高考二轮复习综合检测专题七 不等式推理与证明算法与复数综合检测 新人教A
2012年高考数学二轮复习综合检测：专题七不等式、推理与证明、算法与复数
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(文)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
[答案] B
[解析] ∵(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，
∴，∴a＝2.故选B.
(理)(2011·福建理，1)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )
A．i∈S B．i2∈S
C．i3∈S D.∈S
[答案] B
[解析] i2＝－1∈S，故选B.
2．(文)(2011·福建文，6)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案] C
[解析] “方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等实数根”⇔m2－4>0，解得m>2或m<－2.
(理)(2011·陕西文，3)设0
b，则ac2>bc2
B．若a，b∈R，且a·b≠0，则＋≥2
C．若a，b∈R，且a>|b|，则an>bn(n∈N*)
D．若a>b，c>d，则>
[答案] C
[解析] 当c＝0时，A不成立；当ab<0时，＋≤－2，B不成立；若dc＝0，>不成立，D不成立，故选C.
4．(2011·湖北理，8)已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为( )
A．[－2,2] B．[－2,3]
C．[－3,2] D．[－3,3]
[答案] D
[解析] ∵a⊥b，∴a·b＝0，即(x＋z,3)·(2，y－z)＝0，
∴z＝2x＋3y
不等式|x|＋|y|≤1表示如图所示平面区域．
作直线l0：2x＋3y＝0，平移l0过点A(0,1)时z取最大值3.
平移l0过点C(0，－1)时，z取最小值－3，
∴z∈[－3,3]．
5．(2011·西安模拟)观察下列数表规律：
012345678910111213141516
则从数2011到2012的箭头方向是( )
A．2011 B．2011
C．2011 D．2011
[答案] D
[解析] 由图可以看出，每隔4个数，箭头方向相同，可认为T＝4，又2011＝502×4＋3，所以2011处的箭头方向同数字3处的箭头方向，故选D.
6．(2011·重庆理，7)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4
C. D．5
[答案] C
[解析] ∵a＋b＝2，∴＋＝1，
∴y＝＋＝＝＋＋，
∵a>0，b>0，∴＋≥2＝2，当且仅当
＝，且a＋b＝2，即a＝，b＝时取得等号，
∴y的最小值是，选C.
7．(文)(2011·北京文，6)执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] C
[解析] P＝1，S＝1―→P＝2，S＝1＋＝―→P＝3，S＝＋＝―→P＝4，S＝＋＝>2，所以输出P＝4.
(理)(2011·北京理，4)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A．－3 B．－
C. D．2
[答案] D
[解析] 由框图知得：i：0→1→2→3→4，则s：2→→－→－3→2.选D.
8．(2011·新课标理，1)复数的共轭复数是( )
A．－i B.i
C．－i D．i
[答案] C
[解析] 依题意：＝＝－＝i，∴其共轭复数为－i，选C.
9．(文)(2011·天津文，3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y的值为( )
A．0.5 B．1
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 第1次循环：x＝－4，x＝|－4－3|＝7
第2次循环：x＝7，x＝|7－3|＝4
第3次循环：x＝4，x<|4－3|＝1，
y＝21＝2.输出y.
(理)(2011·天津理，3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] B
[解析] 第一次运行结束：i＝1，a＝2
第二次运行结束：i＝2，a＝5
第三次运行结束：i＝3，a＝16
第四次运行结束：i＝4，a＝65，故输出i＝4，选B.
10．(2011·福建理，8)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[0,2] D．[－1,2]
[答案] C
[解析] ·＝(－1,1)·(x，y)＝y－x，画出线性约束条件表示的平面区域如图所示．
可以看出当z＝y－x过点D(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时有最大值2，则·的取值范围是[0,2]，故选C.
11．(2011·四川理，9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝( )
A．4650元 B．4700元
C．4900元 D．5000元
[答案] C
[解析] 设派用甲车数x辆，乙车数y辆，由题意：约束条件：
，目标函数：z＝450x＋350y
经平移9x＋7y＝0得过A(7,5)利润最大
z＝450×7＋350×5＝4900元，故选C.
12．(文)(2011·陕西二检)设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，＝λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是( )
A.≤λ≤1 B．1－≤λ≤1
C.≤λ≤1＋ D．1－≤λ≤1＋
[答案] B
[解析] 设P(x，y)，则由＝λ得，
(x－1，y)＝λ(－1,1)，∴，解得.
若·≥·，则
(x，y)·(－1,1)≥(1－x，－y)·(－x,1－y)，
∴x2＋y2－2y≤0，∴(1－λ)2＋λ2－2λ≤0，
∴1－≤λ≤1＋.
又点P是线段AB上的一个动点，∴0≤λ≤1，
∴1－≤λ≤1.故选B.
(理)(2011·山西二模)已知函数f(x)＝－x3＋px2＋qx＋r，且p2＋3q<0，若对x∈R都有f(m2－sinx)≥f(m＋＋cosx)成立，则实数m的取值范围为( )
A．[0,1] B．[2，]
C．[1，] D．[0，]
[答案] A
[解析] 由题知，f′(x)＝－3x2＋2px＋q，
其判别式Δ＝4p2＋12q＝4(p2＋3q)<0，∴f′(x)<0，
∴f(x)在R上单调递减．
又f(m2－sinx)≥f(m＋＋cosx)，
∴m2－sinx≤m＋＋cosx，即m2－m－≤sinx＋cosx.
记t＝sinx＋cosx，则问题等价于m2－m－≤tmin.
又t＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，x∈R，∴tmin＝－，
所以m2－m－≤－，解得0≤m≤1，
∴实数m的取值范围是[0,1]．
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．)
13．(2011·山东潍坊三模)在各项为正数的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝(an＋)，则a3＝________，猜想数列{an}的通项公式为________．
[答案] － －
[解析] (1)由Sn＝(an＋)可计算出a1＝1，a2＝－1，a3＝－.
(2)由a1，a2，a3可归纳猜想出an＝－.
14．(文)(2011·浙江理，12)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是________．
[答案] 5
[解析] 第一次执行循环体时，k＝3，a＝44＝64，b＝34＝81，由于ab，退出循环结构，输出k＝5，应填：5.
(理)(2011·山东理，13)执行下图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________．
[答案] 68
[解析] 依题意，l＝2，m＝3，n＝5，则l2＋m2＋n2≠0，
∴y＝70×2＋21×3＋15×5＝278，又278>105
∴y＝278－105＝173.
又173>105，
∴y＝173－105＝68<105.
∴y＝68.
15．(文)(2011·湖南理，10)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋)(＋4y2)的最小值为________．
[答案] 9
[解析] ＝1＋4＋＋4x2y2≥5＋2×2＝9，当且仅当＝4x2y2时等号成立．
(理)(2011·浙江文，16)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
[答案]
[解析] 由x2＋y2＋xy＝1可得，(x＋y)2＝xy＋1
而由均值不等式得xy≤()2
∴(x＋y)2≤()2＋1整理得，(x＋y)2≤1
∴x＋y∈[－，]
∴x＋y的最大值为.
16．(文)(2011·苏锡常镇三调)将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
… … … … … …
根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．
[答案] －＋3(n≥3)
[解析] 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1(n≥3)行的最后一个数为＝－，则第n行的第3个数为－＋3(n≥3)．
(理)(2011·福建二检)如图，点P在已知三角形ABC的内部，定义有序实数对(μ，υ，ω)为点P关于△ABC的面积坐标，其中μ＝，υ＝，
ω＝；若点Q满足＝＋，则点Q关于△ABC的面积坐标为________．
[答案] (，，)
[解析] 由点Q满足＝＋可知Q到BC、AC、AB三边的距离分别是三边相应高的，，，所以S△QBC＝s，S△AQC＝s，S△AQB＝s(s为△ABC的面积)．故点Q关于△ABC的面积坐标为(，，)．
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1有零点，求实数a的取值范围．
[解析] 解法一：令2x＝t，f(x)有零点，即方程t2＋at＋a＋1＝0，在(0，＋∞)内有解．
变形为a＝－＝－[(t＋1)＋]＋2≤2－2，
∴a的范围是(－∞，2－2]．
解法二：t2＋at＋a＋1＝0在(0，＋∞)内有解，
①有两解，得－150000的最小正整数n的算法并画出相应的程序框图．
[解析] 算法如下：
S1 S＝1，i＝3.
S2 如果S≤50000，则执行S3，否则执行S5.
S3 S＝S×i.
S4 i＝i＋2，返回执行S2.
S5 i＝i－2.
S6 输出i.
程序框图如图所示：
21．(本小题满分12分)观察下表：
1，
2,3
4,5,6,7
8,9,10,11,12,13,14,15，
……
问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？
(2)此表第n行的各个数之和是多少？
(3)2012是第几行的第几个数？
(4)是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)∵第n＋1行的第1个数是2n，
∴第n行的最后一个数是2n－1.
(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)
＝＝3·22n－3－2n－2.
(3)∵210＝1024,211＝2048,1024<2012<2048，
∴2012在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2012－1024＋1＝989，知2012是第11行的第989个数．
(4)设第n行的所有数之和为an，第n行起连续10行的所有数之和为Sn.
则an＝3·22n－3－2n－2，an＋1＝3·22n－1－2n－1，
an＋2＝3·22n＋1－2n，…，an＋9＝3·22n＋15－2n＋7，
∴Sn＝3(22n－3＋22n－1＋…＋22n＋15)－(2n－2＋2n－1＋…＋2n＋7)＝3·－＝22n＋17－22n－3－2n＋8＋2n－2，n＝5时，S5＝227－128－213＋8＝227－213－120.
∴存在n＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.
22．(本小题满分14分)(文)(2011·四川文，20)已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．
(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；
(2)当Sm，Sn，Si成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，ai＋k也成等差数列．
[解析] (1)若公比q＝1，则S1＝a，S3＝3a，S4＝4a，而2S3＝6a≠S1＋S4≠5a
∴不满足S1，S3，S4成等差数列，∴q≠1
若q≠1，由前n项和公式知，Sn＝，
∵S1，S3，S4成等差数列
∴2S3＝S1＋S4，即＝a＋
即2a(1－q3)＝a(1－q)＋a(1－q4)
∵a≠0，∴2(1－q)(q2＋q＋1)＝(1－q)＋(1－q)(1＋q)(1＋q2)
又∵1－q≠0
∴2(1＋q＋q2)＝1＋(1＋q2)(1＋q)
即q2＝q＋1⇒q2－q－1＝0，
∴q＝
(2)若公比q＝1，则am＋k＝an＋k＝ai＋k＝a，
∴am＋k，an＋k，ai＋k成等差数列
若公比q≠1，由Sm，Sn，Si成等差数列得Sm＋Si＝2Sn
即＋＝
∴2qn＝qm＋qi
又2an＋k＝2a·qn＋k－1
而am＋k＋ai＋k＝a·qm＋k－1＋a·qi＋k－1＝a·qk－1(qm＋qi)＝a·qk－1·2qn＝2a·qn＋k－1
∴am＋k＋ai＋k＝2an＋k，
∴am＋k，an＋k，ai＋k也成等差数列．
(理)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求证：在数列{an}中对于任意的n∈N*，都有an＋1
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