 (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为（升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 (升）.‎ ‎（1）求关于的函数关系式；‎ ‎（2）求当下潜速度取什么值时，总用氧量最少.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；（2）利用基本不等式可得，时取等号，再结合c≤v≤15（c＞0），即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少．‎ ‎（2），令得，‎ 在时， ，在时， ，‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴此时， 时总用氧量最少.‎ ‎3．现有一块大型的广告宣传版面，其形状如图所示的直角梯形．某厂家因产品宣传的需要，拟出资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形（点在曲线段上，点在线段上）．已知，，其中曲线段是以为顶点，为对称轴的抛物线的一部分．‎ ‎（1）求线段，线段，曲线段所围成区域的面积；‎ ‎（2）求厂家广告区域的最大面积．‎ ‎【答案】(1) 曲线段所围成区域的面积：;(2) 面积最大值是.‎ ‎【解析】试题分析：(1) 以为轴，为轴建立平面直角坐标系，曲线段的方程为（），直线：，利用定积分求面积即可； (2) 厂家广告区域的面积为，利用导函数求最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）以为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，，，，‎ 曲线段的方程为（），‎ 直线：，‎ 线段与，曲线段所围成区域的面积：‎ ‎．‎ ‎∴，‎ 令，得，，‎ 当时，，当时，，‎ ‎∴在上是增函数，在上是减函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴厂家广告区域的面积最大值是．‎ ‎1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新的墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为(　　)‎ A．‎32米，‎16米　　　　　　 B．‎30米，‎‎15米 C．‎40米，‎20米 D．‎36米，‎‎18米 解析：选A　要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设堆料厂的宽为x米，则长为米，因此新墙总长为L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－，令L′＝0，得x＝±16.又x>0，∴x＝16.则当x＝16时，L取得极小值，也是最小值，即用料最省，此时长为＝32(米)．故选A.‎ ‎2．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈‎ ‎(0,0.048))，则银行获得最大收益的存款利率为(　　)‎ A．3.2% B．2.4% C．4% D．3.6%‎ 解析：选A　依题意知，存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，银行应获得的利息是0.048kx2，所以银行的收益y＝0.048kx2－kx3，故y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0，得x＝0.032或x＝0(舍去)．因为k>0，所以当00；当0.0320，h(x)是增函数，‎ 所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25.‎ 易知h(80)是h(x)在(0,120]上的最小值．‎ 故当汽车以‎80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为‎11.25升．‎ ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎