中考数学一模试卷含解析31

中考数学一模试卷含解析31

‎2016年江苏省盐城市东台市中考数学一模试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分 ‎1．2016的相反数是（　　）‎ A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣‎ ‎2．下列运算正确的是（　　）‎ A．x+x=x2 B．x6÷x2=x3 C．（2x2）3=6x5 D．x•x3=x4‎ ‎3．不等式组的解在数轴上表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是（　　）‎ A．众数是80 B．中位数是75 C．平均数是80 D．极差是15‎ ‎5．面积为10m2的正方形地毯，它的边长介于（　　）‎ A．2m与3m之间 B．3m与4m之间 C．4m与5m之间 D．5m与6m之间 ‎6．小张同学的座右铭是“态度决定一切”，他将这几个字写在一个正方体纸盒的每个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“一”相对的字是（　　）‎ A．态 B．度 C．决 D．切 ‎7．如图，圆O的半径为6，点A、B、C在圆O上，且∠ACB=45°，则弦AB的长是（　　）‎ A．5 B．6 C．6 D．6‎ ‎8．一个矩形被一条直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系用图象表示只可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 ‎9．9的算术平方根是______．‎ ‎10．第六次全国人口普查数据显示，盐城市常住人口约为821万人，用科学记数法表示821万为______．‎ ‎11．已知x﹣y=1，则x2﹣y2﹣2y的值为______．‎ ‎12．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=______．‎ ‎13．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已知取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是______．‎ ‎14．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为______cm．‎ ‎15．若反比例函数y=mx|m|﹣2的图象分布于第二、四象限，则m的值为______．‎ ‎16．已知圆锥的底面直径为4cm，其母线长为10cm，沿着它的一条母线剪开后得到的扇形的圆心角的度数为______．‎ ‎17．在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，则△ABC的面积为______．‎ ‎18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2016的坐标是______．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共10小题，共96分 ‎19．（1）计算： +cos60°﹣（π+2016）0+（）﹣2‎ ‎（2）先化简÷（﹣），然后选取一个你喜欢的a值带入求值．‎ ‎20．“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注，某校利用“五一”假期，随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法，统计整理制作了如下的统计图，请回答下列问题：‎ ‎（1）这次共抽查了______个家长；‎ ‎（2）请补全条形统计图和扇形统计图（友情提醒：条形图补画家长持“反对”态度的人数条，扇形图填上“反对”及“赞成”的百分数）；‎ ‎（3）已知该校共有1200名学生，持“赞成”态度的学生估计约有______人．‎ ‎21．在两只不透明的袋子中分别装有4张和3张除数字外完全相同的卡片，甲袋中的卡片上分别标有1、2、3、4四个数字，乙袋中的卡片上分别标有1、2、3三个数字，现分别从两个袋子中各抽出一张卡片，试解答下列问题：‎ ‎（1）分别用A、B表示从甲、乙两个袋子中抽出的卡片上的数字，请用树状图法或列表法写出（A，B）的所有取值；‎ ‎（2）求在（A，B）中使关于x的一元二次方程x2﹣Ax+2B=0有实数根的概率．‎ ‎22．五一节，某校数学兴趣小组的同学相约去东台西溪“海春轩塔”参观，并测量其高度．如图，塔身BD与地面垂直，他们先在A处测得塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退16cm至C处，测得塔顶端点D的仰角为30°，求“海春轩塔”BD的高度．（≈1.73，结果保留一位小数）‎ ‎23．某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．‎ ‎24．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．‎ ‎（1）求证：AB=BE；‎ ‎（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．‎ ‎25．如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．‎ ‎（1）求n和k的值；‎ ‎（2）观察反比例函数y=的图象，当y≥﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标．‎ ‎26．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是60件，而销售单价每涨1元，就会少售出2件玩具．‎ ‎（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），写出销售玩具获得的利润W（元）与x之间的函数关系式，并计算若该商场获得了800元的销售利润，则该玩具销售单价x应定为多少元？‎ ‎（2）在（1）的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且该商场要完成不少于48件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？‎ ‎27．问题背景：（1）如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，作DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，写出MD和ME之间的数量关系是______．‎ 数学思考：（2）如图2，在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请写出证明过程．‎ 拓展探究：（3）如图3，在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状，并说明理由．‎ ‎28．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的横坐标为3，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．‎ ‎（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏省盐城市东台市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分 ‎1．2016的相反数是（　　）‎ A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣‎ ‎【考点】相反数．‎ ‎【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．‎ ‎【解答】解：2016的相反数是﹣2016，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．下列运算正确的是（　　）‎ A．x+x=x2 B．x6÷x2=x3 C．（2x2）3=6x5 D．x•x3=x4‎ ‎【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；同底数幂的除法底数不变指数相减；积的乘方等于乘方的积；同底数幂的乘法底数不变指数相加；可得答案．‎ ‎【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；‎ B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；‎ C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；‎ D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．不等式组的解在数轴上表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．‎ ‎【解答】解：由3x+2＞5，解得x＞1，‎ 由3﹣x≥1，解得x≤2，‎ 不等式组的解集是1＜x≤2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是（　　）‎ A．众数是80 B．中位数是75 C．平均数是80 D．极差是15‎ ‎【考点】算术平均数；中位数；众数；极差．‎ ‎【分析】根据平均数，中位数，众数，极差的概念逐项分析．‎ ‎【解答】解：A、80出现的次数最多，所以众数是80，A正确；‎ B、把数据按大小排列，中间两个数为80，80，所以中位数是80，B错误；‎ C、平均数是=80，C正确；‎ D、极差是90﹣75=15，D正确．‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．面积为10m2的正方形地毯，它的边长介于（　　）‎ A．2m与3m之间 B．3m与4m之间 C．4m与5m之间 D．5m与6m之间 ‎【考点】估算无理数的大小．‎ ‎【分析】易得正方形的边长，看在哪两个正整数之间即可．‎ ‎【解答】解：正方形的边长为，‎ ‎∵＜＜，‎ ‎∴3＜4，‎ ‎∴其边长在3m与4m之间．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．小张同学的座右铭是“态度决定一切”，他将这几个字写在一个正方体纸盒的每个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“一”相对的字是（　　）‎ A．态 B．度 C．决 D．切 ‎【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．‎ ‎【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此可得和“一”相对的字．‎ ‎【解答】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，所以和“一”相对的字是：态．故选A．‎ ‎　‎ ‎7．如图，圆O的半径为6，点A、B、C在圆O上，且∠ACB=45°，则弦AB的长是（　　）‎ A．5 B．6 C．6 D．6‎ ‎【考点】圆周角定理；等腰直角三角形．‎ ‎【分析】首先连接OA，OB，由∠ACB=45°，可得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案．‎ ‎【解答】解：连接OA，OB，‎ ‎∵∠ACB=45°，‎ ‎∴∠AOB=2∠ACB=90°，‎ ‎∵⊙O的半径为6，‎ ‎∴OA=OB=6，‎ ‎∴AB=OA=6．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．一个矩形被一条直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系用图象表示只可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】矩形的性质；函数的图象．‎ ‎【分析】因为一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，矩形的面积一定，y随着x的增大而减小，但是x+y=k（矩形的面积是一定值），由此可以判定答案．‎ ‎【解答】解：因为x+y=k（矩形的面积是一定值），‎ 整理得y=﹣x+k，‎ 由此可知y是x的一次函数，图象经过第一、二、四象限，x、y都不能为0，且x＞0，y＞0，图象位于第一象限，‎ 所以只有A符合要求．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 ‎9．9的算术平方根是　3　．‎ ‎【考点】算术平方根．‎ ‎【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：∵（±3）2=9，‎ ‎∴9的算术平方根是|±3|=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎10．第六次全国人口普查数据显示，盐城市常住人口约为821万人，用科学记数法表示821万为　8.21×106　．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将821万用科学记数法表示为8.21×106．‎ 故答案为：8.21×106．‎ ‎　‎ ‎11．已知x﹣y=1，则x2﹣y2﹣2y的值为　1　．‎ ‎【考点】平方差公式．‎ ‎【分析】首先利用平方差公式，求得x2﹣y2﹣2y=（x+y）（x﹣y）﹣2y，继而求得答案．‎ ‎【解答】解：∵x﹣y=1，‎ ‎∴x2﹣y2﹣2y=（x+y）（x﹣y）﹣2y=x+y﹣2y=x﹣y=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎12．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=　52°　．‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】先求出∠3，再由平行线的性质可得∠1．‎ ‎【解答】解：如图：‎ ‎∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），‎ 则∠1=90°﹣∠3=52°．‎ 故答案为：52°．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已知取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是　　．‎ ‎【考点】概率公式；勾股定理；勾股定理的逆定理．‎ ‎【分析】由取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，‎ ‎∴使△ABC为直角三角形的概率是：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为　18　cm．‎ ‎【考点】相似三角形的应用．‎ ‎【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴△AED∽△ABC ‎∴=‎ 设屏幕上的小树高是x，则=‎ 解得x=18cm．故答案为：18．‎ ‎　‎ ‎15．若反比例函数y=mx|m|﹣2的图象分布于第二、四象限，则m的值为　﹣1　．‎ ‎【考点】反比例函数的性质．‎ ‎【分析】根据反比例函数的图象，可得比例系数小于零且次数是﹣1，可得答案．‎ ‎【解答】解：由反比例函数y=mx|m|﹣2的图象分布于第二、四象限，得 ‎|m|﹣2=﹣1且m＜0，‎ 解得m=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎16．已知圆锥的底面直径为4cm，其母线长为10cm，沿着它的一条母线剪开后得到的扇形的圆心角的度数为　72°　．‎ ‎【考点】圆锥的计算．‎ ‎【分析】首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后利用弧长公式即可求解．‎ ‎【解答】解：∵圆锥的底面直径为4cm，‎ ‎∴底面周长是4πcm．‎ 设侧面展开图的圆心角度数是n°，‎ ‎∵母线长为10cm，‎ ‎∴=4π，‎ 解得：n=72，‎ 故答案是：72°．‎ ‎　‎ ‎17．在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，则△ABC的面积为　30　．‎ ‎【考点】三角形的重心．‎ ‎【分析】先根据点O是△ABC的重心得出OD=AD，再由△BOD的面积等于5得出△ABD的面积等于15，再由点D时BC的中点可得出S△ABC=2S△ABD，故可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵ABC中，中线AD、BE相交于点O，‎ ‎∴点O是△ABC的重心，‎ ‎∴OD=AD．‎ ‎∵S△BOD=5，‎ ‎∴S△ABD=15．‎ ‎∵点D时BC的中点，‎ ‎∴S△ABC=2S△ABD=30．‎ 故答案为：30．‎ ‎　‎ ‎18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2016的坐标是　　．‎ ‎【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．‎ ‎【分析】根据题意得出直线BB1的解析式为：y=x，进而得出B，B1，B2，B3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，‎ 由题意可得：A（1，0），AO∥A1B1，∠B1OC=30°，‎ ‎∴CB1=OB1cos30°=，‎ ‎∴B1的横坐标为：，则B1的纵坐标为：，‎ ‎∴点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，‎ ‎∴B1（，），‎ 同理可得出：A的横坐标为：1，‎ ‎∴y=，‎ ‎∴A2（2，），‎ ‎…‎ An（1+，）．‎ ‎∴A2016，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共10小题，共96分 ‎19．（1）计算： +cos60°﹣（π+2016）0+（）﹣2‎ ‎（2）先化简÷（﹣），然后选取一个你喜欢的a值带入求值．‎ ‎【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】（1）首先进行0次幂和负整数指数次幂以及开方运算，代入特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可；‎ ‎（2）首先把分式的分子分母分解因式，化简分式，然后计算括号内的分式，进行分式的除法计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）原式=2+﹣1+4=；‎ ‎（2）原式=÷[﹣]‎ ‎=÷（﹣）‎ ‎=•‎ ‎=a，‎ 当a=2时，原式=2．‎ ‎　‎ ‎20．“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注，某校利用“五一”假期，随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法，统计整理制作了如下的统计图，请回答下列问题：‎ ‎（1）这次共抽查了　100　个家长；‎ ‎（2）请补全条形统计图和扇形统计图（友情提醒：条形图补画家长持“反对”态度的人数条，扇形图填上“反对”及“赞成”的百分数）；‎ ‎（3）已知该校共有1200名学生，持“赞成”态度的学生估计约有　300　人．‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）根据“无所谓”的人数除以占的百分比得到调查的总家长数；‎ ‎（2）由调查家长的总数求出“反对”的人数，补全条形统计图，求出“反对”与“赞成”的百分比，补全扇形统计图即可；‎ ‎（3）求出学生中“赞成”的百分比，乘以1200即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：20÷20%=100（个），‎ 则这次调查了100个家长；‎ ‎（2）家长“反对”的人数为100﹣（10+20）=70（个）；占的百分比为70÷100=70%；“赞成”占的百分比为10÷100=10%；‎ 补全统计图，如图所示：‎ ‎（3）根据题意得：1200×=300（个），‎ 则持“赞成”态度的学生估计约有300个，‎ 故答案为：（1）100；（3）300‎ ‎　‎ ‎21．在两只不透明的袋子中分别装有4张和3张除数字外完全相同的卡片，甲袋中的卡片上分别标有1、2、3、4四个数字，乙袋中的卡片上分别标有1、2、3三个数字，现分别从两个袋子中各抽出一张卡片，试解答下列问题：‎ ‎（1）分别用A、B表示从甲、乙两个袋子中抽出的卡片上的数字，请用树状图法或列表法写出（A，B）的所有取值；‎ ‎（2）求在（A，B）中使关于x的一元二次方程x2﹣Ax+2B=0有实数根的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；根的判别式．‎ ‎【分析】（1）分2步实验，利用树状图列举出所有情况即可；‎ ‎（2）看使关于x的一元二次方程x2﹣Ax+2B=0有实数根的情况数占总情况数的多少即可．‎ ‎【解答】解：（1）画树状图如下：‎ ‎；‎ ‎（2）∵方程x2﹣Ax+2B=0有实数根，‎ ‎∴△=A2﹣8B≥0，‎ ‎∴使A2﹣8B≥0的（A，B）有（3，1），（4，1），（4，2），‎ ‎∴P（△≥0）==．‎ ‎　‎ ‎22．五一节，某校数学兴趣小组的同学相约去东台西溪“海春轩塔”参观，并测量其高度．如图，塔身BD与地面垂直，他们先在A处测得塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退16cm至C处，测得塔顶端点D的仰角为30°，求“海春轩塔”BD的高度．（≈1.73，结果保留一位小数）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】先根据题意得出∠BAD、∠BCD的度数及AC的长，再在Rt△ABD中可得出AB=BD，利用锐角三角函数的定义可得出BD的长．‎ ‎【解答】解：根据题意可知：‎ ‎∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=12m．‎ 在Rt△ABD中，‎ ‎∵∠BAD=∠BDA=45°，‎ ‎∴AB=BD．‎ 在Rt△BDC中，‎ ‎∵tan∠BCD=，‎ ‎∴=，‎ 则BC=BD，‎ 又∵BC﹣AB=AC，‎ ‎∴BD﹣BD=16，‎ 解得：BD=8+8．‎ 答：古塔BD的高度为（8+8）米．‎ ‎　‎ ‎23．某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．‎ ‎【考点】分式方程的应用．‎ ‎【分析】以人均捐款数为问题，等量关系为：1班人数×90%=2班人数；‎ 以人数为问题，等量关系为：1班人均捐款数+4=2班人均捐款数．‎ ‎【解答】解法一：求两个班人均捐款各多少元？‎ 设1班人均捐款x元，则2班人均捐款（x+4）元．‎ 根据题意得：×（1﹣10%）=，‎ 解得：x=36，‎ 经检验x=36是原方程的根．‎ ‎∴x+4=40，‎ 答：1班人均捐36元，2班人均捐40元．‎ 解法二：求两个班人数各多少人？‎ 设1班有x人，则2班为（1﹣10%）x人，‎ 则根据题意得： +4=．‎ 解得：x=50，‎ 经检验x=50是原方程的根，‎ ‎∴90%x=45，‎ 答：1班有50人，2班有45人．‎ ‎　‎ ‎24．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．‎ ‎（1）求证：AB=BE；‎ ‎（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．‎ ‎【考点】切线的性质；解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）本题可连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；‎ ‎（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，‎ ‎∵PD切⊙O于点D，‎ ‎∴OD⊥PD，‎ ‎∵BE⊥PC，‎ ‎∴OD∥BE，‎ ‎∴ADO=∠E，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠OAD=∠ADO，‎ ‎∴∠OAD=∠E，‎ ‎∴AB=BE；‎ ‎（2）解：由（1）知，OD∥BE，‎ ‎∴∠POD=∠B，‎ ‎∴cos∠POD=cosB=，‎ 在Rt△POD中，cos∠POD==，‎ ‎∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，‎ ‎∴，‎ ‎∴OA=3，‎ ‎∴⊙O半径=3．‎ ‎　‎ ‎25．如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．‎ ‎（1）求n和k的值；‎ ‎（2）观察反比例函数y=的图象，当y≥﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质．‎ ‎【分析】（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x﹣3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数y=，得到k的值为12；‎ ‎（2）根据反比函数的性质即可得到当y≥﹣2时，自变量x的取值范围；‎ ‎（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，0），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB=，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x﹣3，可得n=×4﹣3=3；‎ 把点A（4，3）代入反比例函数y=，可得3=，‎ 解得k=12；‎ ‎（2）当y=﹣2时，﹣2=，解得x=﹣6．‎ 故当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣6或x＞0；‎ ‎（3）∵一次函数y=x﹣3与x轴相交于点B，‎ ‎∴x﹣3=0，‎ 解得x=2，‎ ‎∴点B的坐标为（2，0），‎ 如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，‎ 过点D作DF⊥x轴，垂足为F，‎ ‎∵A（4，3），B（2，0），‎ ‎∴OE=4，AE=3，OB=2，‎ ‎∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，‎ 在Rt△ABE中，‎ AB==，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=CD=BC=，AB∥CD，‎ ‎∴∠ABE=∠DCF，‎ ‎∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，‎ ‎∴∠AEB=∠DFC=90°，‎ 在△ABE与△DCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△DCF（ASA），‎ ‎∴CF=BE=2，DF=AE=3，‎ ‎∴OF=OB+BC+CF=2++2=4+，‎ ‎∴点D的坐标为（4+，3）．‎ ‎　‎ ‎26．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是60件，而销售单价每涨1元，就会少售出2件玩具．‎ ‎（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），写出销售玩具获得的利润W（元）与x之间的函数关系式，并计算若该商场获得了800元的销售利润，则该玩具销售单价x应定为多少元？‎ ‎（2）在（1）的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且该商场要完成不少于48件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）利用已知结合销售单价每涨1元，就会少售出2件玩具，表示出涨价后的销量即可，进而得出W与x的函数关系，再利用W=800，得出关于x的等式方程求出即可；‎ ‎（2）利用“玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于48件的销售任务”进而得出不等式组求出x的取值范围，再利用二次函数性质求出最值即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：销量=60﹣2（x﹣40）=140﹣2x，‎ w=（x﹣30）=﹣2x2+200x﹣4200，‎ 根据题意得出：﹣2x2+200x﹣4200=800，‎ 解得：x1=x2=50．‎ 答：玩具销售单价为50元时，可获得800元销售利润．‎ ‎（2）根据题意得：‎ ‎，‎ 解得：44≤x≤46，‎ W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2（x﹣50）2+800，‎ ‎∵a=﹣2＜0，对称轴是直线x=50，‎ ‎∴当44≤x≤46时，W随x增大而增大．‎ ‎∴当x=46时，W最大值=768（元）．‎ 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为768元．‎ ‎　‎ ‎27．问题背景：（1）如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，作DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，写出MD和ME之间的数量关系是　相等　．‎ 数学思考：（2）如图2，在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请写出证明过程．‎ 拓展探究：（3）如图3，在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状，并说明理由．‎ ‎【考点】三角形综合题．‎ ‎【分析】（1）根据△ABD是等腰直角三角形，且DF⊥AB，所以得到DF=AB，根据点G为AC的中点，点M为BC的中点，所以MG为△ABC的中位线，所以MG∥AB，且MG=AB，同理FM∥AC，且FM=AC，得到DF=MG，FM=EG，根据MG∥AB，FM∥AC，所以四边形AFMG是平行四边形，所以∠AFM=∠AGM，证明∠DFM=∠MGE，所以△DFN≌△MGE．‎ ‎（2）DM⊥EM，且DM=EM，理由如下：设AB和DM交于点P，连接FM，GM，由（1）得：DF=MG，FM=EG，∠DFM=∠MGE，证明△DFM≌△MGE，得到DM=EM，由△DFM≌△MGE，得到∠FDM=∠EMG，所以∠DPA=∠DFP+∠FDM，根据MG∥AB，得到∠DMG=∠DPA=∠DFP+∠FDM，又由∠DMG=∠DM+∠EMG，得到∠DNE=∠DFP=90°，即可解答．‎ ‎（3）类比（1）（2）可得：△MDE是等腰直角三角形．‎ ‎【解答】解：（1）相等，‎ 理由：如图1，取BC的中点M，连接DM，EM，MG，FM，‎ ‎∵△ABD是等腰直角三角形，且DF⊥AB，‎ ‎∴BF=AF，∴DF=AB，‎ ‎∵点G为AC的中点，点M为BC的中点，‎ ‎∴MG为△ABC的中位线，‎ ‎∴MG∥AB，且MG=AB，同理FM∥AC，且FM=AC，‎ ‎∴DF=MG，FM=EG，‎ ‎∵MG∥AB，FM∥AC，‎ ‎∴四边形AFMG是平行四边形，‎ ‎∴∠AFM=∠AGM，‎ ‎∵∠AFM+∠BFM=∠AGM+∠CGM=180°，‎ ‎∴∠BFM=∠CGM，‎ ‎∵DF⊥AB，‎ ‎∴∠DFB=90°，同理∠EGC=90°，‎ ‎∴∠DFB=∠EGC，‎ ‎∴∠DFB+∠BFM=∠EGC+∠CGM，‎ ‎∴∠DFM=∠MGE，‎ 在△DFM和△MGE中，‎ ‎，‎ ‎∴△DFM≌△MGE，‎ ‎∴MD=ME．‎ ‎（2）MD=ME，‎ 理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，‎ ‎∴AF=AB，AG=AC．‎ ‎∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，‎ ‎∴DF⊥AB，DF=AB，EG⊥AC，EG=AC，‎ ‎∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．‎ ‎∵M是BC的中点，‎ ‎∴MF∥AC，MG∥AB，‎ ‎∴四边形AFMG是平行四边形，‎ ‎∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．‎ ‎∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，‎ ‎∴∠DFM=∠MGE．‎ ‎∵在△DFM和△MGE中，，‎ ‎∴△DFM≌△MGE（SAS），‎ ‎∴DM=ME；‎ ‎（3）作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DE，线段DE与MG交于H，‎ ‎∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，‎ ‎∴MF∥AC，MF=AC，MG∥AB，MG=AB，‎ ‎∴四边形MFAG是平行四边形，‎ ‎∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM．‎ ‎∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，‎ ‎∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°‎ ‎∴MF=EG，DF=MG，∠AFM﹣∠AFD=∠AGM﹣∠AGE，‎ 即∠DFM=∠MGE．‎ ‎∵在△DFM和△MGE中，，‎ ‎∴△DFM≌△MGE（SAS），‎ ‎∴MD=ME，∠MDF=∠EMG，‎ ‎∵MG∥AB，‎ ‎∴∠MHD=∠BFD=90°，‎ ‎∴∠HMD+∠MDH=90°‎ ‎∴∠HMD+∠EMG=90°，‎ 即∠DME=90°，‎ ‎∴△DME为等腰直角三角形．‎ ‎　‎ ‎28．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的横坐标为3，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．‎ ‎（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）先把点C，D坐标确定，再用待定系数法求出b，c；‎ ‎（2）设出点P的坐标，确定出PF∥CO，由PF=CO，求出m即可；‎ ‎（3）先判断出△PMF∽△CNF，得出PM=CM=2CF，由FP的长从两个角度计算建立方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线y=+2经过点C，D ‎∴C（0，2），D（3，），‎ ‎∵抛物y=﹣x2+bx+c经过点C（0，2），D（3，），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的解析式y=﹣x2+x+2，‎ ‎（2）∵点P的横坐标为m，且在抛物线上 ‎∴P（m，﹣m2+m+2），F（m， m+2），‎ ‎∵PF∥CO，∴当PF=CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形 ‎①当0＜m＜3时，PF=﹣m2+m+2﹣（m+2）=﹣m2+3m，‎ ‎∴m1=1，m2=2，‎ 即当m=1或2时，四边形OCPF是平行四边形，‎ ‎②当m≥3时，PF=（m+2）﹣（﹣m2+m+2）=m2﹣3m，‎ ‎∴m1=，m2=（舍去），‎ 即当m=时，四边形OCFP是平行四边形，‎ 当m=1或2或时，四边形O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，‎ ‎（3）如图，‎ 当点P在CD上方且∠PCF=45°时，作PM⊥CD，CN⊥PF，‎ ‎∴△PMF∽△CNF，‎ ‎∴，‎ ‎∴PM=CM=2CF，‎ ‎∴PF=FM=CF=×CN=CN=m，‎ ‎∵PF=﹣m2+3m，‎ ‎∴﹣m2+3m=m，‎ ‎∴m1=，m2=0（舍去）‎ ‎∴P（，）．‎ 同理可得：另外一点P（，）．‎