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文档介绍
【数学】2019届一轮复习全国经典版(理)两直线的位置关系学案
第2讲 两直线的位置关系 板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1 两条直线的位置关系 1.两条直线平行与垂直 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,若其斜率分别为k1、k2,则有l1∥l2⇔k1=k2,b1≠b2. ②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. (2)两条直线垂直 ①如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1、k2,则有l1⊥l2⇔k1k2=-1. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2. 2.两条直线的交点 直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组 的解. 考点2 三种距离公式 1.两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 |P1P2|=. 2.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=. 3.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2) 间的距离d=. [必会结论] 1.与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0; (2)平行:Ax+By+n=0. 2.与对称问题相关的两个结论: (1)点P(x0,y0)关于A(a,b)的对称点为P′(2a-x0,2b-y0). (2)设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P′(x′,y′),则有 可求出x′,y′. [考点自测] 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.( ) (2)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) (4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.( ) (5)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 2.[课本改编]过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 答案 A 解析 设直线方程为x-2y+c=0,又经过点(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0. 3.[2018·重庆模拟]若直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,那么a的值等于( ) A.1 B.- C.- D.-2 答案 D 解析 由a·1+2·1=0得a=-2.故选D. 4.[课本改编]已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于( ) A. B.2- C.-1 D.+1 答案 C 解析 由题意知=1,∴|a+1|=,又a>0,∴a=-1. 5.[课本改编]平行线3x+4y-9=0和6x+8y+2=0的距离是( ) A. B.2 C. D. 答案 B 解析 依题意得,所求的距离等于=2. 6.[2018·南宁模拟]直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( ) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 答案 D 解析 设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y -3=0. 板块二 典例探究·考向突破 考向 平行与垂直问题 例 1 (1)直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定 答案 C 解析 由可得3x+2m-n=0,由于3x+2m-n=0有唯一解,故方程组有唯一解,故两直线相交,两直线的斜率分别为-2,-,斜率之积不等于-1,故不垂直. (2)[2018·金华十校模拟]“直线ax-y=0与直线x-ay=1平行”是“a=1”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由直线ax-y=0与x-ay=1平行,得a2=1,即a=±1,所以“直线ax-y=0与x-ay=1平行”是“a=1”的必要不充分条件. 触类旁通 两直线位置关系问题的解题策略 (1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此类试题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2,l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1·k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意. (2)设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 【变式训练1】 (1)“m=3”是“直线l1:2(m+1)x+(m-3)y+ 7-5m=0与直线l2:(m-3)x+2y-5=0垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由l1⊥l2,得2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0, ∴m=3或m=-2,∴m=3是l1⊥l2的充分不必要条件. (2)[2018·宁夏模拟]若直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行,则实数m的值为________. 答案 0或 解析 因为直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行,则斜率相等或者斜率不存在,-=或者m=0,∴m=或0. 考向 距离公式的应用 例 2 [2018·潍坊模拟]已知点P(2,-1). (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程; (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2. 若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2), 即kx-y-2k-1=0. 由已知得=2,解得k=, 此时l的方程为3x-4y-10=0. 综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0. (2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图. 由l⊥OP,得klkOP=-1,所以kl=-=2. 由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0. 所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为=. (3)由(2)可知,过点P不存在到原点的距离超过的直线,因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线. 触类旁通 与距离有关问题的常见类型及解题策略 (1)求距离.利用距离公式求解法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离. (2)已知距离求参数值.列方程求出参数. (3)求距离的最值.可利用距离公式得出距离关于某个点的函数,利用函数知识求最值. 【变式训练2】 (1)若直线l1:x-2y+m=0(m>0)与直线l2:x+ ny-3=0之间的距离是,则m+n=( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 答案 A 解析 ∵直线l1:x-2y+m=0(m>0)与直线l2:x+ny-3=0之间的距离为,∴∴n=-2,m=2(负值舍去),∴m+n=0. (2)已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为________. 答案 -或- 解析 由题意及点到直线的距离公式得=,解得a=-或-. 考向 对称问题 命题角度1 点关于点的对称 例 3 过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程. 解 设l1与l的交点为A(a,8-2a), 则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0, 解得a=4,即点A(4,0)在直线l上, 所以由两点式得直线l的方程为x+4y-4=0. 命题角度2 点关于线的对称 例 4 若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=________. 答案 解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是 解得故m+n=. 命题角度3 直线关于直线的对称 例 5 直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是( ) A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0 答案 A 解析 设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于x-y+2=0的对称点为P′(x0,y0), 由得 由点P′(x0,y0)在直线2x-y+3=0上, 则2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0. 命题角度4 对称问题与物理光学中的对称思想 例 6 [2018·湖南模拟]在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( ) A.2 B.1 C. D. 答案 D 解析 以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立直角坐标系如图所示. 则A(0,0),B(4,0),C(0,4). 设△ABC的重心为D,则D点坐标为. 设P点坐标为(m,0),则P点关于y轴的对称点P1为(-m,0),因为直线BC方程为x+y-4=0,所以P点关于BC的对称点P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在直线上, ∴kP1D=kP2D,即=, 解得m=或m=0. 当m=0时,P点与A点重合,故舍去.∴m=. 例 7 已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4). (1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小; (2)在直线l上求一点P,使||PB|-|PA||最大. 解 (1)设A关于直线l的对称点为A′(m,n),则解得 故A′(-2,8). P为直线l上的一点,则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|,当且仅当B,P,A′三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,为|A′B|,点P即是直线A′B与直线l的交点,解得故所求的点P的坐标为(-2,3). (2)A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点,则||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值,为|AB|,点P即是直线AB与直线l的交点,又直线AB的方程为y=x-2,解得故所求的点P的坐标为(12,10). 触类旁通 解决对称问题的方法 (1)中心对称 ①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 ①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点为A′(m,n),则有 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 【变式训练3】 光线从A(-4,-2)点射出,射到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在的直线方程. 解 作出草图,如图所示,设A关于直线y=x的对称点为A′,D关于y轴的对称点为D′, 则易得A′(-2,-4),D′(1,6).由入射角等于反射角可得 A′D′所在直线经过点B与C. 故BC所在的直线方程为=. 即10x-3y+8=0. 核心规律 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称. 3.光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点,这样就有两种对称关系,一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称,二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称. 满分策略 1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.若直线无斜率,要单独考虑. 2.使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式,同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用;使用两平行线间的距离公式时,一定要注意先把两直线方程中的x,y的系数化成相等. 板块三 启智培优·破译高考 题型技法系列14——巧用直线系求直线方程 [2018·金华模拟]经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为________. 解题视点 利用两条已知直线的方程组成方程组,其解为交点坐标,又直线与3x-4y+5=0垂直,利用垂直直线斜率之积为-1,可得直线的斜率,然后求得直线方程. 解析 解法一:由方程组 得即交点P(0,2). 因l3的斜率为,且l⊥l3,故l的斜率为-. 故直线l的方程为y=-x+2,即4x+3y-6=0. 解法二:l与l3垂直, 故可设l的方程为4x+3y+m=0. 又由得交点P(0,2),代入直线l的方程,得m=-6.故直线l的方程为4x+3y-6=0. 解法三:设经过l1与l2交点的直线系方程为 (x-2y+4)+λ(x+y-2)=0(λ∈R),即(1+λ)x+(λ-2)y+(4-2λ)=0.因l与l3:3x-4y+5=0垂直, 故(1+λ)×3+(λ-2)×(-4)=0, 解得λ=11,故直线l的方程为4x+3y-6=0. 答案 4x+3y-6=0 答题启示 1.常见的四大直线系方程 (1)过定点P(x0,y0)的直线系A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可视为x=x0). (2)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C). (3)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R). (4)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2. 2.应用直线系的关注点 利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时,一定要注意系数及符号的变化规律. 跟踪训练 经过直线3x-2y+1=0和直线x+3y+4=0 的交点,且平行于直线x-y+4=0的直线方程为________. 答案 x-y=0 解析 解法一:由方程组得两直线的交点(-1,-1).又因为所求直线与x-y+4=0平行,故直线的斜率为1.于是由直线的点斜式方程求得:y-(-1)=x-(-1),即x-y=0. 解法二:因为所求直线与直线x-y+4=0平行,所以可设所求直线为x-y+c=0.又因为该直线过直线3x-2y+1=0与直线x+3y+4=0的交点(-1,-1),所以-1-(-1)+c=0,即c=0,所以,所求直线方程为x-y=0. 解法三:因为所求直线经过直线3x-2y+1=0和直线x+3y+4=0的交点,所以可设直线方程为3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0,即(3+λ)x-(2-3λ)y+1+4λ=0.又因为所求直线与直线x-y+4=0平行,因此=1,解得λ=-,所以所求直线方程为3x-2y+1-(x+3y+4)=0,即x-y=0. 板块四 模拟演练·提能增分 [A级 基础达标] 1.[2018·四川模拟]设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若两直线平行,则a(a+1)=2,即a2+a-2=0,∴a=1或-2,故a=1是两直线平行的充分不必要条件. 2.若直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0垂直,垂足为(1,p),则实数n的值为( ) A.-12 B.-2 C.0 D.10 答案 A 解析 由2m-20=0得m=10.由垂足(1,p)在直线mx+4y-2=0上,得10+4p-2=0,∴p=-2. 又垂足(1,-2)在直线2x-5y+n=0上,则解得n=-12. 3.[2018·启东模拟]不论m为何值时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点( ) A. B.(-2,0) C.(2,3) D.(9,-4) 答案 D 解析 由(m-1)x+(2m-1)y=m-5,得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,由得定点坐标为(9,-4).故选D. 4.P点在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则P点坐标为( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2) 答案 C 解析 设P(x,5-3x),则d==,化简得|4x-6|=2,即4x-6=±2,解得x=1或x=2,故点P的坐标为(1,2)或(2,-1). 5.[2018·绵阳模拟]若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 因为=≠,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ| 的最小值为 . 6.[2018·合肥模拟]已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是( ) A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0 答案 B 解析 因为l1与l2关于l对称,所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上,故l与l1的交点(1,0)在l2上.又易知(0,-2)为l1上一点,设它关于l的对称点为(x,y),则解得即(1,0),(-1,-1)为l2上两点,可得l2的方程为x-2y-1=0. 7.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB 的中点M到原点的距离的最小值为( ) A.3 B.2 C.3 D.4 答案 A 解析 ∵l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0是平行直线,∴可判断AB所在直线过原点且与直线l1,l2垂直时,中点M到原点的距离最小.∵直线l1:x+y-7=0,l2:x+y-5=0,∴两直线的距离为=,又原点到直线l2的距离为,∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3.故选A. 8.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是________. 答案 [-2,2] 解析 b为直线y=-2x+b在y轴上的截距, 如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值. ∴b的取值范围是[-2,2]. 9.已知直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay+a=0互相垂直,则实数a的值是________. 答案 0或1 解析 因为直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay+a=0互相垂直,故有a(2a-1)+a(-1)=0,可知a的值为0或1. 10.[2018·银川模拟]点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是________. 答案 2 解析 直线l经过定点Q(0,-3),如图所示.由图知,当PQ⊥l时,点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|= =2,所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2. [B级 知能提升] 1.[2018·东城期末]如果平面直角坐标系内的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为( ) A.x-y+1=0 B.x+y+1=0 C.x-y-1=0 D.x+y-1=0 答案 A 解析 因为直线AB的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1,设直线l的方程为y=x+b,由题意知直线l过点,所以=+b,解得b=1,所以直线l的方程为y=x+1,即x-y+1=0.故选A. 2.[2018·宜春统考]已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为( ) A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0或x+2y+2=0 D.2x+3y-18=0或2x-y-2=0 答案 D 解析 依题意,设直线l:y-4=k(x-3), 即kx-y+4-3k=0, 则有=, 因此-5k+2=k+6,或-5k+2=-(k+6), 解得k=-或k=2, 故直线l的方程为2x+3y-18=0或2x-y-2=0. 3.[2018·淮安调研]已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为________________. 答案 6x-y-6=0 解析 设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′, 所以解得a=1,b=0. 又反射光线经过点N(2,6), 所以所求直线的方程为=,即6x-y-6=0. 4.已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值: (1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解 (1)由已知可得l2的斜率存在,且k2=1-a. 若k2=0,则1-a=0,a=1. ∵l1⊥l2,∴直线l1的斜率k1必不存在,即b=0. 又∵l1过点(-3,-1), ∴-3a+4=0,即a=(矛盾), ∴此种情况不存在,∴k2≠0, 即k1,k2都存在.∵k2=1-a,k1=,l1⊥l2, ∴k1k2=-1,即(1-a)=-1.① 又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.② 由①②联立,解得a=2,b=2. (2)∵l2的斜率存在且l1∥l2,∴直线l1的斜率存在, k1=k2,即=1-a.③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1∥l2, ∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b,④ 联立③④,解得或 ∴a=2,b=-2或a=,b=2. 5.[2018·合肥模拟]已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程; (3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程. 解 (1)设A′(x,y),由已知条件得 解得 ∴A′. (2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上. 设对称点M′(a,b),则 得M′. 设直线m与直线l的交点为N,则 由得N(4,3). 又∵m′经过点N(4,3), ∴由两点式得直线m′的方程为9x-46y+102=0. (3)解法一:在l:2x-3y+1=0上任取两点, 如M(1,1),N(4,3),则M,N关于点A(-1,-2)的对称点M′,N′均在直线l′上, 易得M′(-3,-5),N′(-6,-7), 再由两点式可得l′的方程为2x-3y-9=0. 解法二:∵l∥l′, ∴设l′的方程为2x-3y+C=0(C≠1). ∵点A(-1,-2)到两直线l,l′的距离相等, ∴由点到直线的距离公式,得 =,解得C=-9, ∴l′的方程为2x-3y-9=0. 解法三:设P(x,y)为l′上任意一点, 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y).∵点P′在直线l上, ∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0.查看更多