2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题07 角平分线的性质

2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题07 角平分线的性质

‎2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题07 角平分线的性质 重点突破 知识点一 角平分线 概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。‎ 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； ‎ 数学语言：‎ ‎∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ‎ ‎∴PA=PB 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．‎ 数学语言：‎ ‎∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB ‎ ‎∴∠MOP=∠NOP 知识点二 角平分线常考四种辅助线：‎ 1. 图中有角平分线，可向两边作垂线。‎ 2. 角平分线加垂线，三线合一试试看。 ‎ 3. 角平分线平行线，等腰三角形来添。 ‎ 4. 也可将图对折看，对称以后关系出现。‎ 考查题型 考查题型一 与角平分线有关的计算 典例1（2020·廊坊市期末）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于( ).‎ A．35° B．70°‎ C．110° D．145°‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎∵OC平分∠DOB，∠COB=35°，‎ ‎∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°,‎ ‎∴∠AOD=180°-70°=110°.‎ 故选C.‎ 变式1-1．（2019·通辽市期末）已知：如图，直线BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠BOD＝22°．则∠AOC的度数是( )‎ A．22° B．46° C．68° D．78°‎ ‎【答案】C ‎【提示】‎ 由垂直的定义可知∠AOB=90°，由角平分线的定义可知∠BOC=∠BOD=22°，从而求得∠AOC的度数.‎ ‎【详解】‎ 解：∵BO⊥AO，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ ‎∵OB平分∠COD，‎ ‎∴∠BOC=∠BOD=22°，‎ ‎∴∠AOC=90°-22°=68°.‎ 故选C.‎ ‎【名师点拨】‎ 本题考查了垂直的定义，角平分线的定义.‎ 变式1-2．（2018·路北区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOF=90°，OF平分∠AOE，若∠BOD=32°，则∠EOF的度数为（　　）‎ A．32° B．48° C．58° D．64°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵∠DOF=90°，∠BOD=32°， ∴∠AOF=90°-32°=58°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF=∠EOF=58°． 故选C．‎ 变式1-3．（2018·石家庄市期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．如果∠AOB＝50°，∠COE＝60°，则下列结论错误的是(　　)‎ A．∠AOE＝110° B．∠BOD＝80°‎ C．∠BOC＝50° D．∠DOE＝30°‎ ‎【答案】A ‎【提示】‎ 根据角平分线的性质，角的和差倍分关系计算作答．‎ ‎【详解】‎ 解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB=50°，∠COE=60°，‎ ‎∴A、∠AOE=2∠AOB+∠COE=160°，故错误；‎ B、∠BOD=∠BOC+∠COD=∠AOB+∠COE=80°，故正确；‎ C、∠BOC=∠AOB=50°，故正确；‎ D、∠DOE=∠COE=30°，故正确．‎ 故选A．‎ ‎【名师点拨】‎ 本题结合角平分线的性质考查了角的和差倍分关系计算．‎ 变式1-4．（2018·郑州市期末）已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（　　）‎ A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题解析：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，‎ ‎ ∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB， ∴∠AOC=80°， ∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC， ∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=10°，∠AOM=∠COM=∠AOC=40°， ∴∠DOM=∠AOM-∠AOD=40°-10°=30°； 如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，‎ ‎ ∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°； 故选C．‎ 考查题型二 角平分线的性质定理 典例2（2019·云龙县期中）如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为(　　)‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 试题提示：如图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，∴PE=PD，∵PD=6，∴PE=6，即点P到OB的距离是6．故选A．‎ 变式2-1．（2019·邵阳市期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 作DE⊥AB于E，‎ ‎∵AB=10，S△ABD =15，‎ ‎∴DE=3，‎ ‎∵AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB，‎ ‎∴DE=CD=3，‎ 故选A.‎ 变式2-2．（2020·景泰县期中）如图所示，OP平分，，，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（ ）．‎ A． B．PO平分 C． D．AB垂直平分OP ‎【答案】D ‎【提示】‎ 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB，再利用“HL”证明△AOP和△BOP全等，可得出，OA=OB，即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵OP平分，，‎ ‎∴，选项A正确；‎ 在△AOP和△BOP中，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎∴，OA=OB，选项B，C正确；‎ 由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，选项D错误．‎ 故选：D．‎ ‎【名师点拨】‎ 本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．‎ 变式2-3．（2019·肥城市期末）如图，AD是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和35，则的面积为　　‎ A．25‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【提示】‎ 过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 如图，过点D作于H，‎ 是的角平分线，，‎ ‎，‎ 在和中，，‎ ‎≌，‎ ‎，‎ 在和中，‎ ‎≌，‎ ‎，‎ 和的面积分别为60和35，‎ ‎，‎ ‎=12.5，‎ 故选D．‎ ‎【名师点拨】‎ 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记掌握相关性质、正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键．‎ 变式2-4．（2019·磴口县期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（ ）‎ A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴∠C=∠AED=90°，‎ ‎∵AD平分∠CAB，‎ ‎∴∠CAD=∠EAD，‎ 在△ACD和△AED中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACD≌△AED(AAS)，‎ ‎∴AC=AE，CD=DE，‎ ‎∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=AE，‎ BD+DE+BE=AE+BE=AB=6，‎ 所以，△DEB的周长为6cm.‎ 故选B.‎ 考查题型三 角平分线的判定定理 典例3．（2019·漳州市期中）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 提示：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．‎ 解答：‎ 解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，‎ ‎∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，‎ ‎∴PA=PQ=2，‎ 故选B．‎ 变式3-1．（2018·广安市期末）如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC ‎【答案】C ‎【解析】提示：如图，由已知条件判断AD平分∠BAC即可解决问题．‎ 详解：如图，∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠2．‎ ‎ 故选C．‎ ‎ ‎ 名师点拨：该题主要考查了角平分线的判定及其性质的应用问题；牢固掌握角平分线的性质是解题的关键．‎ 变式3-2．（2018·深圳市期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【答案】B ‎【提示】‎ 根据角平分线性质求出CD=DE，根据等腰三角形的判定得出BE=DE，求出CD=DE=BE，根据勾股定理和CD=DE求出AC=AE，求出AC=AE=BC，再逐个判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：∵DE⊥AB， ∴∠DEA=∠DEB=90°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠BAD， ∵∠C=90°，∠CDA+∠C+∠CAD=180°，∠DEA+∠BAD+∠EDA=180°， ∴∠CDA=∠EDA，∴①正确； ∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC， ∴∠CAB=∠B=45°， ∵∠C=∠DEA=∠DEB=90°， ∴∠CDE=360°-90°-45°-90°=135°，∠BDE=180°-90°-45°=45°， ∵∠CDA=∠EDA， ∴∠CDA=∠EDA==67.5°≠45°， ∴∠EDA≠∠BDE， ∴DE不平分∠BDA，∴②错误； ∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB， ∴CD=DE， 由勾股定理得：AC=AE， ∵AC=BC， ∴AE=AC=BC， ∵∠B=∠BDE=45°， ∴BE=DE=CD， ‎ ‎∴AE-BE=BC-CD=BD，∴③正确； △BDE周长是BE+DE+BD=BE+CD+BD=BC+BE=AE+BE=AB=4cm，∴④正确； 即正确的个数是3， 故选：B．‎ ‎【名师点拨】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线性质等知识点，能求出AC=AE=BC和CD=DE=BE是解此题的关键．‎ 变式3-3．（2020·嵩县期末）如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）‎ A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 ‎【答案】B ‎【提示】‎ 过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB.‎ ‎【详解】‎ 如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，‎ ‎∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，‎ ‎∴PE＝PF，‎ ‎∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），‎ 故选B.‎ ‎【名师点拨】‎ 本题考查角平分线的判定定理，角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；熟练掌握定理是解题关键.‎ 考查题型四 角平分线性质的实际应用 典例4．（2020·济南市期末）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD：BD=3：4.若BC=21，则点D到AB边的距离为( )‎ A．7 B．9 C．11 D．14‎ ‎【答案】B ‎【提示】‎ 先确定出CD=9，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解： ∵CD：BD=3：4． 设CD=3x，则BD=4x， ∴BC=CD+BD=7x， ∵BC=21， ∴7x=21， ‎ ‎∴x=3， ∴CD=9， 过点D作DE⊥AB于E， ∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°， ∴DE=CD=9， ∴点D到AB边的距离是9， 故选B．‎ ‎【名师点拨】‎ 本题考查了角平分线的性质，线段的和差，解本题的关键是掌握角平分线的性质定理．‎ 变式4-1．（2018·成都市期末）如图，在△ABC 中，∠B=90º，AC=10，AD 为此三角形的一条角平分线，若 BD=3，则三角形 ADC 的面积为（ ）‎ A．3 B．10 C．12 D．15‎ ‎【答案】D ‎【提示】‎ 过D作DE⊥AC于E，根据角平分线性质得出BD=DE=3，再利用三角形的面积公式计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：过D作DE⊥AC于E． ∵AD是∠BAC的角平分线，∠B=90°（DB⊥AB），DE⊥AC， ∴BD=DE， ∵BD=3， ∴DE=3， ∴S△ADC=•AC•DE=×10×3=15 ‎ 故选：D．‎ ‎【名师点拨】‎ 本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．‎ 变式4-2．（2018·潍坊市期中）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A，B，D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（　　）‎ A．3公里 B．4公里 C．5公里 D．6公里 ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：如图，连接AC，作CF⊥l1，CE⊥l2；‎ ‎∵AB=BC=CD=DA=5公里，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠CAE=∠CAF，‎ ‎∴CE=CF=4公里．‎ 变式4-3．（2019·东城区期末）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）.‎ A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 ‎ C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 ‎【答案】A ‎【提示】‎ 根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ ‎∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF， ∴M在∠BAC的角平分线上， 故选：A．‎ ‎【名师点拨】‎ 本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．‎ 变式4-4．（2019·河西区期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地上修建一个度假村。要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（ ）‎ A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 ‎【答案】B ‎【提示】‎ 根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在∠ABC和∠CAB的角平分线的交点处．‎ ‎【详解】‎ 要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在△ABC内角平分线的交点，‎ 故选：B．‎ ‎【名师点拨】‎ 此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．‎ 变式4-5．（2018·阳谷县期末）如图，△ABC的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于（ ）‎ A．1:1:1 B．1:2:3 C．2:3:4 D．3:4:5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，‎ ‎∵O是三角形三条角平分线的交点，‎ ‎∴OD=OE=OF，‎ ‎∵AB=6，BC=9，AC=12，‎ ‎∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4，‎ 故选C.‎ ‎【名师点拨】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．‎ 考查题型五 作角平分线 典例5．（2020·黄石市期末）角平分线的作法（尺规作图）‎ ‎①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；‎ ‎②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；‎ ‎③过点P作射线OP，射线OP即为所求．‎ 角平分线的作法依据的是（　　）‎ A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA ‎【答案】A ‎【提示】‎ 根据角平分线的作法步骤，连接CP、DP，由作图可证△OCP≌△ODP，则∠COP＝∠DOP，而证明△OCP≌△ODP的条件就是作图的依据．‎ ‎【详解】‎ 解：如下图所示：连接CP、DP 在△OCP与△ODP中，由作图可知：‎ ‎∴△OCP≌△ODP（SSS）‎ 故选：A．‎ ‎【名师点拨】‎ 本题考查了角平分线的求证过程，从角平分线的作法中寻找证明三角形全等的条件是解决本题的关键。‎ 变式5-1．（2020·荆州市期末）如图，在中，．请用尺规作图法在上找一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎【答案】作图见详解．‎ ‎【提示】‎ 要使点到的距离等于，只能是的角平分线，按照角平分线的作图方法作出图形即可．‎ ‎【详解】‎ 作出的角平分线和交于点，如下图所示：‎ ‎【名师点拨】‎ 本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理以及角平分线的画法是解决本题的关键．‎ 变式5-1．（2020·东莞市期末）如图，在□ABCD中，AB=5，BC=8.‎ ‎（1）作∠ABC的角平分线交线段AD于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）：‎ ‎（2）在（1）的条件下，求ED的长.‎ ‎【答案】（1）作图见解析；（2）3.‎ ‎【提示】‎ ‎（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AB，BC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，在□ABCD内交于一点，过点B以及这个交点作射线，交AD于点E即可；‎ ‎（2）利用角平分线的性质以及平行线的性质求出∠ABE=∠AEB，从而得AE=AB，再根据AB、BC的长即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）如图所示，BE为所求； ‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB//CD，AD=BC=8，‎ ‎∴∠AED=∠EBC ，‎ ‎∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE=∠EBC ，‎ ‎∴∠ABE=∠AEB ，‎ ‎∴AE=AB=5，‎ ‎∴DE=AD-AE=3‎ ‎【名师点拨】‎ 本题考查了角平分线的画法以及角平分线的性质以及平行线的性质等知识，得出AE=AB是解题关键．‎ 变式5-2．（2020·六盘水期末）如图，在中，，．‎ ‎（1）作的角平分线BE（点E在AC上；用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求的度数．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）95°‎ ‎【提示】‎ ‎（1）依据角平分线的作法，即可得到△ABC的角平分线BE； （2）依据三角形内角和定理，即可得到∠AEB的度数，再根据邻补角的定义，即可得到∠BEC的度数．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图（满足“三弧一线”可得）‎ 线段BE即为所求 ‎（2）由（1）得，BE平分 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎【名师点拨】‎ 本题主要考查了三角形内角和定理以及基本作图，解决问题的关键是掌握角平分线的作法．‎