辽宁省葫芦岛协作校2020届高三上学期考试数学（文）试题

辽宁省葫芦岛协作校2020届高三上学期考试数学（文）试题

高三上学期协作校第二次考试数学试题(文科)‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由二次不等式的解法求再利用集合交集的运算可得，得解.‎ ‎【详解】解:因为 ‎ 所以,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了二次不等式解法及集合交集的运算，属基础题.‎ ‎2.若向量，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行坐标表示列式求解，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3.函数的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据二倍角正弦公式化简，再根据正弦函数性质求最小正周期.‎ ‎【详解】‎ 所以函数的最小正周期为 故选：B ‎【点睛】本题考查正弦函数周期，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎4.设,则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知条件求得，再确定在复平面内对应的点位于的象限即可.‎ ‎【详解】解：由题意知,‎ 即，‎ 故在复平面内对应的点位于第四象限，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题.‎ ‎5.若直线与平行，则的值为（ ）‎ A. 2 B. 1或3 C. 3 D. 2或3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线平行得到，排除重合情况，计算得到答案.‎ ‎【详解】因为直线与平行 所以，解得或 ‎ 当时，这两条直线重合，排除，故.‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，忽略掉重合的情况是容易犯的错误.‎ ‎6.已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列判断正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线和平面的位置关系，依次判断每个选项的正误得到答案.‎ ‎【详解】A. 若，，则或相交，错误；‎ B. 若，，则，同时垂直于一个平面的两条直线互相平行，正确；‎ C. 若，，，则或或异面，错误；‎ D. 若，，，则或异面，错误 故选 ‎【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.‎ ‎7.已知两个单位向量的夹角为60°，向量，则（ ）‎ A. B. C. D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据向量数量积定义得，再求，即得结果.‎ ‎【详解】因，‎ 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查利用向量数量积求向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8.若，满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】作出可行域，如图 可知当直线过时，取最小值.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎9.已知，则的最小值为（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简再根据基本不等式求最小值.‎ ‎【详解】,当且仅当时取等号，‎ 即的最小值为9，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10.在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排人的座位,使他们在如图所示的个椅子中就坐,且相邻座位(如与与)上的人要有共同的体育兴趣爱好,现已知这人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在号位置上,则号位置上坐的是( )‎ A. 小方 B. 小张 C. 小周 D. 小马 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 依据题意可得从号依次为小林、小马、小李、小方、小周、小张，则号位置上坐的是小方，故选A.‎ ‎11.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）.当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为平方厘米，半球的半径为厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆柱的高度与半球的半径分别为，计算容积得到，根据高的关系得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】设圆柱的高度与半球的半径分别为，则，则，‎ 所以酒杯的容积，‎ 又，所以，所以，解得.‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了几何体的体积运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎12.若直线与函数的图象恰有3个不同的交点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图像，直线过定点，根据直线与圆的上半部和下半部关系计算得到答案.‎ ‎【详解】的图象由圆的下半部分与圆的上半部分组成 直线过定点.‎ 当直线与圆的上半部分相切时，‎ 解得或（舍去）‎ 当直线经过点时，.‎ 数形结合可得：.‎ 故选 ‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的交点问题，画出函数图像根据函数图像求解是解题的关键.‎ 第II卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.若复数，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简再根据模的定义求解.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查求复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14.直线被圆所截得的弦长为_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据垂径定理求弦长.‎ ‎【详解】因为圆心到直线距离为 所以弦长为 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题考查求复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎15.已知表示不大于x的最大整数，设函数，得到下列结论：结论1：当时，；结论2：当时，；结论3：当时，，···，照此规律，结论5：当______时，.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据规律归纳结论.‎ ‎【详解】当时，；‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理，考查基本分析归纳能力，属基础题.‎ ‎16.已知数列满足，设数列的前n项和为，则______；______.‎ ‎【答案】 (1). 4 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等差数列定义以及通项公式求，再根据分组求和法得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，因此为等差数列 故 所以 ‎，‎ 故答案为：(1) 4 (2) ‎ ‎【点睛】本题考查分组求和法、等差数列定义以及通项公式，考查基本分析归纳能力，属基础题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎(1)若，求；‎ ‎(2)求函数的单调区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二倍角正切公式求结果；‎ ‎（2）根据正切函数性质求单调区间.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 因此，‎ ‎（2）‎ 由得 单调减区间为.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角正切公式以及正切函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎18.已知首项为的等比数列的前项和为. ‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，然后利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得，求出，可得出，然后利用裂项求和法可求出数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）设等比数列公比为，由题意可得，整理得，‎ 解得或，因此，或；‎ ‎（2），，，‎ ‎，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎19.已知四棱锥的直观图如图所示，其中，，两两垂直，，且底面为平行四边形.‎ ‎（1）证明：.‎ ‎（2）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图，请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）作图见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，得到平面，得到证明.‎ ‎（2）直接画出侧视图，利用体积公式直接计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为两两垂直，所以，.‎ 因为，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ ‎（2）该四棱锥的侧视图如图所示：‎ 依题意可得四边形为正方形，四棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查了三视图的应用，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎20.分别为内角的对边.已知.‎ ‎(1)若的面积为,求;‎ ‎(2)若,求的周长.‎ ‎【答案】(1) . ‎ ‎(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知，结合正弦定理可得，再结合三角形的面积公式，将已知条件代入运算即可；‎ ‎(2)由，结合余弦定理得,得解.‎ ‎【详解】解:(1)由,得 .‎ 因为的面积为,‎ 所以.‎ ‎(2)因为,可得 ‎ 由余弦定理得,‎ 所以，‎ 故的周长为.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属基础题.‎ ‎21.如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为的中点，且.‎ ‎（1）证明：平面 ‎（2）若异面直线与所成角的正弦值为，求三棱柱的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，连接交于，连接，证明四边形为平行四边形，得到证明.‎ ‎（2）线与所成角即直线与所成角，,证明，再计算得到，利用体积公式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）连接，连接交于，连接.‎ 易证，且，所以四边形为平行四边形，所以.‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以异面直线与所成角即直线与所成角，所以.‎ 因为底面为正方形，所以，又侧棱垂直底面，所以.‎ 因为，所以平面，所以.‎ 因为，，所以，所以.‎ 故三棱柱体积.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行，体积的计算，计算出的长度是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎22.已知直线与圆交于两点.‎ ‎（1）求的斜率的取值范围；‎ ‎（2）若为坐标原点，直线与的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）是定值，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）变换得到，得到直线过点，设，利用直线和圆的位置关系得到，计算得到答案.‎ ‎（2）联立，根据韦达定理得到，计算，化简计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）由，可得.‎ 由，解得，所以恒过定点.‎ 故可设的方程为，即.‎ 由已知可得圆的标准方程为，圆心，半径，‎ 则由直线与圆相交，可得.‎ 解得，所以的斜率的取值范围为.‎ ‎（2）是定值 联立，消去，整理得.‎ 设，，由韦达定理得，‎ 则 为定值.‎ ‎【点睛】本题考查了斜率范围和定值问题，利用韦达定理求解是常用方法，需要熟练掌握，意在考查学生的计算能力.‎ ‎ ‎